Scilabで最急降下法 その2

Scilabで最急降下法 その1では1変数の関数 f(x) に対して最急降下法を用いて最小値を求めました。今回は2変数の関数 f(x,y) について最小値を求めます。

001_20170509143114675.png
Fig.1: 最急降下法による最小値探査



具体的には二次元のガウス関数に-1を掛けた関数を f(x,y) とします。
\begin{equation}
f(x,y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\\
\times\left(\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} +\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right) \right\}
\end{equation}
ここで
\begin{equation}
\rho=\frac{\sigma_{12}}{\sigma_1\sigma_2}
\end{equation}

最急降下法の値の更新は二次元の場合は以下のように行います。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
x^{(k+1)}\\
y^{(k+1)}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x^{(k)}\\
y^{(k)}
\end{pmatrix}
-\alpha
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f(x^{(k)}, y^{(k)})}{\partial x}\\
\frac{\partial f(x^{(k)}, y^{(k)})}{\partial y}
\end{pmatrix}
\end{equation}
停止条件は ∂f/∂x < ε かつ ∂f/∂y < ε とすればよいと思います。

clear;

// *** 二次元ガウス分布 ***
mu1 = 3; mu2 = 1;
mu = [mu1; mu2];
sigma1 = sqrt(10); sigma2 = sqrt(10); sigma12 = 5;
SIGMA = [sigma1^2, sigma12; sigma12, sigma2^2];
rho = sigma12 / (sigma1 * sigma2);
function z = func(x, y)
z = -1 ./ (2 * %pi * sigma1 * sigma2 * sqrt(1 - rho)) ..
.* exp(-1 / (2 .* (1 - rho^2)) ..
.* ((x - mu1) .^ 2 ./ (sigma1 ^ 2) - 2 .* rho .* (x - mu1) .* (y - mu2) ./ (sigma1 * sigma2) + ((y - mu2) .^ 2) ./ (sigma2 ^ 2)))
endfunction


// *** 数値微分 ***
h = 1E-3;
function dzx = dfx(x, y)
dzx = (func((x+h), y) - func((x-h), y)) ./ (2 * h)
endfunction

function dzy = dfy(x, y)
dzy = (func(x, (y+h)) - func(x, (y-h))) ./ (2 * h)
endfunction

// *** グラフのプロット ***
x = linspace(-10,10);
y = linspace(-10,10);
[X,Y] = ndgrid(x,y);
Z = func(X,Y);
// 色の設定
//xset("colormap",jetcolormap(64))
// xset("colormap",graycolormap(64))
// Sgrayplot(x,y,Z)
xset("fpf"," "); // 等高線に値を表示しない
contour2d(x,y,Z,10);
xmin = min(X); xmax = max(X); ymin = min(Y); ymax = max(Y);
zoom_rect([xmin,ymin,xmax,ymax]);




// *** 最小値の計算 ***
// 停止条件
err = 1E-5;
a = 200;
// 初期値
x = -4; y = 4;
z = func(x, y);
dx = dfx(x, y);
dy = dfy(x, y);
plot(x, y, "xk");
// 最小値の計算
while ((abs(dx) > err) | (abs(dy) > err))
x = x - a * dx;
y = y - a * dy;
dx = dfx(x, y);
dy = dfy(x, y);
plot(x, y, ".r");
end
// 計算結果
x, y
plot(x, y, "xk");


関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




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