Scilabで最急降下法 その1

Scilabで何らかの関数 f(x) の最小値(あるいは最大値)を計算することを考えます。関数の値を計算するのが簡単な場合は x の定義域全体で f(x) を計算した後 minmax を使うという方法もあります。しかしながら f(x) の計算にそれなりの時間がかかる場合や f(x, y) といったように引数がたくさんある場合は効率的ではないと思います。

そこで今回は最急降下法のアルゴリズムを利用して f(x) の最小値を求めるということをやってみます。

001_20170507020049254.png

Fig.1: 最急降下法での最小値探索。上が関数f(x)の値、下が微分値f'(x)



最小値を求める関数


さて、実際に最小値を求める関数 f(x) ですが、今回は単純にガウス関数に -1 を掛けたものにします。
\begin{equation}
f(x) = - \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{equation}
当然ながら、f(x)が最小になるのは x = μ のときです。

最急降下法


高校の数学で習ったとおり f(x) が最大値や最小値(や極値)をとるときその微分は f'(x) = df(x)/dx = 0 となります。最急降下法は、関数の微分を計算しその傾きが大きいほうへ f'(x)=0 となる x を探すアルゴリズムです。具体的には以下の手続きを繰り返します。
  1. x の初期値 x(0) を決める
  2. f'(x) < ε なら終了
  3. x(k+1) = x(k) - αf'(x(k))
  4. 2.に戻る

実際には α や ε を上手に決めておく必要があります。αは勾配の方向にどの程度進むかを決めるパラメータ(下記Scilabスクリプトではa)で、εは計算の終了条件を決めるパラメータ(下記Scilabスクリプトではerr)です。

Scilabスクリプト


clear;

// *** 一次元ガウス分布 ***
function y = func(x)
mu = 3;
sigma = 1;
y = -1 / sqrt(2*%pi*sigma^2) * exp(-1 * ((x - mu) .^ 2) ./ (2*sigma^2))
// y = cos(x)
endfunction

// *** 数値微分 ***
function y = dfunc(x)
h = 1E-4;
y = (func(x+h) - func(x-h)) ./ (2*h)
endfunction

// *** グラフのプロット ***
X = linspace(0,6);
Y = func(X);
dY = dfunc(X);
subplot(2,1,1);
plot(X, Y);
subplot(2,1,2);
plot(X, dY);

// *** 最小値の計算 ***
// 停止条件
err = 1E-3;
a = 0.5;
// 初期値
x = 1;
y = func(x);
dx = dfunc(x);
subplot(2,1,1);
plot(x, y, ".r");
subplot(2,1,2);
plot(x, dx, ".r");

// *** 最小値の計算 ***
while abs(dx) > err
x = x - a * dx;
dx = dfunc(x);
y = func(x);
subplot(2,1,1);
plot(x, y, ".r");
subplot(2,1,2);
plot(x, dx, ".r");
end

// *** 計算結果 ***
x
subplot(2,1,1);
plot(x, y, "xk");


参考URL




付録


このエントリで使用したファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




フィードバック



にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ

 ↑ 電子工作ブログランキング参加中です。1クリックお願いします。


コメント・トラックバックも歓迎です。 ↓      


 ↓ この記事が面白かった方は「拍手」をお願いします。


tag: Scilab 最適化 最小値 最大値 

comment

Secret

FC2カウンター
カテゴリ
ユーザータグ

LTspiceAkaiKKRmachikaneyamaScilabKKRPSoCOPアンプCPA強磁性PICモンテカルロ解析常微分方程式odeトランジスタecalj状態密度DOSインターフェース定電流スイッチング回路PDS5022半導体シェルスクリプト乱数レベルシフトHP6632A温度解析分散関係I2Cトランジスタ技術R6452A可変抵抗ブレッドボードセミナーバンドギャップ数値積分確率論反強磁性偏微分方程式バンド構造絶縁熱設計非線形方程式ソルバフォトカプラシュミットトリガLEDLM358カオスISO-I2C三端子レギュレータGW近似A/Dコンバータカレントミラーアナログスイッチ数値微分マフィンティン半径TL431発振回路サーボPC817CUSB直流動作点解析74HC4053補間FFTBSch開発環境パラメトリック解析2ちゃんねるチョッパアンプ量子力学bzqlty電子負荷イジング模型LDA標準ロジックアセンブラ基本並進ベクトルブラべ格子単振り子熱伝導位相図TLP621キュリー温度繰り返し状態方程式MaximaVESTAスイッチト・キャパシタ相対論FETランダムウォークスピン軌道相互作用SMP六方最密充填構造抵抗不規則合金ewidthスレーターポーリング曲線GGAラプラス方程式cygwingfortranQSGW失敗談コバルト条件分岐TLP521テスタLM555Writer509TLP552格子比熱マントルデータロガー自動計測詰め回路ガイガー管ダイヤモンドQNAPMCUFXA-7020ZR過渡解析三角波UPSNE555固有値問題熱力学ブラウン運動フェルミ面awk起電力第一原理計算OpenMPfsolveubuntu最大値xcrysden最小値最適化仮想結晶近似VCA差し込みグラフスーパーセル井戸型ポテンシャル平均場近似シュレディンガー方程式FSMフラクタルOPA2277固定スピンモーメント2SC1815全エネルギー合金multiplotgnuplotc/aTeX結晶磁気異方性interp1ウィグナーザイツ胞初期値マンデルブロ集合疎行列面心立方構造fcc不純物問題非線型方程式ソルバフィルタL10構造PGA半金属二相共存SICZnOウルツ鉱構造BaO重積分クーロン散乱磁気モーメント電荷密度三次元CIF岩塩構造CapSenseノコギリ波デバイ模型ハーフメタル正規分布フォノンquantumESPRESSOルチル構造スワップ領域リジッドバンド模型edelt縮退キーボード軸ラベルグラフの分割凡例トラックボールPC不規則局所モーメント片対数グラフトランス両対数グラフCK1026MAS830L直流解析Excel円周率パラメータ・モデルヒストグラム日本語最小二乗法等価回路モデルGimp線種シンボルTS-110TS-112PIC16F785LMC662化学反応文字列specx.f入出力ifortマテリアルデザインヒストグラム確率論Realforce等高線ジバニャン方程式P-10Ubuntuナイキスト線図Crank-Nicolson法陰解法熱拡散方程式HiLAPWAACircuit連立一次方程式負帰還安定性境界条件EAGLEMBE関数フィッティング

最新コメント
リンク

にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ