Maximaで3点を通る放物線

高校数学で3点を通る放物線を求める問題を以下のYoutube動画のように習いました。



高校数学の範囲では、答えを数値的に求めましたが、では独立な3点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)を通る放物線を解析的に解くにはどうしたらよいでしょうか?Maximaをつかえば、以下のように入力するだけで y = a x2 + b x + c の係数(a, b, c)を求めることができます。

solve([y[1]=a*x[1]^2+b*x[1]+c,
y[2]=a*x[2]^2+b*x[2]+c,
y[3]=a*x[3]^2+b*x[3]+c],
[a,b,c]);



放物線の式(二次方程式)


放物線の式は、以下のような形で表すことができます。
一般型: y=a x2 + b x + c
頂点型: y=a (x - p)2 + q

独立な3点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)を通る放物線を求めたいとします。

(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)が全て数値的に与えられていれば、冒頭のyoutube動画のように手計算で式を求めることができますし、Scilabで連立一次方程式のように数値計算ソフトでも係数を決定することができます。

しかしながら、一般型(a, b, c)にせよ頂点型(a, p, q)にせよ、3点が文字のままでも解析的に形を求めることができるはずです。
こういう時にはMaximaが便利です。

一般型


放物線 y=a x2 + b x + c が独立な3点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)を通るとき、係数a, b, cを求めるという問題は以下の連立方程式をa, b, cについて解くことと同じです。

\begin{equation}
y_1 = x_1^2 a + x_1 b + c \\
y_2 = x_2^2 a + x_2 b + c \\
y_3 = x_3^2 a + x_2 b + c
\end{equation}

行列で書くと以下のようになります。

\begin{equation}
\begin{pmatrix}
x_1^2 & x_1 & 1 \\
x_2^2 & x_2 & 1 \\
x_3^2 & x_3 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{pmatrix}
\end{equation}

これはMaximaに以下のように入力することで解くことができます。
solve([y[1]=a*x[1]^2+b*x[1]+c,
y[2]=a*x[2]^2+b*x[2]+c,
y[3]=a*x[3]^2+b*x[3]+c],
[a,b,c]);


\begin{equation}
a=\frac{{x}_{1}\,\left( {y}_{3}-{y}_{2}\right) -{x}_{2}\,{y}_{3}+{y}_{2}\,{x}_{3}+{y}_{1}\,\left( {x}_{2}-{x}_{3}\right) }{{x}_{1}\,\left( {x}_{3}^{2}-{x}_{2}^{2}\right) -{x}_{2}\,{x}_{3}^{2}+{x}_{2}^{2}\,{x}_{3}+{x}_{1}^{2}\,\left( {x}_{2}-{x}_{3}\right) }
\end{equation}
\begin{equation}
b=-\frac{{x}_{1}^{2}\,\left( {y}_{3}-{y}_{2}\right) -{x}_{2}^{2}\,{y}_{3}+{y}_{2}\,{x}_{3}^{2}+{y}_{1}\,\left( {x}_{2}^{2}-{x}_{3}^{2}\right) }{{x}_{1}\,\left( {x}_{3}^{2}-{x}_{2}^{2}\right) -{x}_{2}\,{x}_{3}^{2}+{x}_{2}^{2}\,{x}_{3}+{x}_{1}^{2}\,\left( {x}_{2}-{x}_{3}\right) }
\end{equation}
\begin{equation}
c=\frac{{x}_{1}\,\left( {y}_{2}\,{x}_{3}^{2}-{x}_{2}^{2}\,{y}_{3}\right) +{x}_{1}^{2}\,\left( {x}_{2}\,{y}_{3}-{y}_{2}\,{x}_{3}\right) +{y}_{1}\,\left( {x}_{2}^{2}\,{x}_{3}-{x}_{2}\,{x}_{3}^{2}\right) }{{x}_{1}\,\left( {x}_{3}^{2}-{x}_{2}^{2}\right) -{x}_{2}\,{x}_{3}^{2}+{x}_{2}^{2}\,{x}_{3}+{x}_{1}^{2}\,\left( {x}_{2}-{x}_{3}\right) }
\end{equation}

頂点型


頂点型の場合も同様です。

\begin{equation}
y_1 = a (x_1 - p)^2 + q \\
y_2 = a (x_2 - p)^2 + q \\
y_3 = a (x_3 - p)^2 + q
\end{equation}

Maximaに以下のように入力します。
solve([y[1]=a*(x[1]-p)^2+q, 
y[2]=a*(x[2]-p)^2+q,
y[3]=a*(x[3]-p)^2+q],
[a,p,q]);


答えは以下のようになりました。
\[a=\frac{\left( {x}_{2}-{x}_{1}\right) \,{y}_{3}+\left( {y}_{1}-{y}_{2}\right) \,{x}_{3}+{x}_{1}\,{y}_{2}-{y}_{1}\,{x}_{2}}{\left( {x}_{2}-{x}_{1}\right) \,{x}_{3}^{2}+\left( {x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}\right) \,{x}_{3}+{x}_{1}\,{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}\,{x}_{2}}\]

\[p=\frac{\left( {x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}\right) \,{y}_{3}+\left( {y}_{1}-{y}_{2}\right) \,{x}_{3}^{2}+{x}_{1}^{2}\,{y}_{2}-{y}_{1}\,{x}_{2}^{2}}{\left( 2\,{x}_{2}-2\,{x}_{1}\right) \,{y}_{3}+\left( 2\,{y}_{1}-2\,{y}_{2}\right) \,{x}_{3}+2\,{x}_{1}\,{y}_{2}-2\,{y}_{1}\,{x}_{2}}\]

qは長くなりすぎるので割愛...

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