暗殺教室でウィグナーザイツ胞

週刊少年ジャンプに連載されている漫画、暗殺教室の122話にて、以下のようなテスト問題の話が掲載されたそうです。

右の図のように、1辺aの立方体が周期的に並び、その各頂点と中心に原子が位置する結晶構造を体心立方格子構造という。NaやKなど、アルカリ金属の多くは体心立方格子構造をとる。体心立方格子構造において、ある原子A0に着目したとき、空間内のすべての点のうち、ほかのどの原子よりもA0に近い点の集合が作る領域をD0とする。このとき、D0の体積を求めよ。

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ウィグナーザイツ胞


主人公(ではないけど)の赤羽カルマ君は、結晶の対称性から答えがa3/2になることに気づいて簡単に解いてしまいましたが、ネット上では難しすぎるとの声もあるようです。

体積を求めようとしている立体がどんな形をしているのかイメージがつかないというのが、難しく感じる理由ではないでしょうか?
実は、この問題で求めようとしている立体は、固体物理の分野でウィグナーザイツ胞と呼ばれるもので、体心立方構造のウィグナーザイツセルは、以下のような形状をしています。(空間を充填できる多面体)

002_201505230810196db.png


図(A)が体心立方構造の単位格子で、辺の長さaを格子定数と呼びます。赤の点で示してあるのが格子点(それぞれ原子の存在する点)です。説明文にある通り、立方体の各頂点と、立方体の中心(体心位置)に原子が存在します。
理想的な結晶では、このような構造が三次元的に無限に続いていると考えます。

図(B)がまさしく今回の問題で体積を求めようとしている立体です。
差し当たり、着目する原子A0を体心位置にある原子として図を描いてあります。

カルマ君が見抜いたように、このウィグナーザイツ胞は、すべての原子に対して同じ体積を取りながら無限に続いていきます。そのことを示したのが図(C)です。

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