AkaiKKRで鉛の相対論計算

第一原理計算パッケージには多くの場合、相対論の効果を取り入れるか否かのオプションがあります。
AkaiKKR(machikaneyama)では、非相対論計算、スカラー相対論計算、スピン軌道相互作用を考慮した計算をすべてサポートしています。今回は比較的重い元素である鉛のバンド構造に関して、上記のオプションを変えながら計算してみました。

その結果、相対論の効果を取り入れるとバンドの分裂が起きることを確認しました。
また、非相対論計算とスカラー相対論計算の計算時間はほとんど変わない一方で、スピン軌道相互作用を含めた計算を行うと、4倍以上もの計算時間が必要となりした。


スカラー相対論とスピン軌道相互作用


第一原理計算パッケージの多くは、相対性理論の効果を考慮した計算と考慮しない計算を選んで実行させることができる機能を持ちます。
相対論の効果を入れた計算には、スピン軌道相互作用まで考慮した計算と、スピン軌道相互作用を考慮しないスカラー相対論と呼ばれるものとがあります(参考: 相対論的第一原理計算の手法開発)。
スピン軌道相互作用の計算は難しいので、サポートしない第一原理計算パッケージもありますが、AkaiKKR(machikaneyama)では、スカラー相対論とスピン軌道相互作用まで考慮した計算の両方をサポートしています。具体的には入力ファイルのreltypをnrl(非相対論)、sra(スカラー相対論)、srals(スピン軌道相互作用を含む相対論)に指定することでそれぞれの計算を行うことができます。

当然ながら近似の度合いが少ないのはsrals, sra, nrlの順番なので、正しい結果を得ることだけが目的なら常にsralsを指定すればよいことになります。しかしながら、後述する通り、スピン軌道相互作用の計算はスカラー相対論や非相対論とくらべて大幅に時間がかかるので、スピン軌道相互作用が重要ではなさそうな系では、スカラー相対論の範囲で収めたいところです。
実際、今回の鉛の例ではスピン軌道相互作用の計算は、スカラー相対論や非相対論の計算と比較して4倍以上の時間がかかりました。なお、スカラー相対論と非相対論の計算時間はほとんど変わらない模様です(参考: 第一原理バンド計算(基礎編))。

相対論の効果は、多くの場合、原子番号の大きい重い元素を含む場合において重要になるとされています。しかしながら、スピン軌道相互作用に関しては必ずしもそういったわけでもなく、軽い元素であっても重要になることがあるようです(連載:”徹底解剖 第一原理計算”の支援ページ(試作版))。

鉛のバンド構造


スピン軌道相互作用を考慮したバンド計算の例題として、Osaka2002 nanoのテクニカルノートにNo. 101 「スピンー軌道相互作用をいれたバンド計算」(PDF)があります。今回のエントリでは、この中で取り上げられている物質の中から面心立方構造(fcc)の鉛(Pb, 原子番号82)のバンド構造の計算を行います。格子定数は 4.9502Å ≒ 9.355 Bohr とし、入力ファイルはとなりました。ただしフェルミ準位よりも上のエネルギー範囲を広めにプロットしたかったので source/cemesr.f の data ref/0.75d0/ を data/ ref/0.5d/ に変更してコンパイルしました(参考: DOS and band structure over the Fermi level (in japanese))。

結果


以下に非相対論、スカラー相対論、スピン軌道相互作用まで含む相対論の計算結果を順番に示します。相対論の効果を入れることによって定性的にバンドが分裂していくと連でであることが読み取れます。

PbNRL.png

Fig.1: 非相対論計算


PbSRA.png

Fig.2: スカラー相対論計算


PbSRALS.png

Fig.3: スピン軌道相互作用を含む相対論計算


計算時間


私の環境ではCPUの処理時間は以下のようになりました。

相対論効果計算時間(秒)
非相対論(nrl)38.03
スカラー相対論(sra)37.52
スピン軌道相互作用(srals)169.98
table.1: 相対論効果の扱いと計算時間


結果を見ての通りスピン軌道相互作用まで含めた相対論計算には、スカラー相対論の計算と比較してはるかに時間がかかります。

関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したAkaiKKRの入力ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




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