Scilabでイジング模型 その3

Scilabでイジング模型 その2では一次元のイジング模型を用いて磁区が形成されていく様子を確認しました。今回のエントリでは、二次元のイジングモデルで同様の計算をおこないます。

001_20150125120301efd.gif

Fig.1: 二次元イジング模型の時間発展。ランダムな初期状態から次第に磁区が形成されていく様子が観察できる。



二次元のイジング模型


Scilabでイジング模型 その2では計算物理学 応用編ising.cをScilabへ移植しました。今回は、このプログラムを二次元へ拡張します。

二次元の場合、スピンの向きも二次元にする(XY模型)ことも可能ですが、今回は一次元の場合と同様にスピンの向きは二つの状態しかとらないイジング模型として扱うことにします。更に相互作用する粒子は、隣接するものだけであるという仮定もそのまま使うと、主な変更点はスピンを保存する変数であるspinをベクトルから二次元の行列へと変更するところという事になります。
これに伴ってエネルギーを計算する関数も二次元へと拡張します。具体的には、列方向と行方向の両方に対してシフトと乗算を行うというだけですが。

Scilabスクリプト


二次元のイジングモデルのScilabスクリプトはising2d_sce.txtとなりました。

clear;

// *** 定数の設定 ***
n = 20; // 粒子の数
kt = 1.0; // 温度
J = 1; // 交換エネルギー (1: 強磁性, -1:反強磁性)
rand("uniform"); // 乱数は一様乱数とする
tmax = 5000; // 時間の最大ステップ

// *** 初期化 ***
// 各粒子におけるスピン
//spin = ones(n,n); // コールドスタート
spin = 1 - 2 * round(rand(n,n));

isoview(0,n,0,n)

// *** エネルギーの計算関数 ***
function e = energy(spin)
e = - J * sum(spin .* [spin(:,2:n), spin(:,1)]) - J * sum(spin .* [spin(2:n,:); spin(1,:)]);
endfunction

// *** 時間発展 ***
for t = 1:tmax do
oldenergy = energy(spin);
// 粒子を一つ選ぶ
elementx = ceil(n * rand());
elementy = ceil(n * rand());
// スピンを反転
spin(elementx,elementy) = -1 * spin(elementx,elementy);
newenergy = energy(spin);
spin(elementx, elementy) = (- 2 * ((newenergy > oldenergy) & (exp((- newenergy + oldenergy) / kt) <= rand())) + 1) * spin(elementx, elementy);
// スピン状態をプロット
Matplot((spin + 1) .* 15);
end


磁区の形成


強磁性的な相互作用を持つ系に対して、ランダムなスピンをもつ初期状態からスタートすると、終状態までに磁区が形成されていく様子を観察することができます。

002_2015012512030057b.png

003_20150125120300b77.png
Fig.2-3: 初期状態と終状態。ランダムなスピン分布をもっていた初期状態から、磁区が形成された終状態まで時間発展する。


gif動画のためのスクリプト


各時間発展サイクルで、ディスプレイにグラフを描きだす代わりに、画像出力を行うようにしておき、あとからgimpなどの画像編集ソフトを用いることでgif動画を作成することができます。ising2d-gif_sce.txt

関連エントリ




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器



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