Scilabで一次元のラプラス方程式 その2

Scilabで一次元のラプラス方程式 その1ではラプラス方程式を差分化し連立一次方程式にした後、Scilabで連立一次方程式の方法で計算しました。

今回もほぼ全く同じ事を行うのですが、境界条件の部分を連立方程式にあらかじめ代入してしまうことで行列の大きさを少しだけ小さくしました。


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Fig.1: ラプラス方程式の数値解



問題設定


Scilabで一次元のラプラス方程式 その1と同様に、一次元のラプラス方程式を数値的に解きます。

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0

ただし 0 ≦ x ≦ 1 で境界条件は以下の通りです。

u = 1 (x = 0)
u = 0 (x = 1)

ここまでは前回と完全に同じです。

別解


前回とほぼ同じ内容ですが、行列のサイズを小さくするために表記を少し工夫します。

問題設定自体は同じですが、空間の分割数をひとつ増やします。それに伴って添え字を1からでは無く0からに変更しています。すなわち境界条件は u0=1, u4=0 です。

境界条件の部分を除いた連立方程式は以下の様になります。

u0 - 2u1 + u2 = 0
u1 - 2u2 + u3 = 0
u2 - 2u3 + u4 = 0

これに境界条件 u0=1, u4=0 を代入すると

-2u1 + u2 = -1
u1 - 2u2 + u3 = 0
u2 - 2u3 = 0

となります。

A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ \end{pmatrix}

\mathbf{u} = \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array} \right)

\mathbf{b} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)

とおけば、連立方程式を行列の形式で表すことができ

Au = b

やはりScilabで連立一次方程式の方法で計算することが出来ます。

今回の計算では、空間分解能が高くなったにもかかわらず、行列の大きさが小さくなっていることが分かると思います。まあ、あらかじめ境界条件の部分を代入して連立する方程式の数を2つ減らしただけですが。

Scilabで熱拡散方程式 その3 (陰解法)では、Octaveの精義の流儀に従っていますが、これは今回の方法と同じです。

一方、偏微分方程式の差分解法入門(PDF)前回の様に境界条件まで行列の中に含める方法を採っています。

関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




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