Scilabでおもりの吊り下げ

順番に行くならば、微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)の次の問題は3個の質点の吊り下げ問題です。

001_20130729204658.png
図35 3個のおもりの吊り下げ


図35に示したように,3個のおもりが,4本のいとでつながれ,天井からつり下げられている.この時の,4本の糸にかかる張力と糸が水平面となす角度Ti(i=1,2,3,4)を求めなさい.


これは、いままでのような常微分方程式を解くものではなく、非線形連立方程式の数値解を求める問題です。
微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)では自分で非線形方程式ソルバのプログラムをしていますが、ScilabやOctaveには非線形連立方程式の数値解を求めるための命令fsolveが実装されているので、実は簡単に数値解を求めることが出来ます。

著者の方もこのことに気づいたようでOctaveの精義では、ほとんど同じ問題がfsolveで計算されています。
したがって、今回はOctaveの精義のほうに倣ってfsolveで解くことにします。

今回は、この問題をScilabのfsolveを利用して解く事を考えます。
さらに、おもりの数が増えたり減ったりしたときも計算できるようにn個のおもりをつるしたときの計算が出来るようにします。


非線形連立方程式


解くべき方程式は力のつりあい、x方向とy方向の距離から以下連立方程式が得られます。

T_i \cos\theta_i - T_{i+1} \cos\theta_{i+1} = 0

T_i \sin\theta_i - T_{i+1} \sin\theta_{i+1} - W_i = 0

\sum_{i=1}^n L_i \cos\theta_i - L = 0

\sum_{i=1}^n L_i \sin\theta_i = 0

おもりの数がn個のとき、方程式は2n+2個、求める変数も張力Tiがn+1個と角度θiがn+1個でやはり計2n+2個になります。

プログラムを書く上では「2種類の変数がn+1個ずつ(つまりn+1個の要素を持つベクトル2つ)」というよりも「2n+2個の要素を持つベクトル1つ」のほうが都合が良いのでθiとTiをまとめて実数ベクトルZで以下のようにあらわすことにします。

\theta_i = Z_i

T_i = Z_{(n+1)+i}

行列の形に書き下すと

Z = \begin{pmatrix}Z_1 \\Z_2 \\\vdots \\Z_{n+1} \\Z_{n+2} \\Z_{n+3} \\\vdots \\Z_{2n+2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\theta_1 \\\theta_2 \\\vdots \\\theta_{n+1} \\T_{1} \\T_{2} \\\vdots \\T_{n+1}\end{pmatrix}

プログラムを書くときにミスしがちなので、解くべき方程式も丁寧に置き換えて書き直します。

Z_{(n+1)+i}\cos Z_i - Z_{(n+1)+(i+1)}\cos Z_{i+1} = 0

Z_{(n+1)+i}\sin Z_i - Z_{(n+1)+(i+1)}\sin Z_{i+1} - W_i = 0

\sum_{i=1}^{n}L_i\cos Z_i - L = 0

\sum_{i=1}^{n}L_i\sin Z_i = 0

数値計算


以上を踏まえて作成したプログラムがmass_sce.txtです。

002_20130729204658.png

Fig.2: 計算結果。糸の長さはL1=L2=L3=1,L4=3,L=4。おもりの重さはW1=W2=1, W2=2


clear;

// *** 入力パラメータ ***
// おもりの数
n = 3;

// おもりの重さ
for i = 1:n do
W(i) = input(strcat(["W",string(i)," = "]));
end
// 水平方向の距離
l = input("L = ");
// 糸の長さ
for i = 1:(n + 1) do
L(i) = input(strcat(["L",string(i)," = "]));
end

// *** 解くべき連立方程式 ***
function R = f(Z)
R(1:n) = Z(n+2:2*n+1) .* cos(Z(1:n)) - Z(n+3:2*n+2) .* cos(Z(2:n+1));
R(n+1:2*n) = Z(n+2:2*n+1) .* sin(Z(1:n)) - Z(n+3:2*n+2) .* sin(Z(2:n+1)) - W(1:n);
R(2*n+1) = sum(L .* cos(Z(1:(n+1)))) - l;
R(2*n+2) = sum(L .* sin(Z(1:(n+1))));
endfunction
// 初期値
Q0 = ones(2*n+2,1);
Q0(n+1) = -1;
// 非線形方程式ソルバ
Q = fsolve(Q0,f);

// *** おもりの位置の計算とプロット ***
DX = L .* cos(Q(1:n+1));
DY= - L .* sin(Q(1:n+1));
X(1) = DX(1);
Y(1) = DY(1);
for i = 2:n do
X(i) = X(i-1) + DX(i);
Y(i) = Y(i-1) + DY(i);
end
// 縦横比を等しくする
h = scf(); // ウィンドウを作成
ha = h.children(1); // Axes(座標軸)オブジェクトへのハンドルを取得
ha.isoview = "on"; // 座標軸の縦横比を等しくする
ha.data_bounds = [0,-1 * ceil(max([abs(Y);l])); ceil(max([abs(Y);l])),0]; // 座標軸表示範囲の設定
// データのプロット
plot([0;X;l],[0;Y;0]);
plot(X,Y,'or','markersize',10);

180*(Q(1:n+1))/%pi


関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




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