Scilabでvan der Pol方程式

微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)に従ってvan der Pol方程式の計算をします。

\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} - \mu (1-x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+x=0

(μ>0)

VanDerPol.png

Fig.1: van der Pol方程式。μ=1.0 (x0,v0)=(0,1)



作成したプログラムはVanDerPol_sce.txtです。

clear;

// *** 微分方程式の定義 ***
function dx = vanderpol(t,x)
mu = 1.0;
dx(1) = x(2);
dx(2) = mu * (1 - x(1) ^ 2) * x(2) - x(1);
endfunction

// *** 時間ベクトル ***
T = linspace(0,40,800);

// *** 微分方程式ソルバ ***
X0 = [0.0; 1.0]; // 初期条件
X = ode(X0,0,T,vanderpol);

// *** グラフのプロット ***
xsetech([0,0,1,0.45]);
plot(X(1,:),X(2,:));
xlabel("x");
ylabel("v");
xsetech([0,0.5,1,0.45]);
plot(T,X(1,:));
xlabel("t");
ylabel("x");


外力がある場合


外力がある場合の式は以下のように表されます。

\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} - \mu (1-x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+kx=f\cos\omega t

(μ>0)

プログラムはVanDerPol2_sce.txtです。

clear;

// *** 微分方程式の定義 ***
function dx = vanderpol(t,x)
mu = 1.0;
k = 1.0;
f = 2.0;
w = 2 * %pi;
dx(1) = x(2);
dx(2) = mu * (1 - x(1) ^ 2) * x(2) - k * x(1) + f * cos(w * t);
endfunction

// *** 時間ベクトル ***
T = linspace(0,40,800);

// *** 微分方程式ソルバ ***
x0 = 0.0;
v0 = -3.0;
X0 = [x0; v0]; // 初期条件
X = ode(X0,0,T,vanderpol);

// *** グラフのプロット ***
xsetech([0,0,1,0.45]);
plot(X(1,:),X(2,:));
xlabel("x");
ylabel("v");
xsetech([0,0.5,1,0.45]);
plot(T,X(1,:));
xlabel("t");
ylabel("x");


VanDerPol2.png

Fig.2: 外力のある場合。μ=1.0, k=1.0, f=2.0, ω=2π (x0,v0)=(0,-3)


関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したLTspiceのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




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