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Scilabでカオスアトラクタ

微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)に従って3つのカオスアトラクタの計算をします。

lorenz.png

Fig.1: Lorenzカオスアトラクタ。σ=10, R = 28, b = 8/3 (x0,y0,z0)=(0,0.03,0) 0≦t≦3000。



Lorenz方程式


Lorenz方程式は、以下の連立微分方程式であらわされます。

\begin{eqnarray*}<br />\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & = & -\sigma (x-y) \\<br />\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & = & Rx - y - xz \\<br />\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} & = & xy - bz<br />\end{eqnarray*}

プログラムはlorenz_sce.txtです。
なお出力された3次元グラフは、右ドラッグでぐるぐる動かすことが出来ます。

clear;

s = 10;
r = 28;
b = 8 / 3;

function dx = lorenz(t,x)
dx(1) = - s * (x(1) - x(2));
dx(2) = r * x(1) - x(2) - x(1) * x(3);
dx(3) = x(1) * x(2) - b * x(3);
endfunction

T = linspace(0,30,3000);
x0 = 0;
y0 = 0.03;
z0 = 0;
X0 = [x0; y0; z0];

X = ode(X0,0,T,lorenz);
plot3d3(X(1,:),X(2,:),X(3,:));


Rossler方程式


Rossler方程式は、以下の連立方程式であらわされます。

\begin{eqnarray*}<br />\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & = & -y-z \\<br />\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & = & x+ay \\<br />\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} & = & b+xz-cz<br />\end{eqnarray*}

プログラムはrossler_sce.txtです。

clear;

a = 0.2;
b = 0.2;
c = 5.6;

function dx = rossler(t,x)
dx(1) = - x(2) - x(3);
dx(2) = x(1) + a * x(2);
dx(3) = b + x(1) * x(3) - c * x(3);
endfunction

T = linspace(0,100,10000);
x0 = 1;
y0 = 0;
z0 = 0;
X0 = [x0; y0; z0];

X = ode(X0,0,T,rossler);
plot3d3(X(1,:),X(2,:),X(3,:));


rossler.png

Fig.2: Rosslerカオスアトラクタ。a = 0.2, b = 0.2, c = 5.6 (x0,y0,z0)=(1,0,0) 0≦t≦10000。


Silnikov方程式


Silnikov方程式は、以下の連立方程式であらわされます。

\begin{eqnarray*}<br />\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & = & y \\<br />\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & = & z \\<br />\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} & = & -ax-y+bx(1-cx-dx^2)<br />\end{eqnarray*}

プログラムはsilnikov_sce.txtです。

clear;

a = 0.4;
b = 0.7;
c = 0.0;
d = 1.0

function dx = silnikov(t,x)
dx(1) = x(2);
dx(2) = x(3);
dx(3) = - a * x(3) - x(2) + b * x(1) * (1 - c * x(1) - d * x(1) ^ 2);
endfunction

T = linspace(0,200,20000);
x0 = 0.1;
y0 = 0.1;
z0 = 0.2;
X0 = [x0; y0; z0];

X = ode(X0,0,T,silnikov);
plot3d3(X(1,:),X(2,:),X(3,:));


silnikov.png

Fig.3: Silnikovカオスアトラクタ。a = 0.4, b = 0.7, c = 0.0, d = 1.0 (x0,y0,z0)=(0.1,0.1,0.2) 0≦t≦20000。


関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したLTspiceのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




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tag: Scilab 常微分方程式 ode カオス 

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