ScilabでDuffin方程式

微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)に従ってDuffin方程式をシミュレーションします。

\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}+D\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\beta x^3 = f\cos\omega t

001_20130722112028.png

Fig.1: Duffin方程式のポアンカレ図(D=0.05, f=7.5, β=1.0)



ポアンカレ図


外力の周期の整数倍の間隔で、位相図をプロットしたものをポアンカレ図と呼びます。
プログラム中では、周期2πのk倍のときの位置と速度をプロットしています。

  if k - fix(k / 100) * 100 == 0 then
k // 100ごとに数値をカウント表示
end


MatlabやOctaveのrem(X,Y)X-fix(X./Y).*Yで表すことが出来ます(参考:rem (Matlab function))。上記のプログラムは、kが100で割り切れるときだけkの値を表示するというもので、Duffin方程式のポアンカレ図は書くのに結構な時間がかかるため、どこまで計算したかを人間が見て分かるように表示させるためのものです。

以上を踏まえてScilabへ移植したプログラムがduffin_sce.txtです。

clear;

// *** 共通部分 ***
// 入力パラメータ
d = 0.05;
f = 7.5;
b = 1.0;
t = 2 * %pi; // 時間の最大値
n = t / 0.01 + 1; // 時間の刻み数
T = linspace(0,t,n);
// 初期値
x0 = 0.0;
dx0 = 0.0;
X0 = [x0; dx0];

// *** 常微分方程式ソルバによる数値解 ***
// 微分方程式の定義
function dx = duffin(t,x)
dx(1) = x(2);
dx(2) = - d * x(2) - b * x(1) ^ 3 + f * cos(t);
endfunction

for k = 1:5000;
if k - fix(k / 100) * 100 == 0 then
k // 100ごとに数値をカウント表示
end
X = ode(X0,0,T,duffin); // 常微分方程式ソルバ
X0 = [X(1,n); X(2,n)];
XV(1,k) = X(1,n);
XV(2,k) = X(2,n);
end
plot(XV(1,:),XV(2,:),'.r','markersize',1);
xlabel("x");
ylabel("v");


関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




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tag: Scilab 常微分方程式 ode 位相図 カオス 

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