Scilabで強制振動

微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)に従って進めるなら、次は減衰振動です。

\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + D\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} + kx = f\cos\omega t

実はf=0のときは理工系学生の遊歩道のScilabを使ってみよう2 - 摩擦のある振動に他ならず、ねがてぃぶろぐでもScilabで常微分方程式:摩擦のある運動で追試を行っています。更に今回扱うfがゼロで無い場合は、Scilabを使ってみよう3 - 強制振動です。

この問題設定はScilabを使ってみよう3 - 強制振動で下記のように図示されています。

001_20130721232524.png

摩擦のある水平面上に重りがあります。ばねの弾性力と速度に比例する摩擦力とが重りに働くとします。このときの重りの振動がどのようになるかを微分方程式でしらべてみましょう。


更に微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)に従ってScilabで単振り子 その4 位相図で描いた位相図も追加します。


解析解との比較


微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)によると、D2-4k<0のとき解析解は下記のようにあらわせます。

\begin{eqnarray*}<br />x(t) & = & A \exp\left(-\frac{Dt}{2}\right)\cos\left(t\sqrt{k - \frac{D^2}{4}}+\theta\right) \\<br />& + & \frac{f}{\sqrt{(k-\omega^2)^2 + (D\omega)^2}}\cos(\omega t + \phi)<br />\end{eqnarray*}

\phi = -\arctan\frac{D\omega}{k-\omega^2}

ここでAとθは初期条件に依存し、微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)のリスト14から読み取るに以下のように書けるのだと思います。

\theta = \arctan\frac{A_s}{A_c}

\theta = \arctan\frac{A_s}{A_c}

ただし
A_{kD\omega} = (k - \omega^2)^2 + (D\omega)^2

A_c = x_0 - f\cdot\frac{k-\omega^2}{A_{kD\omega}}

A_s = - \frac{v_0 + \frac{D}{2}A_c - \frac{fD\omega^2}{A_{kD\omega}}}{\sqrt{k - \frac{D^2}{4}}}

このように要所要所で中間変数を計算しておくことは数値計算の常識とのことです。

これらを踏まえて作成したScilabプログラムがdumpx_sce.txtです。

002_20130721232524.png

Fig. 2: 解析解との比較(上)。赤が数値計算の結果、緑が解析解。


パラメータと初期値の変更


常微分方程式ソルバをつかった数値解の入力パラメータ(k, D, f)と初期条件(x0,v0)をinputを用いて入力できるようにしたのがdump_sce.txtです。

003_20130721232524.png

Fig.3: 時間-速度プロット(上)と位相図(下)


関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




フィードバック



にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ

 ↑ 電子工作ブログランキング参加中です。1クリックお願いします。


コメント・トラックバックも歓迎です。 ↓      


 ↓ この記事が面白かった方は「拍手」をお願いします。


tag: Scilab 常微分方程式 ode 位相図 

comment

Secret

FC2カウンター
カテゴリ
ユーザータグ

LTspiceAkaiKKRmachikaneyamaScilabKKRPSoC強磁性OPアンプPICCPAecaljモンテカルロ解析常微分方程式odeトランジスタ状態密度DOSインターフェース定電流PDS5022スイッチング回路半導体シェルスクリプト乱数レベルシフト分散関係HP6632AI2C可変抵抗トランジスタ技術ブレッドボード温度解析R6452A反強磁性確率論バンドギャップセミナー数値積分熱設計非線形方程式ソルババンド構造絶縁偏微分方程式ISO-I2CLM358マフィンティン半径フォトカプラシュミットトリガカオスLED三端子レギュレータGW近似A/Dコンバータ発振回路PC817C直流動作点解析USBTL431数値微分アナログスイッチカレントミラー74HC4053サーボ量子力学単振り子チョッパアンプ補間2ちゃんねる開発環境bzqltyFFT電子負荷LDAイジング模型BSch基本並進ベクトルブラべ格子パラメトリック解析標準ロジックアセンブラ繰り返し六方最密充填構造SMPコバルトewidthFET仮想結晶近似QSGW不規則合金VCAMaximaGGA熱伝導cygwinスレーターポーリング曲線キュリー温度スイッチト・キャパシタ失敗談ランダムウォークgfortran抵抗相対論位相図スピン軌道相互作用VESTA状態方程式TLP621ラプラス方程式TLP552条件分岐NE555LM555TLP521マントル詰め回路MCUテスタFXA-7020ZR三角波過渡解析ガイガー管自動計測QNAPUPSWriter509ダイヤモンドデータロガー格子比熱熱力学起電力awkブラウン運動スーパーセルUbuntu差し込みグラフ第一原理計算フェルミ面fsolveCIFxcrysden最大値最小値ubuntu最適化平均場近似OpenMP井戸型ポテンシャル固有値問題シュレディンガー方程式TeX2SC1815結晶磁気異方性OPA2277フラクタルFSM固定スピンモーメントc/a非線型方程式ソルバgnuplot全エネルギーfcc初期値マンデルブロ集合縮退正規分布interp1ウィグナーザイツ胞L10構造multiplotフィルタ面心立方構造PGAハーフメタル二相共存ZnOウルツ鉱構造BaOSIC重積分磁気モーメント電荷密度化学反応クーロン散乱岩塩構造CapSenseノコギリ波デバイ模型キーボード半金属フォノンquantumESPRESSOルチル構造スワップ領域リジッドバンド模型edelt合金Realforce軸ラベルグラフの分割凡例線種シンボルMAS830LCK1026LMC662PIC16F785トランス関数フィッティングトラックボールPC等価回路モデルヒストグラムパラメータ・モデル不規則局所モーメント最小二乗法TS-112TS-110直流解析ExcelGimp円周率片対数グラフ両対数グラフspecx.f疎行列三次元ifort文字列不純物問題P-10等高線ジバニャン方程式ヒストグラム確率論マテリアルデザイン入出力境界条件陰解法AACircuit熱拡散方程式HiLAPWMBEEAGLE連立一次方程式ナイキスト線図負帰還安定性Crank-Nicolson法日本語

最新コメント
リンク

にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ