Scilabで強制振動

微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)に従って進めるなら、次は減衰振動です。

\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + D\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} + kx = f\cos\omega t

実はf=0のときは理工系学生の遊歩道のScilabを使ってみよう2 - 摩擦のある振動に他ならず、ねがてぃぶろぐでもScilabで常微分方程式:摩擦のある運動で追試を行っています。更に今回扱うfがゼロで無い場合は、Scilabを使ってみよう3 - 強制振動です。

この問題設定はScilabを使ってみよう3 - 強制振動で下記のように図示されています。

001_20130721232524.png

摩擦のある水平面上に重りがあります。ばねの弾性力と速度に比例する摩擦力とが重りに働くとします。このときの重りの振動がどのようになるかを微分方程式でしらべてみましょう。


更に微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)に従ってScilabで単振り子 その4 位相図で描いた位相図も追加します。


解析解との比較


微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)によると、D2-4k<0のとき解析解は下記のようにあらわせます。

\begin{eqnarray*}<br />x(t) & = & A \exp\left(-\frac{Dt}{2}\right)\cos\left(t\sqrt{k - \frac{D^2}{4}}+\theta\right) \\<br />& + & \frac{f}{\sqrt{(k-\omega^2)^2 + (D\omega)^2}}\cos(\omega t + \phi)<br />\end{eqnarray*}

\phi = -\arctan\frac{D\omega}{k-\omega^2}

ここでAとθは初期条件に依存し、微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)のリスト14から読み取るに以下のように書けるのだと思います。

\theta = \arctan\frac{A_s}{A_c}

\theta = \arctan\frac{A_s}{A_c}

ただし
A_{kD\omega} = (k - \omega^2)^2 + (D\omega)^2

A_c = x_0 - f\cdot\frac{k-\omega^2}{A_{kD\omega}}

A_s = - \frac{v_0 + \frac{D}{2}A_c - \frac{fD\omega^2}{A_{kD\omega}}}{\sqrt{k - \frac{D^2}{4}}}

このように要所要所で中間変数を計算しておくことは数値計算の常識とのことです。

これらを踏まえて作成したScilabプログラムがdumpx_sce.txtです。

002_20130721232524.png

Fig. 2: 解析解との比較(上)。赤が数値計算の結果、緑が解析解。


パラメータと初期値の変更


常微分方程式ソルバをつかった数値解の入力パラメータ(k, D, f)と初期条件(x0,v0)をinputを用いて入力できるようにしたのがdump_sce.txtです。

003_20130721232524.png

Fig.3: 時間-速度プロット(上)と位相図(下)


関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




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tag: Scilab 常微分方程式 ode 位相図 

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