Scilabで単振り子 その3 ヤコビの楕円関数

Scilabで単振り子 その1 解析解との比較Scilabで単振り子 その2 近似解との比較と単振り子の運動を計算してきました(微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)の例題5と問題20)。今回は、その1で計算した解析解を更に変形してヤコビの楕円関数で表したものを計算します(元PDF問題19)。

_\theta (t) = 2 \arcsin \left\{\sin\frac{\theta_0}{2} \mathrm{sn}\left(t\sqrt{\frac{g}{L}},\sin^2\frac{\theta_0}{2}\right) \right\}

ただし元PDFの説明が不親切なこともあり、2点ほど考えなければならない点があります。

一つ目は、元PDFの図21を見ても分かるとおりt=0(s)のときのθがθ0になっていない事です。プロットしてみれば分かりますが、ヤコビの楕円関数の式は、θ=0から最大振幅θ0となるような初角速度q0を与えたときの解となっています。

二つ目は、Scilabでヤコビの楕円関数をどのように呼び出すかということです。特に元PDFでは以下のように書かれているにもかかわらず、kが定義されていないので分かりづらいです。(それどころかリスト13 pendulum.mのなかで全く別の変数にkを使っていてとても紛らわしいです。)

Octave でJacobi の楕円関数を得るにはm = k2とおいて,以下のように呼び出します.
[sn, cn, dn] = ellipj(u,m)


これら2つの点について順に書きます。


初角速度q0の計算


001_20130720182725.png

Fig.1: 単振り子の問題設定


エネルギー保存則から

mgL(1-\cos\theta_0) = \frac{1}{2}mv_0^2

左辺はθ=θ0, q=0のときの(位置)エネルギーで、θ=0,q=q0のときの速度をv0とすると右辺はθ=0のときの(運動)エネルギーです。

従って初速度v0

v_0 = \sqrt{2gL(1-\cos\theta_0)}

初角速度は

q_0 = \frac{v_0}{L} = \sqrt{2\frac{g}{L}(1-\cos\theta_0)}

なお数値計算の常識によると倍角は使うな,半角を使えとのことなので、下記の倍角公式を使います。

\sin^2 x = \frac{1-\cos x}{2}

結局、θ=0から初角速度q0を与えたときに最大振幅がθ0となる初角速度q0

q_0 = 2 \sqrt{\frac{g}{L}}\sin^2\frac{\theta_0}{2}

となります。

ヤコビの楕円関数


単振り子の話(PDF)などをみると

\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}

k = \sin \frac{\theta_0}{2}

というようにおくのが普通のようです。元PDFで定義されずに使われているkもこれだと思います。

Scilabではヤコビの楕円関数は%sn(x,m)で計算できます。(参考:%sn - ヤコビ楕円関数)

元PDFと同様に m=k2とおいて冒頭の式の形になります。

\theta(t) = 2 \arcsin \left\{ k \cdot \sin\left(\omega t, k^2\right)\right\}

計算結果


以上を踏まえて作成したプログラムがpendulum3_sce.txtです。

002_20130721152439.png

Fig.2: 最大振幅θ0=3のときの計算結果。常微分方程式ソルバで計算した結果(赤)とヤコビの楕円関数で計算した解析解(緑)が同じ結果を示している。


関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




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