Scilabで単振り子 その3 ヤコビの楕円関数

Scilabで単振り子 その1 解析解との比較Scilabで単振り子 その2 近似解との比較と単振り子の運動を計算してきました(微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)の例題5と問題20)。今回は、その1で計算した解析解を更に変形してヤコビの楕円関数で表したものを計算します(元PDF問題19)。

_\theta (t) = 2 \arcsin \left\{\sin\frac{\theta_0}{2} \mathrm{sn}\left(t\sqrt{\frac{g}{L}},\sin^2\frac{\theta_0}{2}\right) \right\}

ただし元PDFの説明が不親切なこともあり、2点ほど考えなければならない点があります。

一つ目は、元PDFの図21を見ても分かるとおりt=0(s)のときのθがθ0になっていない事です。プロットしてみれば分かりますが、ヤコビの楕円関数の式は、θ=0から最大振幅θ0となるような初角速度q0を与えたときの解となっています。

二つ目は、Scilabでヤコビの楕円関数をどのように呼び出すかということです。特に元PDFでは以下のように書かれているにもかかわらず、kが定義されていないので分かりづらいです。(それどころかリスト13 pendulum.mのなかで全く別の変数にkを使っていてとても紛らわしいです。)

Octave でJacobi の楕円関数を得るにはm = k2とおいて,以下のように呼び出します.
[sn, cn, dn] = ellipj(u,m)


これら2つの点について順に書きます。


初角速度q0の計算


001_20130720182725.png

Fig.1: 単振り子の問題設定


エネルギー保存則から

mgL(1-\cos\theta_0) = \frac{1}{2}mv_0^2

左辺はθ=θ0, q=0のときの(位置)エネルギーで、θ=0,q=q0のときの速度をv0とすると右辺はθ=0のときの(運動)エネルギーです。

従って初速度v0

v_0 = \sqrt{2gL(1-\cos\theta_0)}

初角速度は

q_0 = \frac{v_0}{L} = \sqrt{2\frac{g}{L}(1-\cos\theta_0)}

なお数値計算の常識によると倍角は使うな,半角を使えとのことなので、下記の倍角公式を使います。

\sin^2 x = \frac{1-\cos x}{2}

結局、θ=0から初角速度q0を与えたときに最大振幅がθ0となる初角速度q0

q_0 = 2 \sqrt{\frac{g}{L}}\sin^2\frac{\theta_0}{2}

となります。

ヤコビの楕円関数


単振り子の話(PDF)などをみると

\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}

k = \sin \frac{\theta_0}{2}

というようにおくのが普通のようです。元PDFで定義されずに使われているkもこれだと思います。

Scilabではヤコビの楕円関数は%sn(x,m)で計算できます。(参考:%sn - ヤコビ楕円関数)

元PDFと同様に m=k2とおいて冒頭の式の形になります。

\theta(t) = 2 \arcsin \left\{ k \cdot \sin\left(\omega t, k^2\right)\right\}

計算結果


以上を踏まえて作成したプログラムがpendulum3_sce.txtです。

002_20130721152439.png

Fig.2: 最大振幅θ0=3のときの計算結果。常微分方程式ソルバで計算した結果(赤)とヤコビの楕円関数で計算した解析解(緑)が同じ結果を示している。


関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




フィードバック



にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ

 ↑ 電子工作ブログランキング参加中です。1クリックお願いします。


コメント・トラックバックも歓迎です。 ↓      


 ↓ この記事が面白かった方は「拍手」をお願いします。


tag: Scilab 常微分方程式 ode 単振り子 

comment

Secret

FC2カウンター
カテゴリ
ユーザータグ

LTspiceAkaiKKRmachikaneyamaScilabKKRPSoCOPアンプCPA強磁性PICモンテカルロ解析常微分方程式odeトランジスタecalj状態密度DOSインターフェース定電流スイッチング回路PDS5022半導体シェルスクリプト乱数レベルシフトHP6632A温度解析分散関係I2Cトランジスタ技術R6452A可変抵抗ブレッドボードセミナーバンドギャップ数値積分確率論反強磁性偏微分方程式バンド構造絶縁熱設計非線形方程式ソルバフォトカプラシュミットトリガLEDLM358カオスISO-I2C三端子レギュレータGW近似A/Dコンバータカレントミラーアナログスイッチ数値微分マフィンティン半径TL431発振回路サーボPC817CUSB直流動作点解析74HC4053補間FFTBSch開発環境パラメトリック解析2ちゃんねるチョッパアンプ量子力学bzqlty電子負荷イジング模型LDA標準ロジックアセンブラ基本並進ベクトルブラべ格子単振り子熱伝導位相図TLP621キュリー温度繰り返し状態方程式MaximaVESTAスイッチト・キャパシタ相対論FETランダムウォークスピン軌道相互作用SMP六方最密充填構造抵抗不規則合金ewidthスレーターポーリング曲線GGAラプラス方程式cygwingfortranQSGW失敗談コバルト条件分岐TLP521テスタLM555Writer509TLP552格子比熱マントルデータロガー自動計測詰め回路ガイガー管ダイヤモンドQNAPMCUFXA-7020ZR過渡解析三角波UPSNE555固有値問題熱力学ブラウン運動フェルミ面awk起電力第一原理計算OpenMPfsolveubuntu最大値xcrysden最小値最適化仮想結晶近似VCA差し込みグラフスーパーセル井戸型ポテンシャル平均場近似シュレディンガー方程式FSMフラクタルOPA2277固定スピンモーメント2SC1815全エネルギー合金multiplotgnuplotc/aTeX結晶磁気異方性interp1ウィグナーザイツ胞初期値マンデルブロ集合疎行列面心立方構造fcc不純物問題非線型方程式ソルバフィルタL10構造PGA半金属二相共存SICZnOウルツ鉱構造BaO重積分クーロン散乱磁気モーメント電荷密度三次元CIF岩塩構造CapSenseノコギリ波デバイ模型ハーフメタル正規分布フォノンquantumESPRESSOルチル構造スワップ領域リジッドバンド模型edelt縮退キーボード軸ラベルグラフの分割凡例トラックボールPC不規則局所モーメント片対数グラフトランス両対数グラフCK1026MAS830L直流解析Excel円周率パラメータ・モデルヒストグラム日本語最小二乗法等価回路モデルGimp線種シンボルTS-110TS-112PIC16F785LMC662化学反応文字列specx.f入出力ifortマテリアルデザインヒストグラム確率論Realforce等高線ジバニャン方程式P-10Ubuntuナイキスト線図Crank-Nicolson法陰解法熱拡散方程式HiLAPWAACircuit連立一次方程式負帰還安定性境界条件EAGLEMBE関数フィッティング

最新コメント
リンク

にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ