Scilabで単振り子 その3 ヤコビの楕円関数

Scilabで単振り子 その1 解析解との比較Scilabで単振り子 その2 近似解との比較と単振り子の運動を計算してきました(微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)の例題5と問題20)。今回は、その1で計算した解析解を更に変形してヤコビの楕円関数で表したものを計算します(元PDF問題19)。

_\theta (t) = 2 \arcsin \left\{\sin\frac{\theta_0}{2} \mathrm{sn}\left(t\sqrt{\frac{g}{L}},\sin^2\frac{\theta_0}{2}\right) \right\}

ただし元PDFの説明が不親切なこともあり、2点ほど考えなければならない点があります。

一つ目は、元PDFの図21を見ても分かるとおりt=0(s)のときのθがθ0になっていない事です。プロットしてみれば分かりますが、ヤコビの楕円関数の式は、θ=0から最大振幅θ0となるような初角速度q0を与えたときの解となっています。

二つ目は、Scilabでヤコビの楕円関数をどのように呼び出すかということです。特に元PDFでは以下のように書かれているにもかかわらず、kが定義されていないので分かりづらいです。(それどころかリスト13 pendulum.mのなかで全く別の変数にkを使っていてとても紛らわしいです。)

Octave でJacobi の楕円関数を得るにはm = k2とおいて,以下のように呼び出します.
[sn, cn, dn] = ellipj(u,m)


これら2つの点について順に書きます。


初角速度q0の計算


001_20130720182725.png

Fig.1: 単振り子の問題設定


エネルギー保存則から

mgL(1-\cos\theta_0) = \frac{1}{2}mv_0^2

左辺はθ=θ0, q=0のときの(位置)エネルギーで、θ=0,q=q0のときの速度をv0とすると右辺はθ=0のときの(運動)エネルギーです。

従って初速度v0

v_0 = \sqrt{2gL(1-\cos\theta_0)}

初角速度は

q_0 = \frac{v_0}{L} = \sqrt{2\frac{g}{L}(1-\cos\theta_0)}

なお数値計算の常識によると倍角は使うな,半角を使えとのことなので、下記の倍角公式を使います。

\sin^2 x = \frac{1-\cos x}{2}

結局、θ=0から初角速度q0を与えたときに最大振幅がθ0となる初角速度q0

q_0 = 2 \sqrt{\frac{g}{L}}\sin^2\frac{\theta_0}{2}

となります。

ヤコビの楕円関数


単振り子の話(PDF)などをみると

\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}

k = \sin \frac{\theta_0}{2}

というようにおくのが普通のようです。元PDFで定義されずに使われているkもこれだと思います。

Scilabではヤコビの楕円関数は%sn(x,m)で計算できます。(参考:%sn - ヤコビ楕円関数)

元PDFと同様に m=k2とおいて冒頭の式の形になります。

\theta(t) = 2 \arcsin \left\{ k \cdot \sin\left(\omega t, k^2\right)\right\}

計算結果


以上を踏まえて作成したプログラムがpendulum3_sce.txtです。

002_20130721152439.png

Fig.2: 最大振幅θ0=3のときの計算結果。常微分方程式ソルバで計算した結果(赤)とヤコビの楕円関数で計算した解析解(緑)が同じ結果を示している。


関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




フィードバック



にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ

 ↑ 電子工作ブログランキング参加中です。1クリックお願いします。


コメント・トラックバックも歓迎です。 ↓      


 ↓ この記事が面白かった方は「拍手」をお願いします。


tag: Scilab 常微分方程式 ode 単振り子 

comment

Secret

FC2カウンター
カテゴリ
ユーザータグ

LTspiceAkaiKKRmachikaneyamaScilabKKRPSoC強磁性CPAPICOPアンプecalj状態密度常微分方程式モンテカルロ解析トランジスタodeDOSインターフェーススイッチング回路定電流PDS5022分散関係半導体シェルスクリプト乱数レベルシフトHP6632A温度解析ブレッドボード可変抵抗I2Cトランジスタ技術R6452A確率論バンド構造セミナーバンドギャップ反強磁性数値積分熱設計絶縁非線形方程式ソルバ偏微分方程式PWscfA/Dコンバータマフィンティン半径フォトカプラカオスISO-I2CGW近似LM358LEDシュミットトリガ三端子レギュレータ74HC4053アナログスイッチUSBサーボ数値微分直流動作点解析補間カレントミラーTL431PC817C発振回路FFT電子負荷VESTA開発環境量子力学単振り子bzqlty基本並進ベクトル2ちゃんねるチョッパアンプ標準ロジックパラメトリック解析アセンブラブラべ格子BSchQuantumESPRESSOイジング模型LDA状態方程式GGA仮想結晶近似VCA熱伝導SMPスイッチト・キャパシタキュリー温度Quantum_ESPRESSOスーパーリーグTLP621トレーナーバトルewidth最適化Maxima抵抗失敗談相対論コバルト繰り返し位相図六方最密充填構造ポケモンGOスピン軌道相互作用gfortranランダムウォークFETスレーターポーリング曲線cygwinQSGW不規則合金ラプラス方程式MCU条件分岐データロガーマントルUPS固有値問題格子比熱シュレディンガー方程式熱力学詰め回路ガイガー管QNAP井戸型ポテンシャルダイヤモンドOpenMPTLP521ハーフメタルLM555ubuntu平均場近似ブラウン運動フェルミ面NE555ZnOゼーベック係数TLP552xcrysdenCIF最小値最大値awkfsolveテスタ第一原理計算Ubuntu差し込みグラフFXA-7020ZR三角波過渡解析Writer509自動計測スーパーセル起電力トランスCK1026MAS830LフィルタPGAP-10MBEOPA2277ナイキスト線図ノコギリ波AACircuitEAGLE2SC1815PIC16F785LMC662CapSense負帰還安定性入出力固定スピンモーメントFSMTeX結晶磁気異方性全エネルギーc/a合金multiplotgnuplot非線型方程式ソルバL10構造正規分布等高線ジバニャン方程式初期値interp1fcc面心立方構造ウィグナーザイツ胞半金属デバイ模型磁気モーメント電荷密度重積分SIC不純物問題擬ポテンシャル状態図cif2cellPWgui二相共存ウルツ鉱構造edeltquantumESPRESSOフォノンリジッドバンド模型スワップ領域BaO岩塩構造ルチル構造ヒストグラム確率論マテリアルデザインフラクタルマンデルブロ集合キーボードRealforceクーロン散乱三次元疎行列縮退化学反応関数フィッティング最小二乗法Excel直流解析PCTS-110TS-112日本語パラメータ・モデル等価回路モデル文字列不規則局所モーメント陰解法熱拡散方程式HiLAPWCrank-Nicolson法連立一次方程式specx.fifort境界条件両対数グラフ片対数グラフGimp円周率ヒストグラムシンボル線種グラフの分割軸ラベル凡例トラックボール

最新コメント
リンク

にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ