Scilabで川を渡る船

Scilabで2次元の放物運動Scilabでマグヌス効果では、Scilabの乗微分方程式ソルバodeを使って2次元空間内での物体の運動の時間変化を計算しました。

今回も同様にして、川を渡る船(微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)の問題18)をテーマに2次元空間の運動を計算します。

船が川岸の一点P からl 離れた真正面の対岸の一点O に進むとき,船の進路を求めなさい.
ただし,川は一定速度vR で流れ,船の推進速度はvB で船は常にO 点に向かっているものとします.

001_20130715174552.jpg

Fig.1: 川を渡る船。船はその推力によってvBで進みますが、陸から見ると川の流れvRによって流されてもいる。写真は(c)松江周辺の観光地壁紙集



問題設定


この問題の解答となるScilabプログラムはYahoo!知恵袋で2件ほど報告されています。(参考:Scilabのプログラムについて質問です。以下のPDFの問題18(川を渡る船)をScilabで解くプログラムを作成してほしいです。)

元PDFでは、解くべき微分方程式がyをxで微分する形で示されていますが、前々回前回と時間tで微分する形でプログラミングしてきたので、今回も前回までと同じように時間で微分した形で計算する場合のコードを書いてみます。

river.png

Fig.2: 問題設定。ある点Qにいる船の速度は、そのx成分であるvBxとy成分であるvByに分けられる。


船の推進速度は常にvBであり、進行方向は常に原点O目指します。そこでvBをx方向とy方向の成分に分解すると

v_{Bx} = - v_B \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}
v_{By} = - v_B \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}

となります。
これに加えてy方向には川が流れているので陸地から見た船の速度は

v_x = - v_B \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}
v_y = - v_B \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} + v_R

となります。vR = b vBとして、位置の時間微分が速度なのでScilabのode関数で解くことが出来るdx/dt = ...の形で書き下すと

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v_x = -v_B \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = v_y = -v_B \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} + b v_B

数値シミュレーション


計算結果を以下に示します。boat_sce.txt

元PDFでは、横軸にy、縦軸にxをとっていて気持ち悪いので、横軸をx、縦軸をyとしてプロットしています。


002_20130715181904.png
Fig.3: 計算結果


模範解答


元PDFの通りに

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y - b \sqrt{x^2 + y^2}}{x}

と、解析解

y(x) = \frac{l}{2}\left\{ \left(\frac{x}{l}\right)^{1-b} - \left(\frac{x}{l}\right)^{1+b}\right\}

をプロットするスクリプトも公開します。boat2_sce.txt

003_20130715184746.png

Fig.4: 元PDFの指揮に従った計算結果


また、本エントリの前半部分の式からdy/dx = ...の形に変形するには

\begin{eqnarray*}<br />\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} & = & \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\\ & = & \frac{- v_B \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}+bv_B}{-v_B\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}\\ & = & \frac{y - b \sqrt{x^2+y^2}}{x}\end{eqnarray*}

どちらのプログラムを採用するにせよ、微分方程式の分母がゼロになる付近(原点O周辺)ではゼロ除算が発生するので計算結果が怪しくなるようです。

関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




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tag: Scilab 常微分方程式 ode 

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