Scilabでマグヌス効果

今回も微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)を元ネタとして、例題4のプログラムをScilabに移植します。

Scilabで2次元の放物運動では、物体が2次元空間の中で空気抵抗の影響を受けながら運動する様子をScilabを用いてシミュレーションしました。
今回は、これを更に拡張して、ボールの回転の効果をモデルに取り込みます。

001_20130711225638.jpg

Fig.1: 卓球の球は重力と空気抵抗による力だけでなく、回転によってもその軌道が変化する。写真は(c) *嘟嘟嘟*



マグヌス効果


野球のには、様々な変化球を投げるピッチャーがいます。この変化球というのは、ボールにかかった回転が重要な役割を果たしています。この現象をマグヌス効果とよび野球や卓球などで重要な理論となっています。マグヌス効果の説明は、微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)では、以下の様になされています。

ボールに回転をかけながら投げると曲がります.これは回転によって空気の流れが変化し,速度ベクトルV と直角方向に力が生ずるためです.回転ベクトル(大きさを回転数,向きを回転の軸)ω とすると,生ずる力は,図17のように回転ベクトルと速度ベクトルの外積ω×V に比例することがA.Magnus(1853) の研究で示されました.したがって,この横向きの力の発生はマグヌス効果と呼ばれます.

002_20130711230302.png

図17 マグヌス効果:ボールの回転によって生ずる横向きの力


マグヌス効果の比例定数をS0とおくと

\vec{S} = S_0 \vec{\omega} \times \vec{v} = S_0 (-\omega v_y, \omega v_y, 0)

前回と同様に、普通の空気抵抗は速度の2乗に比例するとした運動方程式は

m\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} = - S_0 \omega v_y - b v_x \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

m\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} = S_0 \omega v_x - b v_y \sqrt{v_x^2 + v_y^2} - mg

本来ならここで、マグヌス効果による比例定数S0の値を物理的考察から見積もる、ということをやらなければならないのですが、Wikipediaのマグヌス効果循環 (流体力学)を見る限りちょっとややこしそうなので、今回はパスということにします。

S0を求めないこととするのでωとあわせて

s_w \equiv S_0 \omega

と書いてしまいます。

そのほかのパラメータであるピンポン球の質量mや速度の2乗に比例する空気抵抗の係数bは、Scilabで大きな雨粒の落下運動と同じ方法で1次元運動の終端速度から求めることが出来るはずです。

これらをまとめてScilabで計算するために dx/dt = ...の形に変形すると解くべき連立方程式は以下のようになります。

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v_x

\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} = - \frac{s_w}{m} v_y - \frac{b}{m} v_x \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = v_y

\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} = \frac{s_w}{m} v_x - \frac{b}{m} v_y \sqrt{v_x^2 + v_y^2} - g

余談ですが元PDFには、この辺りにずいぶん誤植があります。順番に行くとP22の9.2.1のy方向の運動方程式は重力の項が-gとなっていますが、これは-mgの間違いだと思います。同様にP23の9.2.2マグヌス効果のy方向の運動方程式も同様の間違いがあります。この質量mの誤植はリスト12のスクリプト中にもバグとして存在しています。解くべき運動方程式parab(x,t)のdx(2)とdx(4)の左辺第一項は両方とも質量Mで割られてなければいけないはずです。バグが発覚しなかったのはM=1でしか計算がされていないからだと思います。更に本文中に戻ると、同じ運動方程式の左辺は分子に微分記号のdが抜けている誤植も見つかります。

数値シミュレーション



シミュレーション結果とソースコードを示します。

003_20130711225637.png

Fig.2: マグヌス効果のシミュレーション結果。横軸がx方向の位置、縦軸がy方向の位置。回転ベクトルの大きさω(または比例定数S0のどちらか、または両方)が大きい場合はボールが宙返りをするような魔球のような挙動になる。


clear;

// *** 入力パラメータ ***
m = 1; // 物体の質量 (g)
b = 0.15; // 速度の2乗に比例する空気抵抗の係数 (g/s)
g = 9.8; // 重力加速度 (m/s^2)
v0 = 10; // 初期速度 (m/s)
deg = 30; // 角度

// 解くべき方程式の定義
function dx = magnus(t,x)
// dx/dt = vx
dx(1) = x(2)
// dy/dt = vy
dx(3) = x(4)
// dvx/dt = - (sw/m) * vy - (b/m) * vx * √(vx^2 + vy^2)
dx(2) = - sw * x(4) / m - b / m * x(2) * sqrt(x(2) ^ 2 + x(4) ^ 2)
// dvy/dt = (sw/m) * vx - (b/m) * vy * √(vx^2 + vy^2) - g
dx(4) = sw * x(2) / m - b / m * x(4) * sqrt(x(2) ^ 2 + x(4) ^ 2) - g
endfunction

// 度からラジアンへの変換
function ret = torad(angle)
ret = %pi * angle / 180;
endfunction

// *** 常微分方程式の計算 ***
// 時間ベクトル
T = linspace(0,5,1000); // 2(s)後まで計算
th = torad(deg); // 度からラジアンへの変換
// 常微分方程式の数値解
for k = 1:3 do
sw = 1.5 * k; // 比例定数と回転ベクトルの積をパラメータとして変化させる
vx0 = v0 * cos(th); // 水平方向(x)の初速度
vy0 = v0 * sin(th); // 垂直方向(y)の初速度
X0 = [0; vx0; 0; vy0]; // 初期条件(位置と速度)ベクトル
X = ode(X0, 0, T, magnus); // 常微分方程式ソルバ
plot2d(X(1,:),X(3,:),k);
end

// グラフの体裁
zoom_rect([0, 0, 10, 5]); // 地面まで落下したあとは表示しない
xlabel("x position (m)");
ylabel("y position (m)");


関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabソースコードファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




フィードバック



にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ

 ↑ 電子工作ブログランキング参加中です。1クリックお願いします。


コメント・トラックバックも歓迎です。 ↓      


 ↓ この記事が面白かった方は「拍手」をお願いします。


tag: Scilab 常微分方程式 ode 

comment

Secret

FC2カウンター
カテゴリ
ユーザータグ

LTspiceAkaiKKRmachikaneyamaScilabKKRPSoCCPAOPアンプPIC強磁性常微分方程式モンテカルロ解析トランジスタode状態密度DOSインターフェースecaljスイッチング回路定電流PDS5022半導体シェルスクリプト乱数レベルシフトHP6632A温度解析可変抵抗I2Cブレッドボード分散関係トランジスタ技術R6452A数値積分反強磁性バンドギャップ確率論セミナー絶縁偏微分方程式非線形方程式ソルババンド構造熱設計カオスA/DコンバータISO-I2Cフォトカプラ三端子レギュレータシュミットトリガLEDGW近似LM358アナログスイッチ数値微分TL43174HC4053マフィンティン半径発振回路サーボ直流動作点解析カレントミラーPC817CUSB単振り子bzqlty開発環境BSch2ちゃんねる電子負荷イジング模型LDAチョッパアンプ量子力学補間アセンブラFFTブラべ格子標準ロジックパラメトリック解析基本並進ベクトルewidthキュリー温度QSGWGGA失敗談MaximaSMPTLP621スイッチト・キャパシタ熱伝導コバルト相対論スピン軌道相互作用六方最密充填構造繰り返しFETランダムウォークcygwingfortran不規則合金状態方程式ラプラス方程式抵抗スレーターポーリング曲線位相図格子比熱マントルデータロガー自動計測ダイヤモンドガイガー管QNAPUPS固有値問題条件分岐井戸型ポテンシャルシュレディンガー方程式詰め回路MCU第一原理計算起電力熱力学スーパーセルVCALM555仮想結晶近似awkTLP521NE555ubuntufsolveブラウン運動OpenMPVESTA最大値テスタ差し込みグラフFXA-7020ZRWriter509三角波TLP552平均場近似最適化最小値過渡解析LMC662トランスPIC16F785CapSenseMBEナイキスト線図CK1026フィルタP-10負帰還安定性EAGLEAACircuit2SC1815OPA2277PGAノコギリ波縮退非線型方程式ソルバL10構造fcc面心立方構造結晶磁気異方性TeX全エネルギー固定スピンモーメントFSMウィグナーザイツ胞interp1ヒストグラム確率論マテリアルデザインspecx.fジバニャン方程式等高線初期値フェルミ面正規分布c/agnuplotBaO岩塩構造ルチル構造ウルツ鉱構造ZnO重積分SIC二相共存スワップ領域リジッドバンド模型半金属合金multiplotハーフメタルデバイ模型edeltquantumESPRESSOフォノンifortUbuntuマンデルブロ集合キーボードRealforce関数フィッティングフラクタルクーロン散乱CIF化学反応三次元最小二乗法日本語直流解析PCトラックボールExcelTS-110パラメータ・モデル等価回路モデルTS-112疎行列文字列HiLAPW両対数グラフ片対数グラフ熱拡散方程式陰解法境界条件連立一次方程式Crank-Nicolson法グラフの分割軸ラベルヒストグラム不規則局所モーメント入出力円周率Gimp凡例線種シンボルMAS830L

最新コメント
リンク

にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ