Scilabで差し込みグラフ:金属の比熱

Scilabで数値積分:固体の比熱では、積分を含む方程式としてあらわされるデバイの比熱式を計算しました。

今回は、アルミニウムの比熱に関して、デバイの比熱式に加えて金属の電子比熱の計算も行い、ほとんどの温度領域においてはデバイの比熱式で表される格子振動の寄与が支配的であり、しかしながら、数ケルビン程度の低温では電子比熱の影響が大きくなることを確認しました。


001_20130606070707.png
Fig.1: アルミニウムの格子比熱・電子比熱の温度依存性のシミュレーション。極めて低温では電子比熱(赤破線)が支配的になるものの、それ以外では格子比熱(青実線)に比べ電子比熱は無視できるほど小さい。



金属の比熱


Scilabで数値積分:固体の比熱では、積分を含む方程式としてあらわされるデバイの比熱式を計算しました。これは、固体の原子の熱振動に起因する熱容量で、格子比熱と呼びます。固体金属の比熱もまた、デバイの比熱式でほとんど問題なく計算できます。

しかしながら、金属の場合は、わずかながら伝導電子に起因する電子比熱も存在します。これは常温では、格子比熱と比較して無視できるほど小さいのですが、数ケルビン程度の極めて低い温度では格子比熱が急速に小さくなるため、電子比熱の寄与が相対的に大きくなります。

今回は、このアルミニウムに関して格子比熱と電子比熱の大きさをScilabで計算し、差し込みグラフ(インセットグラフ)を描画してみます。

プログラミング


格子比熱の計算には、Scilabで数値積分:固体の比熱で計算を行ったデバイモデルを用います。

C_l(T) = 9 R \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^3 \int^{\Theta_D / T}_{0}\frac{x^4 e^x}{(e^x - 1)^2}{\rm d}x

アルミニウムのデバイ温度は428Kとします。(参考:デバイ模型:wikipedia)

電子比熱は、低温では単純に温度に比例することが知られていて、電子比熱係数γを用いて以下のようにあらわします。

C_e(T) = \gamma T

アルミニウムの電子比熱係数は1.35mJ/mol/K^2です。(参考:第4講- 金属の基本物性の電子論-(PDF):志賀@高槻)

// アルミニウムの電子比熱係数(J/mol/K^2)
egamma = 1.35e-3;
// アルミニウムのデバイ温度
dt = 428;
// 気体定数 (J/K/mol)
r = 8.314

// 格子比熱 (Debye model)
function Cl = Cl(T)
Cl = 9 * r * ((T ./ dt) .^ 3) .* integrate('(x .^ 4) .* exp(x) ./ ((exp(x) - 1) .^ 2)','x',0,dt ./ T);
endfunction
// 電子比熱
function Ce = Ce(T)
Ce = egamma .* T;
endfunction

// 高温までのプロット
// 温度ベクトル
T = [1:1:500];
// 格子比熱のプロット
// 絶対零度の計算は出来ないので後から補う
plot([0,T],[0,Cl(T)],'-b');
// 電子比熱のプロット
plot([0,T],[0,Ce(T)],'--r');
legend(['Lattice specific heat';'Electronic specific heat'],2);
xlabel("Temperature (K)");
ylabel("Specific heat (J/K/mol)");

// 低温部分のプロット
xsetech([0.4,0.32,0.5,0.5]);
// 温度ベクトル
T = [1:0.1:10];
// 格子比熱のプロット
// 絶対零度の計算は出来ないので後から補う
plot([0,T],[0,Cl(T)],'-b');
// 電子比熱のプロット
plot([0,T],[0,Ce(T)],'--r');
xlabel("Temperature (K)");
ylabel("Specific heat (J/K/mol)");


格子比熱や電子比熱は、高温までの計算と低温のみの計算の2回の計算を行うため、あらかじめfunctionを用いて関数化してあります。(参考:Scilab入門―電気電子工学で学ぶ数値計算ツール)

差込グラフ(インセットグラフ)は、差し込むほうのグラフを後から小さいサイズで上書きすることで作成することが出来ます。
差し込むグラフの位置とサイズはxsetechで指定することが出来ます。(参考:コマンドxsetech([x座標始点,y座標始点,幅,高さ])を繰り返し使うことで一つのウィンドウに複数のグラフを記述することができます.及びxsetech - プロットのためのグラフィックスウィンドウの サブウィンドウを設定)

また、複数のパネルに分割する場合はsubplotを利用するほうが簡単かもしれません。

// 高温までのプロット
subplot(2,1,1);
// 温度ベクトル
T = [1:1:500];
// 格子比熱のプロット
// 絶対零度の計算は出来ないので後から補う
plot([0,T],[0,Cl(T)],'-b');
// 電子比熱のプロット
plot([0,T],[0,Ce(T)],'--r');
legend(['Lattice specific heat';'Electronic specific heat'],2);
xlabel("Temperature (K)");
ylabel("Specific heat (J/K/mol)");

// 低温部分のプロット
subplot(2,1,2);
// 温度ベクトル
T = [1:0.1:10];
// 格子比熱のプロット
// 絶対零度の計算は出来ないので後から補う
plot([0,T],[0,Cl(T)],'-b');
// 電子比熱のプロット
plot([0,T],[0,Ce(T)],'--r');
xlabel("Temperature (K)");
ylabel("Specific heat (J/K/mol)");


プロット部分を上記のものに差し替えた場合、グラフは以下のようになります。


002_20130606074346.png

Fig.2: subplotで分割した場合


ただし、下のパネルの横軸ラベルが切れてしまうので、きれいな図を描きたい場合は、やはりxsetechのほうがオススメです。

またScilabで関数フィッティング:金属の電気抵抗のように複数のグラフウインドウをひとつのプログラムから立ち上げたい場合は、subplotの代わりにscfでグラフ番号を指定します。

関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




フィードバック



にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ

 ↑ 電子工作ブログランキング参加中です。1クリックお願いします。


コメント・トラックバックも歓迎です。 ↓      


 ↓ この記事が面白かった方は「拍手」をお願いします。


tag: Scilab 差し込みグラフ インセットグラフ 比熱 電子比熱 格子比熱 デバイモデル 

comment

Secret

FC2カウンター
カテゴリ
ユーザータグ

LTspiceAkaiKKRmachikaneyamaScilabKKRPSoC強磁性CPAPICOPアンプecalj状態密度常微分方程式モンテカルロ解析odeトランジスタインターフェースDOSPDS5022スイッチング回路定電流半導体分散関係シェルスクリプト乱数レベルシフトHP6632A可変抵抗温度解析トランジスタ技術ブレッドボードR6452AI2C確率論セミナー数値積分反強磁性バンドギャップ熱設計非線形方程式ソルバ絶縁バンド構造偏微分方程式三端子レギュレータフォトカプラカオスマフィンティン半径ISO-I2CGW近似LM358A/DコンバータシュミットトリガLEDUSB数値微分サーボアナログスイッチ補間発振回路カレントミラー直流動作点解析TL43174HC4053PC817C単振り子FFTVESTA開発環境bzqlty電子負荷量子力学基本並進ベクトルパラメトリック解析標準ロジックチョッパアンプBSchLDAアセンブラブラべ格子2ちゃんねるイジング模型PWscf状態方程式仮想結晶近似キュリー温度Quantum_ESPRESSO熱伝導VCAスイッチト・キャパシタewidth最適化QSGWTLP621GGASMPMaxima失敗談位相図六方最密充填構造繰り返しスピン軌道相互作用相対論ランダムウォークFETgfortranコバルトスレーターポーリング曲線ラプラス方程式抵抗cygwin不規則合金格子比熱熱力学マントル条件分岐MCU井戸型ポテンシャルダイヤモンドQNAPUPS固有値問題シュレディンガー方程式自動計測ガイガー管詰め回路OpenMPTLP521ハーフメタルLM555ubuntufsolveブラウン運動平均場近似NE555ZnOTLP552QuantumESPRESSOxcrysdenCIF最小値最大値awkフェルミ面テスタ第一原理計算Ubuntu差し込みグラフFXA-7020ZR三角波過渡解析Writer509データロガースーパーセル起電力CK1026AACircuitMAS830LフィルタMBEP-10PGAトランスナイキスト線図ノコギリ波負帰還安定性EAGLEOPA2277PIC16F785CapSenseLMC6622SC1815入出力固定スピンモーメントFSMTeX結晶磁気異方性全エネルギーc/a合金multiplotgnuplot非線型方程式ソルバL10構造正規分布等高線ジバニャン方程式初期値interp1fcc面心立方構造ウィグナーザイツ胞半金属デバイ模型磁気モーメント電荷密度重積分SIC不純物問題ゼーベック係数cif2cellPWgui擬ポテンシャル二相共存ウルツ鉱構造edeltquantumESPRESSOフォノンリジッドバンド模型スワップ領域BaO岩塩構造ルチル構造ヒストグラム確率論マテリアルデザインフラクタルマンデルブロ集合キーボードRealforceクーロン散乱三次元疎行列縮退化学反応関数フィッティング最小二乗法Excel直流解析PCTS-110TS-112日本語パラメータ・モデル等価回路モデル文字列状態図陰解法熱拡散方程式HiLAPW両対数グラフCrank-Nicolson法連立一次方程式specx.fifort境界条件片対数グラフグラフの分割円周率ヒストグラム不規則局所モーメントGimpシンボル軸ラベル凡例線種トラックボール

最新コメント
リンク

にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ