Scilabで常微分方程式:摩擦のある運動

今回は理工系学生の遊歩道で公開されているScilabを使ってみよう2 - 摩擦のある振動のプログラムを走らせます。自分ではプログラムしません。
したがって、内容は全く同じなのですが、元記事では数式をまとめたPDFがリンク切れしているので、その点だけ補完します。


001_20130604224856.png

Fig.1: 摩擦のある床の上でのバネにつながれた物体の運動


摩擦が働く床上に物体があり、ばねで壁につながれています。摩擦の大きさは速さに比例すると考えましょう。このとき、物体はどのように振動するのかを考えてみましょう。



常微分方程式の解法


常微分方程式の解は、常微分方程式ソルバ(ordinary differential equation solver; odeソルバ)を使ってとくことができます。odeソルバの中身はルンゲ・クッタ法(runge-kutta)という有名な方法です。

Scilabでは、これがode関数として実装されています。実際の問題から、odeを使うために私たちがしなければならないことは、解くべき方程式を

\begin{pmatrix}y^{'}\\y^{''}\\\vdots\\y^{(n)}\end{pmatrix}


の形に変形するだけです。

摩擦ある床の上でのバネにつながれた物体の運動


今回は理工系学生の遊歩道で公開されているScilabを使ってみよう2 - 摩擦のある振動の問題の通り、摩擦のある床の上に置かれた、バネにつながれた物体の運動(位置と速度)が時間とともにどのように変化するのかを計算します。

物体に働くバネの力は、バネ定数をkとおくとフックの法則より

F_k = -kx


また、摩擦力は単純に速度に比例するとして、その比例定数をRとおくと

F_R = -Rv

となります。

これらを F = ma に代入すると、運動方程式は

-kx-Rv = ma


となります。

さてここから冒頭の行列の形へ変形します。
運動方程式は、位置xと時間tの関数なので、目標は以下の形に変形することです。

texclip20130525031606.png


位置の時間微分は速度なので

\dot{x}=v


位置の二回微分、つまり速度の微分は加速度なので、運動方程式から

\ddot{x}=\dot{v}=a=-\frac{k}{m}x-\frac{R}{m}\dot{x}


従って求める式は

texclip20130525032106.png


つまり

texclip20130525032349.png


です。

計算の結果に関して、位置と速度をプロットしました。


002_20130605114941.png

Fig.2: 計算結果、上が位置、下が速度の時間変化。


関連エントリ




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参考文献/使用機器




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