Scilabで常微分方程式:摩擦のある運動

今回は理工系学生の遊歩道で公開されているScilabを使ってみよう2 - 摩擦のある振動のプログラムを走らせます。自分ではプログラムしません。
したがって、内容は全く同じなのですが、元記事では数式をまとめたPDFがリンク切れしているので、その点だけ補完します。


001_20130604224856.png

Fig.1: 摩擦のある床の上でのバネにつながれた物体の運動


摩擦が働く床上に物体があり、ばねで壁につながれています。摩擦の大きさは速さに比例すると考えましょう。このとき、物体はどのように振動するのかを考えてみましょう。



常微分方程式の解法


常微分方程式の解は、常微分方程式ソルバ(ordinary differential equation solver; odeソルバ)を使ってとくことができます。odeソルバの中身はルンゲ・クッタ法(runge-kutta)という有名な方法です。

Scilabでは、これがode関数として実装されています。実際の問題から、odeを使うために私たちがしなければならないことは、解くべき方程式を

\begin{pmatrix}y^{'}\\y^{''}\\\vdots\\y^{(n)}\end{pmatrix}


の形に変形するだけです。

摩擦ある床の上でのバネにつながれた物体の運動


今回は理工系学生の遊歩道で公開されているScilabを使ってみよう2 - 摩擦のある振動の問題の通り、摩擦のある床の上に置かれた、バネにつながれた物体の運動(位置と速度)が時間とともにどのように変化するのかを計算します。

物体に働くバネの力は、バネ定数をkとおくとフックの法則より

F_k = -kx


また、摩擦力は単純に速度に比例するとして、その比例定数をRとおくと

F_R = -Rv

となります。

これらを F = ma に代入すると、運動方程式は

-kx-Rv = ma


となります。

さてここから冒頭の行列の形へ変形します。
運動方程式は、位置xと時間tの関数なので、目標は以下の形に変形することです。

texclip20130525031606.png


位置の時間微分は速度なので

\dot{x}=v


位置の二回微分、つまり速度の微分は加速度なので、運動方程式から

\ddot{x}=\dot{v}=a=-\frac{k}{m}x-\frac{R}{m}\dot{x}


従って求める式は

texclip20130525032106.png


つまり

texclip20130525032349.png


です。

計算の結果に関して、位置と速度をプロットしました。


002_20130605114941.png

Fig.2: 計算結果、上が位置、下が速度の時間変化。


関連エントリ




参考URL




参考文献/使用機器




フィードバック



にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ

 ↑ 電子工作ブログランキング参加中です。1クリックお願いします。


コメント・トラックバックも歓迎です。 ↓      


 ↓ この記事が面白かった方は「拍手」をお願いします。


tag: Scilab 常微分方程式 ode  

comment

Secret

FC2カウンター
カテゴリ
ユーザータグ

LTspiceAkaiKKRmachikaneyamaScilabKKRPSoC強磁性OPアンプPICCPAecaljモンテカルロ解析常微分方程式odeトランジスタ状態密度DOSインターフェース定電流PDS5022スイッチング回路半導体シェルスクリプト乱数レベルシフト分散関係HP6632AI2C可変抵抗トランジスタ技術ブレッドボード温度解析R6452A反強磁性確率論バンドギャップセミナー数値積分熱設計非線形方程式ソルババンド構造絶縁偏微分方程式ISO-I2CLM358マフィンティン半径フォトカプラシュミットトリガカオスLED三端子レギュレータGW近似A/Dコンバータ発振回路PC817C直流動作点解析USBTL431数値微分アナログスイッチカレントミラー74HC4053サーボ量子力学単振り子チョッパアンプ補間2ちゃんねる開発環境bzqltyFFT電子負荷LDAイジング模型BSch基本並進ベクトルブラべ格子パラメトリック解析標準ロジックアセンブラ繰り返し六方最密充填構造SMPコバルトewidthFET仮想結晶近似QSGW不規則合金VCAMaximaGGA熱伝導cygwinスレーターポーリング曲線キュリー温度スイッチト・キャパシタ失敗談ランダムウォークgfortran抵抗相対論位相図スピン軌道相互作用VESTA状態方程式TLP621ラプラス方程式TLP552条件分岐NE555LM555TLP521マントル詰め回路MCUテスタFXA-7020ZR三角波過渡解析ガイガー管自動計測QNAPUPSWriter509ダイヤモンドデータロガー格子比熱熱力学起電力awkブラウン運動スーパーセルUbuntu差し込みグラフ第一原理計算フェルミ面fsolveCIFxcrysden最大値最小値ubuntu最適化平均場近似OpenMP井戸型ポテンシャル固有値問題シュレディンガー方程式TeX2SC1815結晶磁気異方性OPA2277フラクタルFSM固定スピンモーメントc/a非線型方程式ソルバgnuplot全エネルギーfcc初期値マンデルブロ集合縮退正規分布interp1ウィグナーザイツ胞L10構造multiplotフィルタ面心立方構造PGAハーフメタル二相共存ZnOウルツ鉱構造BaOSIC重積分磁気モーメント電荷密度化学反応クーロン散乱岩塩構造CapSenseノコギリ波デバイ模型キーボード半金属フォノンquantumESPRESSOルチル構造スワップ領域リジッドバンド模型edelt合金Realforce軸ラベルグラフの分割凡例線種シンボルMAS830LCK1026LMC662PIC16F785トランス関数フィッティングトラックボールPC等価回路モデルヒストグラムパラメータ・モデル不規則局所モーメント最小二乗法TS-112TS-110直流解析ExcelGimp円周率片対数グラフ両対数グラフspecx.f疎行列三次元ifort文字列不純物問題P-10等高線ジバニャン方程式ヒストグラム確率論マテリアルデザイン入出力境界条件陰解法AACircuit熱拡散方程式HiLAPWMBEEAGLE連立一次方程式ナイキスト線図負帰還安定性Crank-Nicolson法日本語

最新コメント
リンク

にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ