Scilabで数値積分: 固体の比熱

固体の比熱の温度依存性は、物質の種類に関わらず大体似たような形のグラフになることが知られています。この関数は、計算が簡単なアインシュタインモデルと正確だが積分の計算をする必要のあるデバイモデルの2種類が知られています。Scilabを利用すると簡単に数値積分をすることが出来ます。

今回のエントリでは、銅を対象にアインシュタインモデル、デバイモデルの両方から比熱を計算します。

001_20130522024102.png
Fig.1: 銅の比熱の温度依存性。青破線がアインシュタインモデル、赤実線がデバイモデルによる計算。



固体の比熱


デュロン=プティの法則によると充分高温の固体の単位モルあたりの比熱は、物質の種類によらずほとんど一定で3R(R = 8.314 J/K/mol :気体定数)です。また絶対零度での比熱はゼロになることも知られています。更に、中間的な温度での温度依存性も適切な温度で規格化をすれば同じ関数の形で表すことが出来ることが知られています。

この関数には、アインシュタインモデルとデバイモデルの2種類が知られています。これら二つのモデルは、どちらも高温でデュロン=プティの法則を再現し、絶対零度でゼロになりますが、中間温度での計算結果が微妙に異なります。デバイモデルのほうがより実験値に近い結果を示すことが知られていますが、数式中に積分を含むため計算が多少困難です。

今回はScilabで数値積分をするサンプルとして、デバイモデルから銅の比熱の温度依存性を計算します。

物質の個性を表す「適切な規格化温度」は、デバイモデルではデバイ温度(ΘD)、アインシュタインモデルではアインシュタイン温度(ΘE)と呼ばれます。銅のデバイ温度は343.5Kで、デバイ温度とアインシュタイン温度は、以下の式で換算できます。(参考:デバイ模型)

\Theta_E = \Theta_D \sqrt[3]{\frac{\pi}{6}}

この関係を使うとアインシュタインモデルとデバイモデルを用いてそれぞれ計算した比熱の温度依存性を比較することが出来ます。

アインシュタインモデルの計算


まずは、積分の必要の無いアインシュタインモデルの計算プログラムを書きます。以下の式に従って、500Kまでの銅の比熱の温度依存性を計算しました。

C_E (T) = 3 R \left(\frac{\Theta_E}{T}\right)^2 \frac{e^{\Theta_E / T}}{(e^{\Theta_E / T}-1)^2}

//Debye temperature (K)
dt = 343.5;
// Einstein temperature (K)
et = dt * (%pi / 6) ^ (1 / 3);
// gas constant (J/K/mol)
r = 8.314

// Temperature
T = [1:1:500];

// Einstein model
Ce = 3 * r * ((et ./ T) .^ 2) .* exp(et ./ T) ./ ((exp(et ./ T) - 1) .^ 2);

plot(T,Ce,'--b');
xlabel("Temperature (K)");
ylabel("Specific heat (J/K/mol)");


デバイモデルの計算


次に、数値積分を用いたデバイモデルの計算プログラムです。アインシュタインモデルのときと同様に500Kまでの比熱の計算をしました。

C_D (T) = 9 R \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \int_0^{\Theta_D / T}\frac{x^4 e^x}{(e^x -1)^2}{\rm d}x

Scilabでの数値積分にはintegrateを利用します。(参考:求積法による積分)

//Debye temperature (K)
dt = 343.5;
// Einstein temperature (K)
et = dt * (%pi / 6) ^ (1 / 3);
// gas constant (J/K/mol)
r = 8.314

// Temperature
T = [1:1:500];

// Debye model
Cd = 9 * r * ((T ./ dt) .^ 3) .* integrate('(x .^ 4) .* exp(x) ./ ((exp(x) - 1) .^ 2)','x',0,dt ./ T);
plot(T,Cd,'-r');
xlabel("Temperature (K)");
ylabel("Specific heat (J/K/mol)");


まとめ


最後に以上の計算をまとめてひとつのグラフ上にプロットします。ついでにグラフの凡例も付けました。(参考:グラフの凡例を描画する)

// Debye temperature (K)
dt = 343.5;
// Einstein temperature (K)
et = dt * (%pi / 6) ^ (1 / 3);
// gas constant (J/K/mol)
r = 8.314

// Temperature
T = [1:1:500];

// Einstein model
Ce = 3 * r * ((et ./ T) .^ 2) .* exp(et ./ T) ./ ((exp(et ./ T) - 1) .^ 2);
// Debye model
Cd = 9 * r * ((T ./ dt) .^ 3) .* integrate('(x .^ 4) .* exp(x) ./ ((exp(x) - 1) .^ 2)','x',0,dt ./ T);

plot(T,Ce,'--b');
plot(T,Cd,'-r');
legend(['Einstein model';'Debye model'],2);
xlabel("Temperature (K)");
ylabel("Specific heat (J/K/mol)");


デバイモデルとアインシュタインモデルを比較すると、高温でデュロン=プティの値になり、絶対零度でゼロになる点が一致します。しかし、中間的な温度ではデバイモデルのほうが高い比熱を示す事がグラフから読み取れます。

参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




フィードバック



にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ

 ↑ 電子工作ブログランキング参加中です。1クリックお願いします。


コメント・トラックバックも歓迎です。 ↓      


 ↓ この記事が面白かった方は「拍手」をお願いします。


tag: Scilab 数値積分 格子比熱 

comment

Secret

FC2カウンター
カテゴリ
ユーザータグ

LTspiceAkaiKKRmachikaneyamaScilabKKRPSoCOPアンプCPA強磁性PICモンテカルロ解析常微分方程式odeトランジスタecalj状態密度DOSインターフェース定電流スイッチング回路PDS5022半導体シェルスクリプト乱数レベルシフトHP6632A温度解析分散関係I2Cトランジスタ技術R6452A可変抵抗ブレッドボードセミナーバンドギャップ数値積分確率論反強磁性偏微分方程式バンド構造絶縁熱設計非線形方程式ソルバフォトカプラシュミットトリガLEDLM358カオスISO-I2C三端子レギュレータGW近似A/Dコンバータカレントミラーアナログスイッチ数値微分マフィンティン半径TL431発振回路サーボPC817CUSB直流動作点解析74HC4053補間FFTBSch開発環境パラメトリック解析2ちゃんねるチョッパアンプ量子力学bzqlty電子負荷イジング模型LDA標準ロジックアセンブラ基本並進ベクトルブラべ格子単振り子熱伝導位相図TLP621キュリー温度繰り返し状態方程式MaximaVESTAスイッチト・キャパシタ相対論FETランダムウォークスピン軌道相互作用SMP六方最密充填構造抵抗不規則合金ewidthスレーターポーリング曲線GGAラプラス方程式cygwingfortranQSGW失敗談コバルト条件分岐TLP521テスタLM555Writer509TLP552格子比熱マントルデータロガー自動計測詰め回路ガイガー管ダイヤモンドQNAPMCUFXA-7020ZR過渡解析三角波UPSNE555固有値問題熱力学ブラウン運動フェルミ面awk起電力第一原理計算OpenMPfsolveubuntu最大値xcrysden最小値最適化仮想結晶近似VCA差し込みグラフスーパーセル井戸型ポテンシャル平均場近似シュレディンガー方程式FSMフラクタルOPA2277固定スピンモーメント2SC1815全エネルギー合金multiplotgnuplotc/aTeX結晶磁気異方性interp1ウィグナーザイツ胞初期値マンデルブロ集合疎行列面心立方構造fcc不純物問題非線型方程式ソルバフィルタL10構造PGA半金属二相共存SICZnOウルツ鉱構造BaO重積分クーロン散乱磁気モーメント電荷密度三次元CIF岩塩構造CapSenseノコギリ波デバイ模型ハーフメタル正規分布フォノンquantumESPRESSOルチル構造スワップ領域リジッドバンド模型edelt縮退キーボード軸ラベルグラフの分割凡例トラックボールPC不規則局所モーメント片対数グラフトランス両対数グラフCK1026MAS830L直流解析Excel円周率パラメータ・モデルヒストグラム日本語最小二乗法等価回路モデルGimp線種シンボルTS-110TS-112PIC16F785LMC662化学反応文字列specx.f入出力ifortマテリアルデザインヒストグラム確率論Realforce等高線ジバニャン方程式P-10Ubuntuナイキスト線図Crank-Nicolson法陰解法熱拡散方程式HiLAPWAACircuit連立一次方程式負帰還安定性境界条件EAGLEMBE関数フィッティング

最新コメント
リンク

にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ