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AkaiKKRの基本並進ベクトル その1

AkaiKKRのブラべ格子ではブラべ格子とそれに対応するキーワードをまとめました。今回はその中でauxというキーワードを指定することにより、基本並進ベクトルを用いて入力ファイルを作成する方法を書きました。


格子ベクトルによる結晶構造の指定


AkaiKKR(machikaneyama)の入力ファイルでは、ブラべ格子の各格子点に基本構造(basis)を置くことで結晶構造を指定します。
AkaiKKRのブラべ格子ではブラべ格子とそれに対応するキーワードをまとめました。

しかしながら、ブラべ格子を選ぶ方法以外にも、基本並進ベクトルを直接指定することもできます。この場合、キーワードauxを用いて、以下のようなフォーマットになります。

ax/a ay/a az/a
bx/a by/a bz/a
cx/a cy/a cz/a
a

ここで axaベクトルを直交座標系の成分表示で表したときにx成分という意味です。aはaベクトルの長さ(要するに格子定数a)で単位はBohrなので ax/a というのは格子定数aで規格化したaベクトルのx成分ということです。

六方最密充填構造の基本並進ベクトル


具体例としてinフォルダにサンプルとして存在するhcp構造のコバルトを基本並進ベクトルで与えてみます。以下に示すのは、ブラべ格子で指定したhcpコバルトです。

c----------------------Co------------------------------------
go data/co
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
hcp 4.74 , 1.6215 , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.0 nrl mjw mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 50 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Co 1 1 0.0 2
27 100
c------------------------------------------------------------
c natm
2
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0a 0b 0c Co
1/3a 2/3b 1/2c Co
c------------------------------------------------------------


第5回CCMSハンズオン(ソフトウェア講習会): AkaiKKRチュートリアル 2. AkaiKKRの実習の19ページにある通り、AkaiKKRにおけるベクトルa, b, cと直交座標系の関係は、以下の図のようになります。

001_20150513120148d3b.png


したがって入力する基本並進ベクトルは以下のようになります。

1/2 -√3/2 0
1/2 √3/2 0
0 0 c/a

a = 4.74 (Bohr), c/a = 1.6215とした場合の入力ファイルは、以下のようになります。

c----------------------Co------------------------------------
go data/coAUX
c------------------------------------------------------------
c brvtyp
aux
0.50000 -0.86603 0.00000
0.50000 0.86603 0.00000
0.00000 0.00000 1.62150
4.74
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.0 nrl mjw mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 50 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Co 1 1 0.0 2
27 100
c------------------------------------------------------------
c natm
2
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0a 0b 0c Co
1/3a 2/3b 1/2c Co
c------------------------------------------------------------


出力ファイルの基本並進ベクトル


入力をブラべ格子で与えた場合でも、基本並進ベクトルで与えた場合でも、出力に基本並進ベクトルが書きだされます。以下に示すのが、上記の六方最密充填構造のコバルトの入力ファイルから得られた基本並進ベクトルです。

   primitive translation vectors
a=( 0.50000 -0.86603 0.00000)
b=( 0.50000 0.86603 0.00000)
c=( 0.00000 0.00000 1.62150)


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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR 基本並進ベクトル ブラべ格子 

AkaiKKRのブラベ格子

結晶学において、三次元のブラべ格子は14種類存在します。
AkaiKKR(machikaneyama)でも結晶構造の指定にこのブラべ格子を利用し、入力ファイルでは各ブラべ格子に対応したキワードを用います。


プログラム内部では各キーワードに対応した番号が振られているようです。source/ibrava.fのコメントには、以下のように書かれています。

c-----------------------------------------------------------------------
c This program returns the index of the bravais lattice.
c (1)fcc (2)bcc (3)hcp(hex) (4)sc (5)bct (fct) (6)simple tetragonal
c (7)face centered orthorhombic (8)body centered orthorhombic
c (9)base centered orthorhonbic (10)simple orthorhombic
c (11)base centered monoclinic (12)simple monoclinic
c (13)triclinic (14)rhombohedral (trigonal) (15)fct (bct)
c (16)aux (primitive unit vector are to be read in)
c for a practical reason, fct and bct are treated differently.
c coded by H.Akai, April, 1992, Osaka
c revised 26 Dec. 1994, Osaka
c-----------------------------------------------------------------------


キーワード番号ブラべ格子Bravais lattice軸長軸間角度
fcc1面心立方face centered cubica=b=cα=β=γ=90°
bcc2体心立方body centered cubica=b=cα=β=γ=90°
hcp3六方最密hexagonal closed packeda=b≠cα=β=90°, γ=120°
sc4単純立方simple cubica=b=cα=β=γ=90°
bct5体心正方body centered tetragonala=b≠cα=β=γ=90°
st6単純正方simple tetragonala=b≠cα=β=γ=90°
fco7面心斜方face centered orthorhombica≠b≠cα=β=γ=90°
bco8体心斜方body centered orthorhombica≠b≠cα=β=γ=90°
bso9底心斜方base centered orthorhombica≠b≠cα=β=γ=90°
so10単純斜方simple orthorhombica≠b≠cα=β=γ=90°
bsm11底心単斜base centered monoclinica≠b≠cα=γ=90°≠β
sm12単純単斜simple monoclinica≠b≠cα=γ=90°≠β
trc13三斜triclinica≠b≠cα≠β≠γ≠90°
rhb14菱面体rhombohedrala=b=cα=β=γ≠90°
fct15面心正方face centered tetragonala=b≠cα=β=γ=90°
trg14三方trigonala=b=cα=β=γ≠90°
hex3六方hexagonala=b≠cα=β=90°, γ=120°
aux16


ブラべ格子は14種類しか存在しないはずなのに、キーワードは18種類存在します。
このことに関して順に見ていきます。

純金属の結晶構造はほとんどが面心立方構造(fcc)、体心立方構造(bcc)、六方最密充填構造(hcp)なので最初の3つは、これらの結晶構造を作るのに便利なブラべ格子が並んでいます。
ここで注意が必要なのは、本来、六方晶系には六方最密というブラべ格子は存在しないという事です。したがってAkaiKKRにおけるhcpというキーワードは、実は六方最密では無く、単純六方です。実際表の最後から2番目に単純六方を示すhexというキーワードが存在し、その番号はhcpと同じ3です。
ただ、やはりhcpやhexという単純六方のブラべ格子を表すキーワードは、六方最密充填構造という結晶構造を意識したもののようで、入力ファイルにおいて軸比c/aを省略すると、六方最密充填構造における理想値であるc/a=2*√2/√3=1.633が指定されるようです。

更に単純立方(simple cubic)、正方晶系(tetragonal)、斜方晶系(orthorhombic)、単斜晶系(monoclinic)、三斜(triclinic)と続きます。14番の菱面体構造(rhombohedral)は三方晶(trigonal)と同じです。ここまでが14種類の独立なブラべ格子です。面心正方(face centered tetragonal)は体心正方(body centered tetragonal)と等価なブラべ格子ですが、AkaiKKRでは別物として分けてあるようです。

最後に、ブラべ格子ではなく基本ベクトルで結晶構造を指定するためにauxというキーワードが用意されています。

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tag: AkaiKKR machikaneyama ブラべ格子 

AkaiKKRで金属の熱物性

Moruzzi, Janak and Schwarz (1988)は基底状態の第一原理計算からデバイ温度などを見積もり、有限温度下での金属の物性をデバイモデルから計算しています。今回はこの再現計算としてAkaiKKR(machikaneyama)を用いて第一原理計算を行い、Scilabを用いてポスト処理を行いました。

001_20150412205820811.png

Fig.1: bcc Kのウィグナーザイツ半径とヘルムホルツエネルギーの関係。基底状態の第一原理計算の全エネルギー(黒)、零点エネルギーを考慮した0K(青)、100K(シアン)、200K(緑)、300K(赤)におけるのヘルムホルツエネルギー。



002_20150412205820faf.png

Fig.2: bcc Kの熱膨張率、ウィグナーザイツ半径、体積弾性率の温度依存性


有限温度の物性


第一原理計算は基本的に基底状態の計算を行うため、得られる物性値は絶対零度のものであると考える必要があります。しかしながら、私たちが実際に興味のある物理現象は有限温度で起こっています。
そこで、色々な方法を使って基底状態の計算から有限温度の物性を見積もろうという試みがなされてきました。

それらの中でも比較的古く簡単な方法としてMoruzzi, Janak and Schwarz (1988)があげられます。これは有限温度における格子振動のエネルギーをデバイモデルを用いて計算するというものです。彼らは、14種類の非磁性で立方晶の金属に対して計算を行い、有限温度における格子体積、体積弾性率や熱膨張率を計算し、実験結果と非常によく一致することを示しました。

今回は、この再現計算として体心立方構造のカリウム(bcc-K)の計算を行います。
バンド計算にはAkaiKKR(machikaneyama)をポスト処理にはScilabを用いました。

大まかな流れ


まず通常の全エネルギー計算で、最安定となる格子体積(Wigner-Seitz半径)を決めます(rigid lattice)。次にrigid latticeの結果からデバイ温度とグリュナイゼン定数を計算します。これら二つのパラメータを用いれば、デバイモデルを用いて格子振動のヘルムホルツエネルギーへの寄与が計算できます。有限温度における格子体積は、ヘルムホルツエネルギーの最小から計算することができます。

AkaiKKRでの全エネルギー計算


Moruzzi et al. (1988)では基底状態でのウィグナーザイツ半径に対して、およそ±10%の範囲でバンド計算を行っています。その刻み幅はウィグナーザイツ半径にして0.02Bohrです。

AkaiKKRではウィグナーザイツ半径ではなく、格子定数で入力ファイルを作成するので、そのように換算します。体心立方構造(bcc)と面心立方構造(fcc)に対しては、それぞれ以下のようになります。

a_{bcc} = r_{ws} \left( \frac{8 \pi}{3} \right)^{\frac{1}{3}}
r_{ws} = a_{bcc} \left( \frac{3}{8 \pi} \right)^{\frac{1}{3}}

a_{fcc} = r_{ws} \left( \frac{16 \pi}{3} \right)^{\frac{1}{3}}
r_{ws} = a_{fcc} \left( \frac{3}{16 \pi} \right)^{\frac{1}{3}}

今回は使いませんが、ついでに六方最密充填構造(hcp)についても書いておくとc/a≡ηとおくと以下のようになります。

a_{hcp} = r_{ws} \left(\frac{16 \pi}{3 \sqrt{3}\eta} \right)^{\frac{1}{3}}
r_{ws} = a_{hcp} \left(\frac{3 \sqrt{3}\eta}{16 \pi} \right)^{\frac{1}{3}}

rws=0.02 Bohrはbcc構造に対してabcc=0.04062 Bohrに、fcc構造に対してはafcc=0.05118 Bohrに対応するので、それぞれ0.04 Bohr、0.05 Bohr程度にとっておけばよいと思います。
今回扱うbcc構造のカリウムではr0=4.7719 Bohrなのでabcc≒9.69 Bohrとなります。これに大して±10%の範囲なので8.72-10.64 Bohrの範囲を0.04 Bohr刻みで計算することにします。

#!/bin/csh -f

setenv KMP_STACKSIZE 1M
limit stacksize unlimited
setenv OMP_NUM_THREADS 4

set ABOHR_LIST=( 8.72 8.76 8.80 8.84 8.88 8.92 8.96 9.00 9.04 9.08 9.12 9.16 9.20 9.24 9.28 9.32 9.36 9.40 9.44 9.48 9.52 9.56 9.60 9.64 9.68 9.72 9.76 9.80 9.84 9.88 9.92 9.96 10.00 10.04 10.08 10.12 10.16 10.20 10.24 10.28 10.32 10.36 10.40 10.44 10.48 10.52 10.56 10.60 10.64 10.68 )

foreach ABOHR ( ${ABOHR_LIST} )
sed 's/'ABOHR'/'${ABOHR}'/g' template/KABOHR.in >> in/KABOHR.in
end

specx < in/KABOHR.in > out/KABOHR.out


c----------------------K------------------------------------
go data/K-lattice
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
bcc ABOHR , , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 0.32 sra mjwasa nmag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 20 200 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
K 1 1 0.0 2
19 100
c------------------------------------------------------------
c natm
1
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0 0 0 K
c------------------------------------------------------------



Scilabでの自由エネルギー計算


AkaiKKRを用いた基底状態の第一原理計算が終わったらScilabを用いてポスト処理を行います。格子定数abcc(またはafcc)をウィグナーザイツ半径rwsへ変換したのちMoruzzi et al. (1988)の式(A1)へフィッティングします。(参考: Scilabで関数フィッティング: 金属の電気抵抗)

E(r) = a + b \exp(- \lambda r) + c \exp(-2\lambda r)

フィッティングパラメータから式(A7,8)を用いて平衡ウィグナーザイツ半径を計算します。

x_0 = - \frac{b}{2c}
r_0 = - \frac{\ln(x_0)}{\lambda}

更に式(A11)から体積弾性率を計算します。

B(x_0) = - \frac{c x_0^2 \lambda^3}{6 \pi \ln(x_0)}

平衡ウィグナーザイツ半径とそのときの体積弾性率が求まったので、これらを式(7)へ代入してデバイ温度を計算します。

(\Theta_D)_0 = 41.63 \left( \frac{r_0 B}{M} \right)^{\frac{1}{2}}

同時にグリュナイゼン定数も式(14)から計算できます。

\gamma_0 = \frac{\lambda r_0}{2}

平衡ウィグナーザイツ半径のとき以外のデバイ温度は式(20)から計算できます。

\Theta_D = (\Theta_D)_0 \left(\frac{r_0}{r} \right)^{3 \gamma}
これで有限温度におけるヘルムホルツエネルギー(式 19)を計算するためのパラメータがすべて出そろいました。

F(r,T)=E(r)-k_B T \left[ 3\left(\frac{T}{\Theta_D(r)}\right)^3 \int_0^{\Theta_D(r)/T}\frac{z^3 \mathrm{d} z}{\exp(z)-1} - 3\ln \left\{ 1 - \exp \left(- \frac{\Theta_D(r)}{T} \right) \right\} \right] + \frac{9}{8}k_B \Theta_D(r)

補足


式(10)は明らかに誤植で、恐らく正しいのは以下。

\frac{\partial \ln B}{\partial \ln V} = 1 + V \frac{\partial^2 P / \partial V^2}{\partial P / \partial V}

式(19)もおそらく誤植で正しくは以下。

F(r,T) = E_{\mathrm{el}}(r) - k_B T [D(\Theta_D/T) - 3 \ln(1-e^{- \Theta_D / T })] + \frac{9}{8}k_B\Theta_D

グリュナイゼン定数に体積依存性や温度依存性があるならば、ヘルムホルツエネルギーを計算する際にそのことを考慮しなくてはいけないのでは?という疑問が浮かぶのですがThus we have expressed the free energy of the vibrating system in terms of theoretical quantities derived from a fit to electronic-structure calculations involving the atomic number as the only input. Subsequent Morse fits at finite-temperature intervals yields, directly, values of r0(T).と書いてあるので、本エントリのヘルムホルツエネルギー計算用のγはrigid latticeの結果から得られたγ0を常に使っています。が、ひょっとしたらこれは間違いかも。

関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したAkaiKKRとScilabの関連ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


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Scilabで数値微分 その4

Scilabで数値微分 その1, その2で行った誤差の議論を、誤差の最大値と誤差の平均値について行いました。

こういう議論に意味があるかはわかりませんが。


Scilabで数値微分 その1, その2ではsin(x)のx=0.3πのときの微分値を数値計算するに際して、差分の刻み幅を変えた際に数値計算の誤差(丸め誤差、打切り誤差)がどのように影響するかについて調べました。
今回はxを1から2πの範囲で微分値を計算し、差分の刻み幅を変えた際に数値計算の誤差の平均値や最大値への影響を調べます。

001_20150405230943e9c.png
Fig.1: 数値微分と解析解の比較(丸は誤差の平均値、四角は誤差の最大値)

002_201504052309435a9.png
Fig.2: 数値微分の刻み幅を2倍にした時の変化の度合い(丸は誤差の平均値、四角は誤差の最大値)


Scilabのスクリプトはdiff3.sceです。Scilabで数値微分 その3で作成したdifferential.sciが同じディレクトリにある必要があります。

clear;

// *** 関数の定義を読み出し ***
exec('differential.sci',0);

// *** 計算の設定 ***
xmin = 0;
xmax = 2 * %pi;
x = linspace(xmin,xmax);
dy = cos(x); // 解析解
N = [0:1:50]'; // 刻み幅

// *** 数値微分 ***
for i = 1:length(N)
// 刻み幅
n = N(i);
dx = 1 / 2 ^ n;
// 前進差分
dyf1 = diff_f1(x, dx, sin);
dyf12 = diff_f1(x, 2 * dx, sin);
ERRmeanf1(i) = mean(abs(dy - dyf1));
ERRmaxf1(i) = max(abs(dy - dyf1));
DIFmeanf1(i) = mean(abs(dyf12 - dyf1));
DIFmaxf1(i) = max(abs(dyf12 - dyf1));
// 中心差分
dyf2 = diff_f2(x, dx, sin);
dyf22 = diff_f2(x, 2 * dx, sin);
ERRmeanf2(i) = mean(abs(dy - dyf2));
ERRmaxf2(i) = max(abs(dy - dyf2));
DIFmeanf2(i) = mean(abs(dyf22 - dyf2));
DIFmaxf2(i) = max(abs(dyf22 - dyf2));
// 前進差分に対するRomberg1段
dyf1r = diff_f1r(x, dx, sin);
dyf1r2 = diff_f1r(x, 2 * dx, sin);
ERRmeanf1r(i) = mean(abs(dy - dyf1r));
ERRmaxf1r(i) = max(abs(dy - dyf1r));
DIFmeanf1r(i) = mean(abs(dyf1r2 - dyf1r));
DIFmaxf1r(i) = max(abs(dyf1r2 - dyf1r));
// 中心差分に対するRomberg1段
dyf2r = diff_f2r(x, dx, sin);
dyf2r2 = diff_f2r(x, 2 * dx, sin);
ERRmeanf2r(i) = mean(abs(dy - dyf2r));
ERRmaxf2r(i) = max(abs(dy - dyf2r));
DIFmeanf2r(i) = mean(abs(dyf2r2 - dyf2r));
DIFmaxf2r(i) = max(abs(dyf2r2 - dyf2r));
end

// *** グラフのプロット ***
// *** 誤差のプロット ***
scf(0);
a = gca();
a.data_bounds = [min(N),1E-14; max(N),1];
a.log_flags = "nl";
// 誤差の平均値
plot(N, ERRmeanf1, '-or'); // 前進差分
plot(N, ERRmeanf2, '-om'); // 中心差分
plot(N, ERRmeanf1r, '-ob'); // 前進差分に対するRomberg1段
plot(N, ERRmeanf2r, '-og'); // 中心差分に対するRomberg1段
// 誤差の最大値
plot(N, ERRmaxf1, '-sr'); // 前進差分
plot(N, ERRmaxf2, '-sm'); // 中心差分
plot(N, ERRmaxf1r, '-sb'); // 前進差分に対するRomberg1段
plot(N, ERRmaxf2r, '-sg'); // 中心差分に対するRomberg1段
// *** 刻み幅を変えた際の値の変化 ***
scf(1);
a = gca();
a.data_bounds = [min(N),1E-14; max(N),1];
a.log_flags = "nl";
// 差の平均値
plot(N, DIFmeanf1, '-or'); // 前進差分
plot(N, DIFmeanf2, '-om'); // 中心差分
plot(N, DIFmeanf1r, '-ob'); // 前進差分に対するRomberg1段
plot(N, DIFmeanf2r, '-og'); // 中心差分に対するRomberg1段
// 差の最大値
plot(N, DIFmaxf1, '-sr'); // 前進差分
plot(N, DIFmaxf2, '-sm'); // 中心差分
plot(N, DIFmaxf1r, '-sb'); // 前進差分に対するRomberg1段
plot(N, DIFmaxf2r, '-sg'); // 中心差分に対するRomberg1段


関連エントリ




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


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tag: Scilab 数値微分 

天気がいい日は洗濯物を・・・しない

日本人的には、外の天気がいい休日は洗濯物をしたい気分になります。
でもアメリカでは外に洗濯物を干す人はまったく見かけません。
ぐぐってみると、アメリカでは外干しは貧乏なイメージがあるとのこと。
私の住んでいるアパートにもランドリールームなるものがあって、洗濯機と乾燥機がずらっと並んでいます。

楽ちんでいいのですが、意外なところでしわ寄せが来るのが・・・洗濯バサミが売ってないという事。
ポテトチップの袋を閉じるにも100円均一で購入した洗濯ばさみを使っていた身としては、これは地味に困ります。

なお、ポテチの袋を閉じるには、専用のスナッククリップを使います。

DSCF1924-s.jpg

日本では、わざわざこんなもの買ったことなかったですが、洗濯バサミが手に入らないので致し方ありません。
まあ天下の米国Amazonさまを利用すれば手に入らないものなどないのだろうとは思うのですが。

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