AkaiKKRでコバルトのc/a その1

AkaiKKRでコバルトの格子定数ではhcp構造を持つコバルトのc/aを最適化する際に、マフィンティン半径(MT半径)を常に最大値として計算しましたが、AkaiKKR掲示板のOn lattice constant calculationスレッドの書き込みによるとその手法はよくないとのことです。
これを改善するには(1)格子体積を固定する(2)同じ格子体積の範囲内でMT半径が同じになるようにしてc/aを変化させる、という2つのステップを行う必要があります。
今回は前半部分として、格子体積Ωとc/a≡ηから格子定数aを計算するシェルスクリプトを作成します。


コバルトの格子定数の反省


AkaiKKRでコバルトの格子定数では、格子定数aとc/aを変化させながらhcp構造を持つコバルトの格子定数をエネルギーが最小になるという条件から探しました。
しかしながら、この時の手法には2点問題があります。

1つ目は、bzqltyが低いこと。すなわちk点の数が少ないであろうことです。強磁性金属の格子定数を最適化するためにはbzqltyを比較的大きく採らなければなりません(参考:AkaiKKRの計算精度と計算時間 その2AkaiKKRでFeCoの磁気モーメントと格子定数)。

2つ目は、c/aを決定する際にマフィンティン半径(MT半径)を常にタッチングで計算していた点です。AkaiKKR掲示板のOn lattice constant calculationスレッドの書き込み(とその件について後程赤い先生に伺った内容)によるとc/aを決定するに際しては、まず格子体積を固定して、次にc/aを変化させる。このときMT半径が一定になるようにする。という手順を取るのが良いとのこと。
一方で、体心立方構造(bcc)や面心立方構造(fcc)のような立方晶(cubic)の場合は、格子定数aを変化させたとしても、つねにタッチングで計算すればよいとのことです。
別の言い方をすれば、全エネルギーを比較して構造を最適化するときには、格子体積とマフィンティン球の体積の比が常に一定になるようにすればよいということです。

しかしながら、これをそのまま実行しようとすると2つの問題に出くわします。

1つ目は、AkaiKKRの入力は「格子体積とc/a」ではなく「格子定数aとc/a」である点です。したがって、あらかじめ格子体積とc/aの組に対応する格子定数aを計算しておかなくてはなりません。

もう1つの問題は、AkaiKKRのMT半径の入力が絶対値(Bohrを単位とした値)ではなく格子定数aを基準にした値であるということです。

これら二つの問題に対処するためのシェルスクリプトを今回と次回の2回に分けて作成します。
今回は、格子体積のリスト(OMEGA_LIST)とc/a≡ηのリストのリスト(ETA_LIST)を与えると、それに対応した格子定数aを使ったAkaiKKRの入力ファイルを作成し、第一原理計算を実行するスクリプトを書きます。

hcpの格子体積Ωと格子定数a


hcpの単位格子はFig.1のような形をしています。
ここからは格子体積Ωとc/a≡ηから格子定数aを求める計算をします。

hcpCo.png
Fig.1: hcp構造コバルトの結晶構造


底面積Sは各辺の長さが格子定数aの正三角形2個分なので

S=\frac{\sqrt{3}}{2} a^2

体積Ωはこれに高さである格子定数cを掛けて

\Omega = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 c

η≡c/a なので c=ηa となり結局

\Omega = \frac{\sqrt{3}}{2}\eta a^3

最終的に格子定数aは

a = \left(\frac{2\Omega}{\sqrt{3}\eta} \right)^{\frac{1}{3}}

となります。

シェルスクリプトの実装


シェルスクリプトで根号や累乗を含む複雑な計算を行うにはbcというコマンドを利用します。
例えば、以下のような感じです。(参考: 【 複雑な計算を行う「bc」 】 ※ただし、私の環境では、以下に示すように -l のコマンドオプションをつけないと使えない関数がありました。)

echo "1+1" | bc -l


使い方は上記のように計算式を echo で出力し、パイプで bc に渡します。

ここでもう一つ注意点があります。
bcの標準の累乗計算では、指数部分に整数しか指定することができません。今回は立方根、すなわち1/3乗を計算しなければならないので、指数と対数を用いた以下のテクニックを利用します。

xのy乗を計算する場合

z = x y

両辺の対数を取ると

log z = log xy = y log x

両辺の指数を取ると

z = exp( y log x )

となります。

bcを使った表記とするなら

e(y*l(x))


となります。

現状でのシェルスクリプトを以下に示します。
次回はこれをさらに拡張してMT半径を固定できるようにします。

#!/bin/csh -f

set OMEGA_LIST=( 140 142 144 146 148 150 152 154 156 158 160 )
set ETA_LIST=( 1.60 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.70 )

foreach OMEGA ( ${OMEGA_LIST} )
foreach ETA ( ${ETA_LIST} )
echo " OMEGA,ETA= "${OMEGA}" "${ETA}

set A=`echo "e((1/3)*l(2*${OMEGA}/(sqrt(3)*${ETA})))" | bc -l`
sed 's/'ABOHR'/'${A}'/g' in/Co0.in | sed 's/'ETA'/'${ETA}'/g' > in/Co_${A}_${ETA}.in
specx < in/Co_${A}_${ETA}.in > out/Co_${A}_${ETA}.out

tail -n 1 data/co_${A}_${ETA}.info
end
end


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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR シェルスクリプト 

30歳になりました

今のような生活が、いったいいつまで続けられるのか分かりませんが、ブログの更新はエントリの数が4桁を超えるところまで行けるといいなと思います。

現状の週1更新をずっと続けられるとして、今のエントリの数がおよそ600。
1年は52週なので、2年でおよそ100エントリが書けることになります。
これから400のエントリをアップロードするためには、8年かかることになりますね。とすると38歳。

まあ、僕の生活スタイルもさることながらfc2ブログがそこまで存在するかもわかりませんけどね。

誕生日を迎える度に 何を祝うのかが ずっと ナゾだった
見えなくなってしまったものは二度とかえらないと 知ったとき
年を経ることに後悔と 一日が過ぎてゆく恐怖を感じた

どうにもならない 今日だけど 平坦な道じゃ きっとつまらない
きみと生きてく 明日だから 這いあがるくらいで ちょうどいい
Wind climbing ~風にあそばれて~より

黄昏の空

Labからの帰り道に撮った黄昏の空です。

001_2014102008354997c.jpg

ねがてぃぶろぐの日記カテゴリを遡ってみると、写真と一言だけの日記というのが結構たくさんありました。

TwitPicが今月25日に終了するという事で、昔の写真を眺めて懐かしがる人たちがネット上にちらほら見られますが、僕はあまりTwitterを活用していなかったので、そちらには面白い写真はあんまりなかったのですが、ブログの方は(恥ずかしい文章とともに)いくつかの懐かしい写真が残っています。

AkaiKKRのマフィンティン半径のメモ

AkaiKKR(machikaneyama)ではマフィンティンポテンシャル近似を用いています。そのため、入力ファイルの中でマフィンティン半径を指定しなければなりません。

MTradius.png
Fig.1: マフィンティンポテンシャルの概念図
(KKR-Green関数法によるバンド計算より)


今回は、このマフィンティン半径に関して、幾つかの注意点をまとめます。
なお、実際にマフィンティン半径をいくつにすればよいのかは、私には難しい問題なので、今回は触れません。


マフィンティン半径に関する基本事項


Wikipediaのマフィンティンポテンシャルの項目には、マフィンティン半径に関して以下の様にあります。(強調は筆者による)

マフィンティンポテンシャルにおいて、原子核部分を記述する、球対称なポテンシャル部分のことをマフィンティン球(マフィンティンきゅう、Muffin-tin sphere)といい、この部分の半径をマフィンティン半径(マフィンティンはんけい、Muffin-tin radius)という。通常、周りの他のマフィンティン球部分と重ならない範囲で、なるべく大きな値をとるようにする(接するのが最大)。マフィンティン球同士が重なることはない。

AkaiKKRにおけるマフィンティン半径の理想値は、私には断言できないので、深入りはしませんが、上記の通り出来るだけ大きくとる場合が多いようです。

一応、AkaiKKR BBSのなかで関連しそうな書き込みを引用します。

On lattice constant calculationより

Machikaneyamaを用いて格子定数を計算したいのですが、
教科書やMachikaneyamaのマニュアルには、格子定数以外の条件をそろえることと、MT半径を十分に小さくとることに注意するように記載されています。

MT半径は格子定数を単位として入力するようになっていると思いますので、MT半径の実際の値が一定になるように、入力値を変化させるべきということでしょうか?
それとも、十分小さければ特に一定値にこだわる必要はないということでしょうか?

通常の場合あまり気にする必要はなく,例えば,0 を指定しておけば
タッチング半径で計算をいたします.
一方,c/a比を変えて最適化したい場合などは同じ体積になるようにしても,マフィンテイン半径の大きさがc/a比によって変わってしまいます.
このような場合はc/a比によらず,マフィンテイン半径が一定になるようにいたします.マフィンテイン半径は格子定数aを単位にいたしますので,c/a比を変えるときには間違えないように換算して下さい.


また、Why electrons are in vacancy? (in Japanese)より

ホントのところは,MT半径に計算結果が,あまり依存しないのが望ましいわけです.
もちろん,できるだけ最適なものを選ぶべきです.で,一般的には,「MT半径内の電子数ができるだけ電荷的に中性になるように」選ぶのがよいとされています.要はMT potentialモデル(interstitial regionでフラット)ができるだけ上手く成り立つような半径比の取り方が理想的なわけです.
まあ,実際これで結構うまくいくそうです.
が,いまのところAkaiKKRの現バージョンの自動設定では必ずしもそのようにはなっていないです.
そのうち,組み込むことになると思います.まあ,いまの自動設定値でもそれほど悪くないんだと思います.

他の例では,たとえば,MnOを計算するのにOのsphereの大きさはMnよりかなり小さく取ったりします.

AkaiKKRでは,Muffin-tin potentialを仮定しています.
(あるいは,asaのオプション(interstitialがない)も選べますけど).
Interstitialではフラットなポテンシャルです.
で,empty sphereは,
(1)そういう欠損のある問題をCPAで解く場合,
あるいは,
(2)異方性が大きくてMTポテンシャルをなんとか(まあ完全でないまでも)補正して
やりたいとき格子間隙にempty sphereを入れる.そうするとその内部のポテンシャルは
 Interstitialの値からずれることができる---ポテンシャルの記述の自由度が高くなるので
 よりよい解が期待できる.
で,使われます.


最後の異方性が大きくてempty shereを入れる話はAkaiKKRでダイヤモンド型構造半導体などです。

マフィンティン半径指定の実際


KKR-Green関数法によるバンド計算には以下の様にあります。

rmt 与えたマフィンティン半径では球どうしが重なってしまう場合、マフィンティン半径は与えた半径比で球が接するように設定し直される。0 を与えた時または省略した時は半径比として原子半径比がとられる。


AkaiKKRのマフィンティン半径の指定は、格子定数aを単位として行います。
また、マフィンティン球が互いに重なってしまうような、大きなマフィンティン半径をしていすると、自動的にマフィンティン球が重ならないような最大のマフィンティン半径に設定しなおされます。この際、各原子における原子番号は考慮されず、全ての原子で同じ値が設定されるようです。

したがって、例えば rmt=1 つまりマフィンティン半径に格子定数aと同じ値の様に、明らかにマフィンティン球が重なってしまうような大きな値を指定しておくということが良く行われます。

マフィンティン半径として明らかに大きな値、かつ、原子によって別々の値を設定すると、それぞれの比率を守りながらマフィンティン球が接するように設定されると思います。

またrmt=0 と設定してもやはりマフィンティン球が接する様なマフィンティン半径が自動設定されますが、それぞれのマフィンティン半径の比は、原子半径比が採られます。
したがって rmt=0 を選ぶ場合は、全ての原子おいて rmt=0 を設定しないとおかしなことになります。(確かエラーが出たはず。)
更に、ある原子が複数の組成を持っている場合(CPAをしている場合)は濃度比によって原子半径比にも重みがつけられているようです。

まとめると、マフィンティン半径の設定には以下の様な幾つかのパターンが考えられます。

  1. 全ての原子で rmt=1 を選び、全ての原子で同じで、かつ、互いに接するようにするマフィンティン半径とする
  2. 全ての原子で rmt=0 を選び、それぞれの原子の組成ごとに原子半径比になり、かつ、互いに接するようにするマフィンティン半径とする
  3. 全ての原子で rmt>1 を選び、それぞれの原子ごとのマフィンティン半径比を指定し、かつ、互いに接するようなマフィンティン半径とする
  4. 全て自分で設定する: 全ての原子でマフィンティン半径が接するか、それよりも小さい値を選ぶ


特に、格子定数変化させつつ、マフィンティン半径を固定したいなどは、全て自分で設定する必要があります。

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tag: machikaneyama AkaiKKR マフィンティン半径 

AkaiKKRでLi-ion電池の充放電

AkaiKKRでリチウムイオン電池の起電力ではAkaiKKR(machikaneyama)を用いてリチウムイオン二次電池の満充電状態から完全放電状態までの間の平均起電力を計算しました。今回は、リチウムを段階的に放出させ、充放電の途中の起電力を計算しました。

前回同様、定量的にはどの程度信用してよいのかは分かりませんが、正電極材料にLiCoO2やLiNiO2を使うよりもLiCo1/3Ni1/3Mn1/3O2を使うほうが起電力の低下が起こりにくいという予想が得られました。


充電/放電の途中


AkaiKKRでリチウムイオン電池の起電力ではAkaiKKR(machikaneyama)を用いてリチウムイオン二次電池の起電力が、正電極材料によってどのように変化するかを計算しました。

その際、前回のエントリでは以下の化学反応を考え、満充電状態と完全放電状態の間のエネルギー差から起電力を計算しました。

LiCoO2 ⇔ CoO2 + Li + e-

しかしながら、このときの起電力は(おそらく)満充電状態から完全放電状態までの起電力の平均値だろうと考えられます。しかしながら、通常の電池では、放電をするにつれて起電力が下がっていきます。
より具体的に言うならば、例えば以下の二つの状況下では、求められる起電力が異なるはずであると言うことです。

LiCoO2 ⇔ Li0.9CoO2 + 0.1Li + 0.1e-

Li0.9CoO2 ⇔ Li0.8CoO2 + 0.1Li + 0.1e-

そんなわけで、前回のエントリと同様にして、充放電の途中の起電力を計算します。

入力ファイル


リチウムの濃度を変化させながら全エネルギーを変化させるために、シェルスクリプトと入力ファイルのテンプレートを作成しました。

#!/bin/csh -f

set XI_LIST=( 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 )

foreach XILI ( ${XI_LIST} )
set XIVC=`echo 100 - ${XILI} | bc`
echo " XI= "${XILI}
sed 's/'XIVC'/'${XIVC}'/g' in/LixCoO2.in0 | sed 's/'XILI'/'${XILI}'/g' > in/Li${XILI}CoO2.in
specx < in/Li${XILI}CoO2.in > out/Li${XILI}CoO2.out
cp data/LixCoO2 data/Li${XILI}CoO2
tail -n 1 data/LixCoO2.info
end


c----------------------LiCoO2--------------------------------
go data/LixCoO2
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
rhb 9.373 , , , 32.97 , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.7 sra mjwasa mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 200 0.02
c------------------------------------------------------------
c ntyp
3
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
LiVc 2 1 0.000 2
3 XILI
0 XIVC
Co 1 1 0.000 2
27 100
O 1 1 0.000 2
8 100
c------------------------------------------------------------
c natm
4
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0 , 0 , 0 , Co
0.5a , 0.5b , 0.5c , LiVc
0.26a , 0.26b , 0.26c , O
0.74a , 0.74b , 0.74c , O
c------------------------------------------------------------


計算結果


結果はFig.1の様になりました。

battery.png

Fig.1: AkaiKKRによるリチウムイオン電池の充放電特性


この計算結果がどの程度定量的に信用できるのかは、正直なところ私には良くわかりませんが、もし仮に今回の計算結果が正しいとしたらどの様な意味を持つのかについて考えて見ます。

まず、放出されるリチウムの量が移動する電子の量と1対1対応しているので、グラフの横軸のリチウム濃度と言うのは、定電流充電/放電した際の時間経過と考えることが出来ます。前回のエントリで書いたとおり、この場合の起電力の実体は全エネルギーの差でしかないので電圧が高いほど多くの電力が供給できることを意味しています。

この図からは、遷移金属にコバルトやニッケル単体を用いた場合よりも、コバルトニッケルマンガンを1/3ずつ入れたときの方が放電時の起電力の低下が少ないことが読み取れます。
電池の特性としては、容量が大きいだけでなく、消耗しても電圧が下がらないほうがありがたいので、コバルトの一部を置換することによって放電特性が良くなることを示しています。

というようなことを書いた後に


今回のエントリは、ふとした思い付きで計算してみたわけなのですが、どうやらリチウムイオン電池の起電力の第一原理計算は、本当に第一線の問題であるようです。

AkaiKKR掲示板ではWhy electrons are in vacancy? (in Japanese)にて議論されています。また中山 将伸さんのウエブページにはリチウムイオン電池(基礎編・電池材料学)第一原理計算(解析編)といった記事が公開されています。

エントリを書き終わってから、上記のようなページに気が付いたので、このエントリの公開をやめるか(あるいはちゃんと計算しなおすか)とも考えましたが、あまり労力をかける気も起きなかったので、そのまま公開することにしました。
そんなわけで(変な言い回しですが)ちゃんとした研究のためにこのページに来てくださった方は、このエントリが極めてテキトーに作られていることにご注意ください。

関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したAkaiKKRの入力ファイルのテンプレートとシェルスクリプトを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR CPA シェルスクリプト 起電力 

AkaiKKRでリチウムイオン電池の起電力

2014年の2月末に行われた第24回CMD®ワークショップではAkaiKKR(machikaneyama)のアドバンストコースを受講させていただきました。その際のマテリアルデザインのテーマのひとつとして、リチウムイオン二次電池の起電力の計算があります。今回のエントリでは、リチウムイオン二次電池の正電極材料である LiCoO2のコバルトをニッケルやコバルトニッケルマンガンに置き換えたときの起電力の計算を行いました。

01-150p-01.jpg
Fig.1 リチウムイオン二次電池はモバイル機器に使われる。



リチウムイオン二次電池


二次電池(充電して再利用できる電池)には、ニッケル水素電池(エネループなど)や鉛蓄電池(自動車のバッテリーなど)といろいろな種類が存在しています。
その中でリチウムイオン電池は、小型で大容量という特長を生かして携帯電話やノートパソコンのバッテリーとして利用されています。

LiCoO2 ⇔ Li1-xCoO2 + xLi + xe-

リチウムイオン二次電池の正極で起きている化学反応は、上記の様に表すことができます。リチウムイオン二次電池は高性能なバッテリーなのですが、材料のコバルトが高価であるという欠点があります。そこでコバルトを別の遷移金属で代替する研究が行われてきました。

以前受講させていただいたCMD®ワークショップでは、AkaiKKR(machikaneyama)のアドバンストコースにて、リチウムイオン二次電池のコバルトを他の遷移金属(Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni, Cu, Zn,Al, etc.)に置き換えたときに、その起電力がどのように変化するかのマテリアルデザインを行いました。

入力ファイルと起電力の計算


今回はリチウムイオン二次電池の正電極の材料になるLiCoO2のコバルトをニッケルに置換した場合とコバルトニッケルマンガンに1/3ずつ置換した場合の起電力を計算します。

起電力は充電状態と放電状態のエネルギー差から計算できます。第一原理計算入門AkaiKKRには以下の様に書かれています。

起電力の計算
-V = Total Energy (LiCoO2) - Total Energy (CoO2) - Total Energy (Li)
結果は 13.6 * Ry = eV となるが、1e あたりにすると、Vとなる。

コバルトをニッケルに置き換えた計算、及び、コバルトの一部をニッケルとマンガンに置き換えた計算では差し当たり格子定数などを変更しないことにします。LiCo1/3Ni1/3Mn1/3O2の計算もコヒーレントポテンシャル近似(CPA)を用いて下記の様なインプットファイルを作成することが出来ます。

c---------------------LiCoNiMnO2-----------------------------
go data/LiCoNiMnO2
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
rhb 9.373 , , , 32.97 , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.7 sra mjwasa mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 200 0.02
c------------------------------------------------------------
c ntyp
3
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Li 1 1 0.000 2
3 100
CoNiMn 3 1 0.000 2
27 33
28 33
25 33
O 1 1 0.000 2
8 100
c------------------------------------------------------------
c natm
4
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0 , 0 , 0 , CoNiMn
0.5a , 0.5b , 0.5c , Li
0.26a , 0.26b , 0.26c , O
0.74a , 0.74b , 0.74c , O
c------------------------------------------------------------


結果


計算の結果得られた起電力をTable. 1に示します。起電力(電圧)として表にしてありますが、結局の所、計算しているのは全エネルギーの差なので、満充電から完全放電までに取り出せる電力と言うこともできます。

正極材料実験値(Wikipedia)計算値(AkaiKKR)
LiCoO23.7 V3.72 V
LiNiO23.5 V 2.94 V
LiCo1/3Ni1/3Mn1/3O23.6 V3.28 V
table.1: 正極材料と起電力。
実験値はWikipediaのリチウムイオン二次電池より。


差し当たり起電力の大きさでコバルトを使ったときが最大、次がコバルトニッケルマンガンが混ざった状態で、全てニッケルに置き換えたときが最小であると言うことは再現しています。現実の系のことを定量的に予想するには、もう少し色々と考えないといけないと思います。bzqltyしかり、格子定数しかり、充放電の中間の状態しかり。

なおCMD®ワークショップの際は、受講者それぞれに異なった遷移金属を割り当てて、計算結果を持ち寄って比較すると言うことをやっていました。私に割り当てられたのはコバルトを10%スカンジウムに置き換えたもの、すなわちLiCo0.9Sc0.1O2だったのですが、計算してみるとewidthがcoreに引っかかってなかなか上手く収束してくれませんでした。

関連エントリ




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付録


このエントリで使用したAkaiKKRの入力ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


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