Scilabで関数フィッティング: 金属の電気抵抗

実験データのフィッティングを行うことの出来る非線形最小二乗法は、gnuplotを含む色々なソフトに実装されています。しかし、積分を含む関数へのフィッティングは通常困難です。これに対してScilabを使えば数値積分と組み合わせることにより積分を含む式への実験データのフィッティングが簡単に行えます。

例としてgnuplotを用いた関数の積分(再帰定義)で行われている白金の電気抵抗測定データのブロッホ・グリューナイゼンの式へのフィッティングを再現しました。その結果Scilabで数値積分と組み合わせて行ったフィッティングもほぼ同じ結果を示すことが確認できました。

001_20130524200240.png 002_20130524200239.png


関数フィッティング


実験データを取得した後、何らかの式(例えば理論的に予測される式など)に実験データを「あてはめ」て、パラメータを求めるというようなことが、非常に良く行われます。具体例を挙げるなら、前回のScilabで数値積分: 固体の比熱で紹介したアインシュタインモデルやデバイモデルの式に実際に測定した比熱のデータをあてはめて、アインシュタイン温度やデバイ温度といったその物質固有のパラメータを求めるなどです。

このような処理を「関数フィッティング」とか「曲線あてはめ」などと呼びます。グラフ描画ソフトとして有名なgnuplotにも非線形関数を使った最小自乗フィッティングの方法が実装されています。

どういった関数に「あてはめ」を行うかによって計算自体の難易度も変わるのですが、Scilabで数値積分: 固体の比熱のときと同様に積分を含む式へのフィッティングは最も難しいもののひとつで、gnuplotで行おうとすると再起定義を用いた多少トリッキーな方法が必要になります。(参考:gnuplotを用いた関数の積分(再帰定義))

一方、ScilabではScilabで数値積分: 固体の比熱の方法で積分を含む関数の定義を行うことで、積分を意識する事無く、他の非線型方程式へのフィッティングとおなじ方法で積分を含む関数へのフィッティングを行うことが出来ます。

今回のエントリでは、Non-linear regression using Scilab and Octaveの方法を用いてgnuplotを用いた関数の積分(再帰定義)で扱っている白金の電気抵抗のブロッホ・グリューナイゼンの式へのフィッティングを再現してみます。

金属の電気抵抗


Scilabで数値積分: 固体の比熱で見た固体の比熱と同様に、金属の電気抵抗の温度依存性も多くの種類の金属に共通した関数の形であらわされることが知られています。(参考:シミュレーション例(電気抵抗))

純度の高い金属の電気抵抗率は、以下に示すブロッホ・グリューナイゼンの式であらわされます。

\rho(T) = C \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^5 \int^{\Theta_D / T}_0 \frac{x^5}{(e^x -1)(1-e^{-x})}{\rm d}x

ここで金属の種類に依存するパラメータは、デバイ温度(ΘD)と物質定数(C)の二つです。

実際の金属には不純物や格子欠陥があるため残留抵抗成分が足されます。また、測定値は抵抗率ではなく抵抗値なので、文字もρではなくRに変えます。

R(T) = R_0 + A \left( \frac{T}{\Theta_D} \right)^5 \int^{\Theta_D / T}_0 \frac{x^5}{(e^x -1)(1-e^{-x})}{\rm d}x

以上がフィッティングに用いる式です。

プログラミング


白金の電気抵抗の測定データはgnuplotを用いた関数の積分(再帰定義)で公開されているPt.datをScilabで読み込めるように整形したものを用いました。各行末のiと157行目を削除する必要があります。
Scilabへのデータの読み込みはfscanfMatを利用しました。(参考:ExcelデータをScilabで読みこむScilabで大容量のCSV(テキスト)ファイルを読み込む)

フィッティングにはNon-linear regression using Scilab and Octaveを参考にlsqrsolveを用いました。

// 温度-抵抗データの読み込み
X = fscanfMat("Pt.dat");
T = X(:,1);
R = X(:,2);

// Bloch-Gruneisen関数の定義
function R = BG(T)
R = r0 + a .* ((T ./ dt) .^ 5) .* integrate('(x .^ 5) ./ ((exp(x) - 1) .* (1 - exp(-x)))','x',0,dt ./ T);
endfunction

// フィッティング
function e = f1(fitparam,m)
dt = fitparam(1); //デバイ温度
a = fitparam(2); //物質定数
r0 = fitparam(3); //残留抵抗
e = R - BG(T);
endfunction
[fitparam, v] = lsqrsolve([200;100;0.9],f1,size(T,1));
dt = fitparam(1) //デバイ温度
a = fitparam(2) //物質定数
r0 = fitparam(3) //残留抵抗

// 抵抗データとフィッティング結果のプロット
scf(0)
plot(T,R,'+r');
plot(T,BG(T),'-g');
zoom_rect([0,0,300,120]) //描画領域[x1,y1,x2,y2]
xlabel("Temperature (K)");
ylabel("$\mathrm{Resistance} (\Omega)$");

// 相対誤差のプロット
scf(1)
plot(T,(R - BG(T))./BG(T),'+r');
zoom_rect([0,-0.30,300,0.15]) //描画領域[x1,y1,x2,y2]
xlabel("Temperature (K)");
ylabel("Relative error");


フィッティング結果


以降にフィッティング結果を示します。
gnuplotを用いた関数の積分(再帰定義)と比較を行いやすいように、シンボルと色を統一してあります。

001_20130524200240.png
Fig.1: 白金の抵抗値測定データと(赤)フィッティング関数(緑)

002_20130524200239.png
Fig.2: 測定データとフィッティング結果の相対誤差


Fig.1に示すように、フィッティングがうまく行っていそうな事がわかります。
またFig.2を原典と比較すれば、相対誤差もgnuplotによるフィッティングとほぼ同程度となっていることが読み取れます。

gnuplotscilab
A344.574345.2282
ΘD230.306230.71733
R01.25831.2792533
table.1: フィッティングパラメータ


フィッティングパラメータも手法の違いによる多少のずれは見られるものの、おおよそ合っています。

関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのソースコードファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


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tag: Scilab 最小二乗法 関数フィッティング 数値積分 

LTspiceで日本語コメント

株式会社e-skettのウエブページにてLTspice用日本語表示変換ソフトが公開されています。これを使うことによって、LTspiceの回路図上に日本語でコメントを書き込むことができるようになります。

001_20130601012704.pngFig.1: 日本語コメントの例



日本語コメント


LTspiceは、標準では日本語のコメントを入力する機能を持っていません。
ねがてぃぶろぐのアクセス解析を調べてみても「LTspice 日本語 コメント」といった検索単語からこられる方も多く、日本語でコメントを入力することに対する潜在的な需要が大きいことが分かります。

これは、回路シミュレータに限らずCADソフト全般に対して言えることです。例えば、PCBエディタとして有名なEagleも外国製のソフトのためプリントパターン内に日本語を入力することが出来ません。これに対して、EAGLE基板/回路図に日本語を描くでは、ストロークフォントKST32Bを用いて回路パターンとして文字を表現するという事を行っています。

これと同様のことをLTspiceで行えば、回路図上に日本語のコメントを書き込む(描き込む)ことができます。

今回紹介するLTspice用日本語表示変換ソフトLTSJTextは、LTspiceの回路図ファイルに書き込まれた日本語コメントを、自動でストロークフォントによるライン描画に置き換えてくれるソフトです。

LTSJTextの使い方


LTSJTextの使い方は、(本家サイトの解説と大差ないですが)大雑把には以下の通りです。

私の試した環境ではWindows XP Professional (32bit)とWindows server 2008 R2(64bit)で動作しました。なお、本家である株式会社e-skettのページではWindowsXP、Windows7(64bit)、Windows8(64bit,デスクトップ)で動作確認を行っています。と書かれています。

  1. .Net framework 4.0以降のインストール
  2. LTSJTextのインストール
  3. 送るフォルダ(SendTo)にショートカットを作成


まず.NET Framework 4.5 のインストールを行います。(Windows XPの場合は.NET Framework 4.0を使います。)

次に本家の株式会社e-skettまたはVectorのLTSJText(LTspice用日本語テキスト変換ソフト)からLTSJTextをダウンロード、展開します。
展開して出来たフォルダはどこにおいてもかまいませんが、私はLTspice本体と同じフォルダにおいています。LTspiceのインストールと初期設定の手順でインストールしてあるならば"C:¥LTspiceIV¥LTSJText¥"または"C:¥Program Files¥LTC¥LTspiceIV¥LTSJText¥"です。

次に展開して出来たLTSJText.exeのショートカットを作ります。素直にデスクトップなどにショートカットを作っても良いですが、私は送る(SendTo)フォルダにショートカットを作りました。このようにしておけば.ascファイルを右クリックから日本語テキスト化することが出来ます。

それでは、日本語コメントを書き込んでみます。
ショートカットキー"t"からEdit Text on the Schematic:ウインドウを立ち上げ、普通に日本語のコメントを打ち込みます。(Fig. 2)


002_20130601012704.png
Fig.2: 日本語コメントの入力


すると、文字化けしたものが回路図上に入力されまが、気にせずこのまま保存します。このとき注意すべき点は、パスにスペース(空白記号)を含むフォルダに保存してはいけないということです。空白を含むフォルダに保存するとうまく日本語コメントに変換出来ません。


003_20130601012702.pngFig.3: 文字化けした回路図


文字化けしたまま保存した.ascファイルをLTSJText.exe(のショートカット)の上にドラッグアンドドロップします。送るフォルダにショートカットを作った場合は、右クリックから送ります。
するとFig.4のようなウインドウが立ち上がり、変換が完了します。


004_20130601012702.png

Fig.4: LTSJText.exeのウインドウ


元ファイルと同じフォルダに、ファイル名の末尾に_Jが付いたファイルが新たに出来ているはずです。

NG-SPICE + BSch3V


一方で、今回紹介した方法は、日本語の文字列をラインにして回路図上に書き込むといった方法をとっているため、一度書き込んだコメントを再編集する際には、もう一度最初から文字列を打ち込んでラインフォント化の手順を繰り返さなければいけません。

日本語コメントのみが問題というわけではないのでしょうが、純国産の(シミュレータ連動でない)回路図エディタで標準で日本語入力の機能が付いているもの(例えばBSch3Vなど。)とSPICEを組み合わせることに挑戦している人たちもいるようです。(参考:NG-SPICE+BSch3V - 回路シミュレーターWiki)

関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したLTspiceのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


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Scilabで数値積分: 固体の比熱

固体の比熱の温度依存性は、物質の種類に関わらず大体似たような形のグラフになることが知られています。この関数は、計算が簡単なアインシュタインモデルと正確だが積分の計算をする必要のあるデバイモデルの2種類が知られています。Scilabを利用すると簡単に数値積分をすることが出来ます。

今回のエントリでは、銅を対象にアインシュタインモデル、デバイモデルの両方から比熱を計算します。

001_20130522024102.png
Fig.1: 銅の比熱の温度依存性。青破線がアインシュタインモデル、赤実線がデバイモデルによる計算。



固体の比熱


デュロン=プティの法則によると充分高温の固体の単位モルあたりの比熱は、物質の種類によらずほとんど一定で3R(R = 8.314 J/K/mol :気体定数)です。また絶対零度での比熱はゼロになることも知られています。更に、中間的な温度での温度依存性も適切な温度で規格化をすれば同じ関数の形で表すことが出来ることが知られています。

この関数には、アインシュタインモデルとデバイモデルの2種類が知られています。これら二つのモデルは、どちらも高温でデュロン=プティの法則を再現し、絶対零度でゼロになりますが、中間温度での計算結果が微妙に異なります。デバイモデルのほうがより実験値に近い結果を示すことが知られていますが、数式中に積分を含むため計算が多少困難です。

今回はScilabで数値積分をするサンプルとして、デバイモデルから銅の比熱の温度依存性を計算します。

物質の個性を表す「適切な規格化温度」は、デバイモデルではデバイ温度(ΘD)、アインシュタインモデルではアインシュタイン温度(ΘE)と呼ばれます。銅のデバイ温度は343.5Kで、デバイ温度とアインシュタイン温度は、以下の式で換算できます。(参考:デバイ模型)

\Theta_E = \Theta_D \sqrt[3]{\frac{\pi}{6}}

この関係を使うとアインシュタインモデルとデバイモデルを用いてそれぞれ計算した比熱の温度依存性を比較することが出来ます。

アインシュタインモデルの計算


まずは、積分の必要の無いアインシュタインモデルの計算プログラムを書きます。以下の式に従って、500Kまでの銅の比熱の温度依存性を計算しました。

C_E (T) = 3 R \left(\frac{\Theta_E}{T}\right)^2 \frac{e^{\Theta_E / T}}{(e^{\Theta_E / T}-1)^2}

//Debye temperature (K)
dt = 343.5;
// Einstein temperature (K)
et = dt * (%pi / 6) ^ (1 / 3);
// gas constant (J/K/mol)
r = 8.314

// Temperature
T = [1:1:500];

// Einstein model
Ce = 3 * r * ((et ./ T) .^ 2) .* exp(et ./ T) ./ ((exp(et ./ T) - 1) .^ 2);

plot(T,Ce,'--b');
xlabel("Temperature (K)");
ylabel("Specific heat (J/K/mol)");


デバイモデルの計算


次に、数値積分を用いたデバイモデルの計算プログラムです。アインシュタインモデルのときと同様に500Kまでの比熱の計算をしました。

C_D (T) = 9 R \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \int_0^{\Theta_D / T}\frac{x^4 e^x}{(e^x -1)^2}{\rm d}x

Scilabでの数値積分にはintegrateを利用します。(参考:求積法による積分)

//Debye temperature (K)
dt = 343.5;
// Einstein temperature (K)
et = dt * (%pi / 6) ^ (1 / 3);
// gas constant (J/K/mol)
r = 8.314

// Temperature
T = [1:1:500];

// Debye model
Cd = 9 * r * ((T ./ dt) .^ 3) .* integrate('(x .^ 4) .* exp(x) ./ ((exp(x) - 1) .^ 2)','x',0,dt ./ T);
plot(T,Cd,'-r');
xlabel("Temperature (K)");
ylabel("Specific heat (J/K/mol)");


まとめ


最後に以上の計算をまとめてひとつのグラフ上にプロットします。ついでにグラフの凡例も付けました。(参考:グラフの凡例を描画する)

// Debye temperature (K)
dt = 343.5;
// Einstein temperature (K)
et = dt * (%pi / 6) ^ (1 / 3);
// gas constant (J/K/mol)
r = 8.314

// Temperature
T = [1:1:500];

// Einstein model
Ce = 3 * r * ((et ./ T) .^ 2) .* exp(et ./ T) ./ ((exp(et ./ T) - 1) .^ 2);
// Debye model
Cd = 9 * r * ((T ./ dt) .^ 3) .* integrate('(x .^ 4) .* exp(x) ./ ((exp(x) - 1) .^ 2)','x',0,dt ./ T);

plot(T,Ce,'--b');
plot(T,Cd,'-r');
legend(['Einstein model';'Debye model'],2);
xlabel("Temperature (K)");
ylabel("Specific heat (J/K/mol)");


デバイモデルとアインシュタインモデルを比較すると、高温でデュロン=プティの値になり、絶対零度でゼロになる点が一致します。しかし、中間的な温度ではデバイモデルのほうが高い比熱を示す事がグラフから読み取れます。

参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


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LTspice部品モデル作成術

LTspiceユーザーの多くがひそかに期待していたであろう、部品モデルの設計方法に関する凄い本が発売されました。堀米毅著定番回路シミュレータLTspice 部品モデル作成術: コンデンサ/トランジスタ/トランス/モータ/真空管…どんな部品もOK! (TOOL活用シリーズ)です。



この本は、入門書ではありません。

LTspiceの基礎はマスターしたものの「付属のモデルだけを使った大雑把なシミュレーション」と「より複雑な現実の回路の挙動」の間のギャップを埋めたいと考えている人に向けた、ワンステップ上の教科書です。


ねがてぃぶろぐが紹介されました


ねがてぃぶろぐが定番回路シミュレータLTspice 部品モデル作成術の中で参考情報があるウェブサイトとして、以下のサイトとともに紹介されました。

001_20130602180145.jpg

Fig.1: 第2章Appendix―LTspiceの参考情報があるウェブサイト(P44)


● ねがてぃぶろぐ
http://gomisai.blog75.fc2.com/blog-category-15.html
 ねがてぃぶろぐにあるLTspiceのカテゴリです.デバイス・モデリングにおいて等価回路技術を習得すると,自分で任意の電子部品の等価回路モデルを作成できます.そのとき等価回路をSPICE上のデバイスにするには,ABM(アナログ・ビヘイビア・モデル)ライブラリを活用します.そのABMの解説が丁寧に掲載されています.自分で試せるように,シミュレーション・データもアップロードされています.センサの等価回路モデルの作成方法の事例は,モデルの作り方の良い参考になると思います.


ABM(アナログ・ビヘイビア・モデル)の解説というのはLTspiceでビヘイビア電源ほかのことだと思います。

前述の参考情報があるウェブサイトとして挙げられている中で、ねがてぃぶろぐだけがアマチュア向けに個人がやってるブログというか、ありていに言うと小物臭が漂ってるのですが、それでもピックアップされたのは恐らく、多少なりとも自分でデバイスのモデリングまで手を付けているからだと思います。


パラメータ・モデルと等価回路モデル


定番回路シミュレータLTspice 部品モデル作成術では、その名前の通りLTspiceでシミュレーションする際の部品のモデルをいかにして作成するかに着目をした書籍です。

この本では、SPICEモデルを以下のように2種類に分類しており、書籍中の前半でパラメータモデル、後半で等価回路モデルの作成方法の解説をしています。

● SPICEモデルは2種類ある
 SPICEモデルを分類すると2種類あります.パラメータ・モデルと等価回路モデルです.パラメータ・モデルは,モデル・パラメータのみで表現されているSPICEモデルです.等価回路モデルは,名前の通り,電子部品が何らかの等価回路で表現されています.これらは,SPICEモデルのネットリストの最初の行で判断できます.
  • パラメータ・モデルの場合
    ネットリストの表記が.modelで始まる
  • 等価回路モデルの場合
    ネットリストの表記が.subcktで始まる


必ずしも一対一対応ではないですが、直感的に言えば個別半導体と集積回路(IC)の違いと思えばよいかもしれません。
複雑な回路に対して精密なシミュレーションを行う場合、回路に階層構造を持たせます。(参考:LTspiceで74HC4053また階層を持つ回路標準CMOSロジックのトランジスターモデル:ベルが鳴っています)
この場合は、パラメータモデルがより下位の、等価回路モデルがより上位の階層を担います。
階層構造を作ってよく使う部分を使いまわすというのは、プログラミングにおけるライブラリと同じ考え方です。

等価回路モデルに関しては、ねがてぃぶろぐでも簡単なものをたくさん扱っています。
例えばLTspiceで7414では、7414のデータシートにある等価回路図から等価回路モデルを作成しヒステリシス特性のシミュレーションを行っています。これらの等価回路を他の回路シミュレーションから呼び出すためには、サブサーキットの使用法を用いてそれぞれをサブサーキットにします。

001_20090328061018.png
Fig.2: 7414データシートの等価回路図

003_20090328061032.png
Fig.3: LTspiceによる等価回路モデル


他にも、ねがてぃぶろぐでは以下のような例を扱って来ました。


その反面、ねがてぃぶろぐではパラメータモデルは全く扱っていません。これは、単純に私にとって難しいからです。私以外にもパラメータモデルの作成をどうしたらよいか分からないと感じていた方は多いのではないでしょうか?

これに対して定番回路シミュレータLTspice 部品モデル作成術では、パラメータモデルと等価回路モデルの両方の具体的な設計方法が書かれています。

例えば、書籍の最初のほうにGSユアサの酸素センサ(KE-12)を等価回路モデルにするための具体的な方法が解説されています。

004_20130603060903.jpg
Fig.4: 酸素センサの構造

005_20130603060903.png
Fig.5: 作成された等価回路モデル


006_20130603060903.png

007_20130603060902.png

Fig.6-7: 出力電圧のカタログスペックとシミュレーション結果の比較



008_20130603060902.png

009_20130603060902.png

Fig.8-9: 応答速度のカタログスペックとシミュレーション結果の比較


定番回路シミュレータLTspice 部品モデル作成術では、さらに複雑なデバイスのモデリングとして「周波数特性+逆起電力+物理特性」を含んだDCモータや太陽電池など、通常のSPICEには用意されていないようなデバイスの例も解説されています。

関連エントリ




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