Scilabで二重積分

Scilabを利用すると1変数の数値積分が簡単に計算できます。

\begin{equation}
\int_{x_0}^{x_1}f(x)\mathrm{d}x
\end{equation}

このブログでも数値積分タグにいくつかの例を見つけることができます。しかしながら、2変数の数値積分はこれまで行ってきませんでした。

\begin{equation}
\int\int f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}

Scilabには二重積分を計算することが可能な int2d が存在します。今回は高校数学の美しい物語で解析的に解かれている二重積分を数値的に計算してみます。


積分範囲が長方形領域の場合


積分範囲が長方形の領域の場合、すなわち以下のような式で表すことができる場合は、簡単に数値積分できます。

\begin{equation}
\int_{x_0}^{x_1}\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}

Scilabの int2d では長方形領域を2つの三角形のパッチワークとして与えます。
積分範囲を int2d に渡すために行列XとYを用意します。それぞれ2つの三角形の頂点のx座標とy座標を与えます。

\begin{equation}
X =
\begin{pmatrix}
x_{0} & x_{0} \\
x_{1} & x_{1} \\
x_{1} & x_{0} \\
\end{pmatrix},
Y =
\begin{pmatrix}
y_{0} & y_{0} \\
y_{0} & y_{1} \\
y_{1} & y_{1} \\
\end{pmatrix}
\end{equation}

001_20170423145553b2b.png
Fig.1: Scilabのint2dへの積分範囲の与え方


実際に以下の積分を計算して見ます。

\begin{equation}
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}x^4 \sin(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}

clear;

r = 1;

// *** 積分する関数の定義 ***
function z = func(x,y)
z = (x .^ 4) * sin(y)
endfunction
// 積分範囲
x0 = 0; x1 = r;
y0 = 0; y1 = %pi;

// *** 二重積分 ***
X = [x0, x0;
x1, x1;
x1, x0];
Y = [y0, y0;
y0, y1;
y1, y1];
// 数値解
I = int2d(X, Y, func)
// 解析解
A = 2*(r^5)/5


数値化解と解析解が同じ値になることが確認できます。

積分範囲が三角形の組み合わせで表せる場合


積分範囲が長方形の場合は2つの三角形の組み合わせで表現されますが、より複雑な形状の場合も任意の個数の三角形の組み合わせで表現できるはずです。今回は逆に簡単になってしまいますが、1個の三角形で表現できる例を計算します。

\begin{equation}
\int \int_D xy^2 \mathrm{d}x\mathrm{y}
\end{equation}

jusekibun.png
Fig.2: 積分領域Dが三角形ひとつ分の例


積分領域が三角形ひとつ分なので、与える行列は3行1列になります。

\begin{equation}
X =
\begin{pmatrix}
x_{0} \\
x_{1} \\
x_{1} \\
\end{pmatrix},
Y =
\begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{0} \\
y_{1} \\
\end{pmatrix}
\end{equation}

この計算を行うScilabスクリプトは以下のようになります。

clear;

// *** 積分する関数の定義 ***
function z = func(x,y)
z = x .* (y .^ 2)
endfunction

// *** 二重積分 ***
X = [0;
1;
1];
Y = [1;
0;
1];
// 数値解
I = int2d(X, Y, func)
// 解析解
A = 3/20


このスクリプトも数値解と解析解が同じに値になることが分かります。

同様にしてN個の三角形の組み合わせで表現される積分範囲の場合3行N列の行列で指定することができます。

更に複雑な積分領域の場合


どんなに複雑な積分領域の形状であっても三角形のパッチワークで表現できるはずですが、現実的には大変です。そこでOctaveの精義―フリーの高機能数値計算ツールを使いこなすで紹介されている方法を試してみましたが、現状うまく行っていません。上手く行っていませんがとりあえず方法だけは紹介します。
具体的にはScilabの論理演算で条件分岐の考え方を使って積分領域外では値がゼロになるように被積分関数の定義を行います。

\begin{equation}
\int\int_D -\frac{1}{(2x + y + 1)^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}

jusekibun2.png
Fig.3: 複雑な積分領域の例


clear;

// *** 積分する関数の定義 ***
function z = func(x,y)
region = y >= x .^ 2
z = - 1 ./ ((2 * x + y + 1) .^ 2) .* region
endfunction

// *** 二重積分 ***
X = [0;
1;
1];
Y = [0;
0;
1];
// 数値解
I = int2d(X, Y, func)
// 解析解
A = (1/3) * log(4) - 1/2


原理的にはこのスクリプトでよいはずですが、実際には正しく計算してくれません。Scilab 6.0ではエラーで停止します。Scilab 5.5.2ではそれっぽい値を返しますが、解析解の値とはかなりずれた値となっており、不正確です。

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tag: Scilab 数値積分 重積分 

Scilabで数値微分 その4

Scilabで数値微分 その1, その2で行った誤差の議論を、誤差の最大値と誤差の平均値について行いました。

こういう議論に意味があるかはわかりませんが。


Scilabで数値微分 その1, その2ではsin(x)のx=0.3πのときの微分値を数値計算するに際して、差分の刻み幅を変えた際に数値計算の誤差(丸め誤差、打切り誤差)がどのように影響するかについて調べました。
今回はxを1から2πの範囲で微分値を計算し、差分の刻み幅を変えた際に数値計算の誤差の平均値や最大値への影響を調べます。

001_20150405230943e9c.png
Fig.1: 数値微分と解析解の比較(丸は誤差の平均値、四角は誤差の最大値)

002_201504052309435a9.png
Fig.2: 数値微分の刻み幅を2倍にした時の変化の度合い(丸は誤差の平均値、四角は誤差の最大値)


Scilabのスクリプトはdiff3.sceです。Scilabで数値微分 その3で作成したdifferential.sciが同じディレクトリにある必要があります。

clear;

// *** 関数の定義を読み出し ***
exec('differential.sci',0);

// *** 計算の設定 ***
xmin = 0;
xmax = 2 * %pi;
x = linspace(xmin,xmax);
dy = cos(x); // 解析解
N = [0:1:50]'; // 刻み幅

// *** 数値微分 ***
for i = 1:length(N)
// 刻み幅
n = N(i);
dx = 1 / 2 ^ n;
// 前進差分
dyf1 = diff_f1(x, dx, sin);
dyf12 = diff_f1(x, 2 * dx, sin);
ERRmeanf1(i) = mean(abs(dy - dyf1));
ERRmaxf1(i) = max(abs(dy - dyf1));
DIFmeanf1(i) = mean(abs(dyf12 - dyf1));
DIFmaxf1(i) = max(abs(dyf12 - dyf1));
// 中心差分
dyf2 = diff_f2(x, dx, sin);
dyf22 = diff_f2(x, 2 * dx, sin);
ERRmeanf2(i) = mean(abs(dy - dyf2));
ERRmaxf2(i) = max(abs(dy - dyf2));
DIFmeanf2(i) = mean(abs(dyf22 - dyf2));
DIFmaxf2(i) = max(abs(dyf22 - dyf2));
// 前進差分に対するRomberg1段
dyf1r = diff_f1r(x, dx, sin);
dyf1r2 = diff_f1r(x, 2 * dx, sin);
ERRmeanf1r(i) = mean(abs(dy - dyf1r));
ERRmaxf1r(i) = max(abs(dy - dyf1r));
DIFmeanf1r(i) = mean(abs(dyf1r2 - dyf1r));
DIFmaxf1r(i) = max(abs(dyf1r2 - dyf1r));
// 中心差分に対するRomberg1段
dyf2r = diff_f2r(x, dx, sin);
dyf2r2 = diff_f2r(x, 2 * dx, sin);
ERRmeanf2r(i) = mean(abs(dy - dyf2r));
ERRmaxf2r(i) = max(abs(dy - dyf2r));
DIFmeanf2r(i) = mean(abs(dyf2r2 - dyf2r));
DIFmaxf2r(i) = max(abs(dyf2r2 - dyf2r));
end

// *** グラフのプロット ***
// *** 誤差のプロット ***
scf(0);
a = gca();
a.data_bounds = [min(N),1E-14; max(N),1];
a.log_flags = "nl";
// 誤差の平均値
plot(N, ERRmeanf1, '-or'); // 前進差分
plot(N, ERRmeanf2, '-om'); // 中心差分
plot(N, ERRmeanf1r, '-ob'); // 前進差分に対するRomberg1段
plot(N, ERRmeanf2r, '-og'); // 中心差分に対するRomberg1段
// 誤差の最大値
plot(N, ERRmaxf1, '-sr'); // 前進差分
plot(N, ERRmaxf2, '-sm'); // 中心差分
plot(N, ERRmaxf1r, '-sb'); // 前進差分に対するRomberg1段
plot(N, ERRmaxf2r, '-sg'); // 中心差分に対するRomberg1段
// *** 刻み幅を変えた際の値の変化 ***
scf(1);
a = gca();
a.data_bounds = [min(N),1E-14; max(N),1];
a.log_flags = "nl";
// 差の平均値
plot(N, DIFmeanf1, '-or'); // 前進差分
plot(N, DIFmeanf2, '-om'); // 中心差分
plot(N, DIFmeanf1r, '-ob'); // 前進差分に対するRomberg1段
plot(N, DIFmeanf2r, '-og'); // 中心差分に対するRomberg1段
// 差の最大値
plot(N, DIFmaxf1, '-sr'); // 前進差分
plot(N, DIFmaxf2, '-sm'); // 中心差分
plot(N, DIFmaxf1r, '-sb'); // 前進差分に対するRomberg1段
plot(N, DIFmaxf2r, '-sg'); // 中心差分に対するRomberg1段


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Scilabで数値微分 その3

Scilabで数値微分 その1で紹介した数値微分の近似式をScilabのfunctionにまとめました。

// *** 前進差分 ***
function df = diff_f1(x, dx, func)
df = (func(x + dx) - func(x)) ./ dx
endfunction

// *** 中心差分 ***
function df = diff_f2(x, dx, func)
df = (func(x + dx) - func(x - dx)) ./ (2 * dx)
endfunction

// *** 前進差分に対するRomberg1段 ***
function df = diff_f1r(x, dx, func)
df = 2 * (diff_f1(x, dx, func) - 0.5 * diff_f1(x, 2 * dx, func))
endfunction

// *** 中心差分に対するRomberg1段 ***
function df = diff_f2r(x, dx, func)
df = (4 / 3) * (diff_f2(x, dx, func) - 0.25 * diff_f2(x, 2 * dx, func))
endfunction



上記の内容をdifferential.sciのように別ファイルにまとめておけば、以下のように呼び出して使えます。

clear;

// *** 関数の定義を読み出し ***
exec('differential.sci',0);

// *** 計算範囲と刻み幅 ***
n = 10;
xmin = 0;
xmax = 2 * %pi;
dx = 1 / 2 ^ n;
x = linspace(0,xmax);

// *** 正弦波とその微分 ***
y = sin(x);
//dy = diff_f1(x, dx, sin); // 前進差分
//dy = diff_f2(x, dx, sin); // 中心差分
//dy = diff_f1r(x, dx, sin); // 前進差分に対するRomberg1段
dy = diff_f2r(x, dx, sin); // 中心差分に対するRomberg1段

// *** グラフのプロット ***
// グラフの描画
plot(x, y, '-b');
plot(x, dy,'--r');
// グラフの装飾
legend(["sin(x)","d(sin(x))/dx"],3);
zoom_rect([xmin,-1,xmax,1]);


数値微分なので、微分値が具体的な数値として求まります。
xには微分したいxの値を、dxには微小な値を入力しますが、具体的にどの程度の数値が必要なのかはScilabで数値微分 その2を参考に決めます(hの値がこのエントリにおけるdxに相当します)。

そもそも関数の解析的な積分はできない場合が多い反面、微分はできてしまうことが多いので、数値的に微分値を求める需要はあまり多くないのかもしれませんが。

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Scilabで非線形方程式ソルバ その3

Scilabで非線形方程式ソルバ その1その2では関数の解を非線形方程式ソルバで計算しました。
今回は、離散データに対しても似たような解を求めるために、関数の補完と組み合わせるという事を行いました。

001_201502150526487fb.png
Fig.1: 離散データに対する補完と非線形方程式ソルバ



離散データのfsolve


Scilabで非線形方程式ソルバ その1その2では関数 f(x) がゼロとなる x を探す方法を書きました。今回は f(x) が具体的な関数の形ではなく、離散データとして与えられている場合について書きます。

と言ってもやっていることは簡単で、離散データを内挿(補間)してから解を求めるだけです。

今回はScilabで非線形方程式ソルバ その1との比較のために対数関数を例にしますが、実際の離散データは実験データであったり、複雑な数値計算(例えば第一原理計算や回路シミュレーション)の結果得られる数値列を想定します。

離散データの補完にはScilabでデータの補間で紹介したinterp1を利用します。
interp1の補間方法のデフォルトは線形補完(linear)のようです。今回のエントリでは最近接(nearest)は使えません。

スクリプト


スクリプトはlogsolve2_sce.txtとなりました。

今回は、離散データ自体もスクリプト内部で用意しましたが、実験データや、ほかの数値データを読み込む場合にはExcelデータを Scilabで読みこむScilabで大容量のCSV(テキスト)ファイルを読み込む,Scilabで大容量のCSV(テキスト)ファイルを読み込む2などを参照してください。

clear;

// *** データの作成 ***
X = linspace(0.1,10,15);
Y = log(X);

// *** 解くべき関数の定義 ***
function y = func(x)
// y = log(x) - yp;
// y = interp1(X, Y, x, "spline") - yp; // スプライン補完
y = interp1(X, Y, x, "linear") - yp; // 線形補完
endfunction

// *** 非線形方程式ソルバ ***
yp = 1; // yp = f(x)
x0 = 1; // ソルバ―の初期値
// 非線形方程式を解く
xp = fsolve(x0, func)
// 誤差
err = abs(xp - exp(yp))

// *** グラフのプロット ***
plot(X, Y, '.-b');
plot(X, yp * ones(Y), '--k');
plot(xp, yp, 'or');


結果


所詮、離散的な数値データから間の値を予測するだけなので、Scilabで非線形方程式ソルバ その1と比較すると結果に誤差が出ます。

線形補完を行った時の近似解と、真の値からの誤差は以下のようになりました。
 xp  =    2.737908
err = 0.0196261


スプライン補完を行った場合は、以下の通りです。
 xp  =    2.7130249
err = 0.0052569


今回の例ではスプライン補完の方が良い結果が得られているようです。

関連エントリ




参考URL




付録


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tag: Scilab 非線形方程式ソルバ 補間 fsolve interp1 

Scilabで非線形方程式ソルバ その2

Scilabで非線形方程式ソルバ その1では、(解析的に解を得ることも可能な)非常に簡単な関数についてソルバ―を用いて解を求めました。

しかし前回の関数は、得られる解が一つだけでした。
では、解が二つ以上得られる場合、例えば二次関数の解を求める場合はどうなるのでしょうか?

002_20150212083236a8a.png

Fig.1: y = x2 と y = 1 の交点のx座標を計算した結果(上)。非線形方程式ソルバに与えた初期値x0とその結果として得られる解の関係(下)。


結論から言うと、非線形方程式ソルバでは解が一つしか得られず、その値はパラメータとして与える初期値に依存します。得られる解は、与えた初期値に近い値となりますが、必ずしも最も近い値になるというわけではないようなので、初期値の選び方は慎重に行う必要があります。


初期値の重要性


Scilabで非線形方程式ソルバ その1では、単純な対数関数の解を非線形方程式ソルバ―を用いて計算し、解析解と一致することを確認しました。

今回は x2 - 1 = 0 の解が、初期値 x0 の値によってどのように変化するかを確認します。

今回の記事で着目する二次関数と対数関数の違いは、得られる解が一つであるか二つであるかという事です。
Scilabの非線形方程式ソルバーは、数値的に解の近似値を計算するため、実際には複数の解が存在する場合であっても解が一つしか出てきません。
多くの場合、物理的に意味のある解は一つだけだったりするのですが、上手く重要な解を得るためには、初期値をどのように設定するかが重要になります。

x2 - 1 = 0 の解は当然ながら x=1 と x=-1 の二つなのですが、ソルバ―に与える初期値に応じてどちらの解が得られるかを確認するのが今回のエントリの趣旨です。

なお、多項式のすべての解をすべて一気に計算するための命令もScilabには用意されています。(参考: roots)

スクリプト


今回計算するSciabスクリプトはparabolicsolve_sce.txtです。

clear;

// *** データの作成 ***
X = linspace(-2,2);
Y = X .^ 2;

// *** 解くべき関数の定義 ***
function y = func(x)
y = x .^ 2 - yp;
endfunction

// *** 非線形方程式ソルバ ***
yp = 1; // yp = f(x)
x0 = 2; // ソルバ―の初期値
// 非線形方程式を解く
xp = fsolve(x0, func)

// *** 非線形方程式の初期値依存性 ***
X0 = X;
XP = fsolve(X0, func);

// *** グラフのプロット ***
subplot(2,1,1);
plot(X, Y, '-b');
plot(X, yp * ones(Y), '--k');
plot(xp, yp, 'or');
xlabel("x")
ylabel("y")

subplot(2,1,2);
plot(X0, XP, '-or')
xlabel("x0")
ylabel("xp")


結果


結果は、冒頭に紹介したFig.1です。
注目すべきは下のパネルの x0 = 0 近傍の挙動です。
必ずしも最も近い解が得られるわけではなく、初期値の微妙な変化で得られる解が振動していることがわかります。

なお、とにかくたくさん解がありそうな場合は、グラフを描いてみるのが良いです。Scilabでジバニャン方程式は f(x,y) = 0 となる x と y の組み合わせをすべてプロットしたものです。

関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


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