PWscfでSiのフォノンバンド

5月14日(木)にCCMS Webハンズオン: MateriApps LIVE!講習会を受講させていただきました。この講習会の自由演習で、シリコンのフォノン分散の計算方法を習ったので、今回はその復習をします。

001_20200622164420840.png

Fig.1: Siのフォノン分散



Hands on phonoのエクセサイズ


実習の内容はQuantum EspressoでSiのフォノンバンド図を作成するに書かれているとおりです。この内容自体も2014年のSummer Schoolの資料を基にしています。そのHands on Phononには4つのエクセサイズが収められています。
  1. SiのΓ点フォノン
  2. Siのフォノン分散
  3. AlAsのΓ点フォノン
  4. Alのフォノン分散

なおHands_on_phonons.tar.gzの中のPDFファイルに解説があるので自習が可能です。CCMS Webハンズオンで行ったのはエクセサイズ2のSiのフォノン分散計算です。

Hands-on-Phononの準備


Hands-on-Phonon全体の準備として、ファイルのダウンロードと展開を行います。計算に必要な擬ポテンシャルファイルもついでにダウンロードしておきます。
これらを行うコマンドは以下の通りです。

mkdir qe-ph-test
cd qe-ph-test
wget http://www.iiserpune.ac.in/~smr2626/hands_on/week2/july9/Hands_on_phonons.tar.gz
tar xzvf Hands_on_phonons.tar.gz
mkdir pseudo
wget -O ./pseudo/Si.pbe-rrkj.UPF http://www.quantum-espresso.org/wp-content/uploads/upf_files/Si.pbe-rrkj.UPF
wget -O ./pseudo/Al.pz-vbc.UPF https://www.quantum-espresso.org/upf_files/Al.pz-vbc.UPF
wget -O ./pseudo/As.pz-bhs.UPF https://www.quantum-espresso.org/upf_files/As.pz-bhs.UPF
wget -O ./pseudo/Al.pbe-rrkj.UPF https://www.quantum-espresso.org/upf_files/Al.pbe-rrkj.UPF
cd Hands_on_phonons


Siのフォノンバンド計算の概要


今回のエントリの本編であるSiのフォノンバンド計算のコマンドをいかに示します。

cd exercise-2/
mpirun -np 4 -x OMP_NUM_THREADS=1 pw.x < si_scf.in | tee si_scf.out
sed -i "1itestsi" si_ph.in
mpirun -np 4 -x OMP_NUM_THREADS=1 ph.x < si_ph.in | tee si_ph.out
mpirun -np 4 -x OMP_NUM_THREADS=1 q2r.x < q2r.in | tee q2r.out
mpirun -np 4 -x OMP_NUM_THREADS=1 matdyn.x < matdyn_Si_disp.in |tee matdyn_Si_disp.out
plotband.x
si.freq
0 500
siph.plot
siph.ps
0
100 0

plotband.xは計算したフォノンバンドの数値データから対話的にグラフを作成するプログラムです。plotband.x以降の行は、このプログラムに対話的に与えるパラメータを示しています。

上記の手順で実際に行っているのは
  1. セルフコンシステント計算(電子状態計算)
  2. フォノン計算
  3. q→r計算(動的マトリクスのフーリエ変換)
  4. フォノン分散計算
  5. グラフの作成

です。通常の電子のバンド構造計算や電子の状態密度計算では、セルフコンシステント計算を行ったのちポストスクリプト処理としてバンド構造や状態密度の計算を行います。フォノンの計算では1-3の計算を行ったのちに、フォノンのバンド構造計算やフォノンの状態密度計算などのポストスクリプト処理を行うイメージです。

1. セルフコンシステント計算(電子状態計算)


セルフコンシスト計算は、通常のものです。フォノンの計算であっても電子状態計算は必要です。
以下がセルフコンシステント計算用の入力ファイル si_scf.in です。
&control
calculation = 'scf'
restart_mode='from_scratch',
prefix='si',
tstress = .true.
tprnfor = .true.
pseudo_dir = '../../pseudo',
outdir='tmp'
/
&system
ibrav= 2, nat= 2, ntyp= 1,celldm(1)=10.3463,
ecutwfc =20.0, ecutrho=80.0,nbnd=8
occupations='fixed',
/
&electrons
mixing_mode = 'plain'
mixing_beta = 0.5
conv_thr = 1.0d-10
/
&ions
/
&cell
/

ATOMIC_SPECIES
Si 28.086 Si.pbe-rrkj.UPF

ATOMIC_POSITIONS {crystal}
Si 0.00000 0.00000 0.00000
Si 0.25000 0.25000 0.25000


K_POINTS {automatic}
6 6 6 1 1 1


実行ファイル pw.x で計算を行います。
mpirun -np 4 -x OMP_NUM_THREADS=1 pw.x < si_scf.in | tee si_scf.out


2. フォノン計算


以下がフォノン計算用の入力ファイル si_ph.in です。
nq1=4,nq2=4,nq3=4 がq点の分割数です。fildyn='si.dynmat',は計算結果の保存先ファイル名で、実際にはこの文字列の後に連番のついたファイルが生成されるようです(si.dynmat0, sidynmat1...など)。これらのファイルを次のq→r計算で利用するようです。tr2_ph=1.0d-14,が収束条件で 1.0d-14 より小さくする方がよいとの事。

testsi
&inputph
outdir='./tmp/',
prefix='si',
ldisp=.true.
nq1=4,nq2=4,nq3=4
fildyn='si.dynmat',
tr2_ph=1.0d-14,
amass(1)=28.086
/


上記の入力ファイルには既に書き込まれていますが Hands_on_phonons.tar.gz の入力ファイルでは、最初の行にタイトルが書かれていません。テキストエディタで行頭に適当な文字列(今回の場合は"testsi")を書き込む必要があります。今回はテキストエディタではなく sed コマンドを用いてファイルの先頭行に文字列を挿入してみました(参考:sedコマンドでファイルの先頭行に文字列を挿入する)。フォノン計算の実行ファイルは、電子のセルフコンシステント計算のときとは異なり ph.x を用います。
sed -i "1itestsi" si_ph.in
mpirun -np 4 -x OMP_NUM_THREADS=1 ph.x < si_ph.in | tee si_ph.out


3. q→r計算(動的マトリクスのフーリエ変換)


q空間(波数空間)からr空間(実空間)への変換...との事です。

以下が入力ファイル。短いですが理解しておくべきことは多いです。
まず fildyn='si.dynmat', が入力ファイルです。フォノン計算で指定した出力ファイルと同じ文字列を書きます。次に flfrc='si444.fc' が出力ファイルで、次のフォノン分散計算やフォノン状態密度計算の入力ファイルとして使われます。zasr='simple' が Acoustic sum rule (ASR) の設定です。今回は simple を採用していますが、この設定だとΓ点の音響フォノンが(厳密には)ゼロになりません。普通の三次元結晶の場合は zasr='crystal' とする方がよいとされています(参考: Quantum ESPRESSO入力ファイル作成手順14.Phonon計算(バンド構造))。
&input
fildyn='si.dynmat',
zasr='simple'
flfrc='si444.fc'
/


実行ファイルは q2r.x です。
mpirun -np 4 -x OMP_NUM_THREADS=1 q2r.x < q2r.in | tee q2r.out


4. フォノン分散計算


ポストスクリプト処理として、ついにフォノンの分散関係(バンド構造)の計算を行います。

まず前述の ASR の設定が asr='simple', です。q→rの計算で crystal を指定した場合は、こちらもそろえた方がよいでしょう。flfrc='si444.fc' が、q→rの計算結果の入力ファイル。flfrq='si.freq'が出力ファイル名の指定です。ファイル後半の数字の羅列は、計算する q点の経路です。5 と書いてあるのが、通る特徴的な q点の数(つまりこの後に何行あるか)で、それに続く各行が q点の座標とその分割数です。下記の例の場合 Γ→X→W→L→Γ という経路をそれぞれ10分割するという意味です。
 &input
asr='simple',
amass(1)=28.0855,
flfrc='si444.fc', flfrq='si.freq'
q_in_band_form=.true.
/
5
0.0000000 0.0000000 0.0000000 10
0.0000000 0.0000000 1.0000000 10
0.5000000 0.0000000 1.0000000 10
0.5000000 0.5000000 0.5000000 10
0.0000000 0.0000000 0.0000000 1


実行ファイルは matdyn.x です。
mpirun -np 4 -x OMP_NUM_THREADS=1 matdyn.x <  matdyn_Si_disp.in |tee matdyn_Si_disp.out

実行すると si.freqsi.freq.gp という二つのファイルが出力されます。後者の gp ファイルの方が gnuplot などでプロットするのに向いている数値ファイルです。

5. グラフの描画


ここまででフォノンの分散関係の計算結果が数値データとして得られています。この si.freq.gp の冒頭部分を以下に示します。(話がそれますがΓ点の音響フォノンが厳密にゼロになっていますね...たぶん私がASRにcrystalを指定して計算したのだと思います...このブログ通りに計算するとちょっと違った値になるかもしれません。)
  0.000000      -0.0000   -0.0000    0.0000  499.9411  499.9411  499.9411
0.100000 30.1467 30.1467 50.2804 497.9306 497.9306 499.4990
0.200000 59.2966 59.2966 99.5601 491.9361 491.9361 497.8325
0.300000 86.2601 86.2601 147.0152 482.3522 482.3522 494.2054
0.400000 109.5528 109.5528 192.0843 470.4851 470.4851 488.0585
0.500000 127.5939 127.5939 234.4387 458.6896 458.6896 479.3392
0.600000 139.4024 139.4024 273.8876 449.5627 449.5627 468.3264
0.700000 145.4470 145.4470 310.2766 444.5044 444.5044 455.1737
0.800000 147.6191 147.6191 343.4150 439.6134 442.9610 442.9610
0.900000 148.0519 148.0519 373.0548 421.0602 443.1545 443.1545
1.000000 148.0663 148.0663 398.9590 398.9590 443.4316 443.4316
1.050000 149.2370 149.2370 397.5904 397.5904 443.8141 443.8141
1.100000 152.6482 152.6482 393.6993 393.6993 444.7982 444.7982
1.150000 158.0147 158.0147 387.7863 387.7863 446.0406 446.0406
1.200000 164.9082 164.9082 380.4216 380.4216 447.2434 447.2434
1.250000 172.7949 172.7949 372.1743 372.1743 448.2391 448.2391

1列目はq点の経路の道のりで 2-6列目がフォノンの振動数(cm-1)です。基本的にはこれをそのままプロットすればよいのですが、きれいな図にするためには q点の道のりと特徴的なq点の記号の対応関係を知る必要があります。別に何も難しくないのですが、わざわざそれ用の plotband.x という対話式の実行ファイルが用意されているのでそれを利用します。以下のように順次入力していきます。
plotband.x
si.freq
0 500
siph.plot
siph.ps
0
100 0

ここで重要なのが0 500を入力した後に出力される以下の部分です。
high-symmetry point: 0.0000 0.0000 0.0000 x coordinate 0.0000
high-symmetry point: 0.0000 0.0000 1.0000 x coordinate 1.0000
high-symmetry point: 0.5000 0.0000 1.0000 x coordinate 1.5000
high-symmetry point: 0.5000 0.5000 0.5000 x coordinate 2.2071
high-symmetry point: 0.0000 0.0000 0.0000 x coordinate 3.0731

この x coordinate の後に出力されるのが、その前に出力される特徴的な q点に対応する経路の道のりです。

これを踏まえて、フォノンバンド分散をプロットする gnuplot スクリプトを以下のように作成しました。
set terminal pngcairo size 520,390
set output "siph.png"

set xrange [0:3.073132]
set yrange [0:500]

set grid x

set ylabel "Frequency (cm^{-1})"
set xtics ("{/Symbol G}" 0.0000, "{X}" 1.0000, "{W}" 1.5000, "{L}" 2.2071, "{/Symbol G}" 3.0731)

# plot "si.freq.gp" u 1:2 w l lc 1 not,\
# "si.freq.gp" u 1:3 w l lc 1 not,\
# "si.freq.gp" u 1:4 w l lc 1 not,\
# "si.freq.gp" u 1:5 w l lc 1 not,\
# "si.freq.gp" u 1:6 w l lc 1 not,\
# "si.freq.gp" u 1:6 w l lc 1 not,\
# "si.freq.gp" u 1:7 w l lc 1 not
plot "siph.plot" u 1:2 w l lc 1 not


6. フォノン状態密度計算


ついでにフォノンの状態密度(DOS)の計算方法について書きます。Hands_on_phonons.tar.gzの中に入力ファイルが収められているにもかかわらず付属のPDFなどでも触れられていませんが、簡単です。以下が入力ファイルです。nk1=4, nk2=4, nk3=4,がq点の分割数なのですが 4*4*4 だと心もとない雰囲気を感じたので、私は 16*16*16 で計算しました。
 &input
asr='simple',
amass(1)=28.0855,
flfrc='si444.fc', flfrq='si.freq.dos'
dos=.true.,
fldos='si.dos'
deltaE=1.d0,
nk1=4, nk2=4, nk3=4,
/

実行ファイルはフォノンの分散関係で用いたのと同じ matdyn.x です。
mpirun -np 4 -x OMP_NUM_THREADS=1 matdyn.x <  matdyn_Si_dos.in | tee matdyn_Si_dos.out

プログラムを実行すると si.dos というファイルが出力されます。これが状態密度の数値データを格納したファイルです。
これをプロットするために以下のような gnuplot のスクリプトを書きました。
set terminal pngcairo size 520,390
set output "si.phdos.png"

set xrange [0:500]
set xlabel "Frequency (cm^{-1})"

set yrange [0:0.1]
set ylabel "DOS"

plot "si.dos" u 1:2 w l lc 1 not

するとFig.2のような画像が得られます。

002_20200622164421f48.png
Fig.2: フォノンの状態密度(DOS)


参考URL




参考文献/使用機器




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tag: PWscf フォノン 

Scilabで同じものを含む数珠順列の全パターン

Scilabで同じものを含む円順列の全パターンでは円順列の全パターンを出力しました。今回は数珠順列に関して同じことを行います。スクリプトの変更点はほんの少しです。

【例題】
白玉3個、黒玉2個、赤玉2個の合計7個で数珠を作るとき、その方法は何通りあるか。

【解答】
18通り

Scilabスクリプト


clear;

// *** 問題設定 ***
// 白玉3つ、黒玉2つ、赤玉2つ
X = [3, 3, 3, 2, 2, 1, 1];

// 全順列の計算
Y = perms(X)';
// 重複を削除
Y = unique(Y,"c");

// *** 回転で一致するものを削除 ***
[nr, nc]=size(Y);
Z = []; // 最終的なパターンの格納先
while nc > 1
Y1 = Y(:,1); // 最初のパターンについて調べる
Z = [Z, Y1]; // 最初のパターンは絶対に被っていない
Y = Y(:,2:$); // 残りのパターン
// *** 最初のパターンを回転する ***
Yrot = []; // 回転したパターンの格納先
for i=1:nr
Y1 = [Y1(2:$); Y1(1)];
Yrot = [Yrot, Y1];
end
Yrot = [Yrot, flipdim(Yrot,1)];
Yrot = unique(Yrot,"c"); // 回転したパターンから重複を削除
Y = setdiff(Y, Yrot, "c"); // 残りから回転と一致するものを削除
[nr, nc] = size(Y); // 残り何パターンか
end
Z = [Z, Y];

// 何通りあるか確認
[nr, nc]=size(Z);
Z
nc

// *** 全パターンをファイルに書き出し ***
fprintfMat("juzujunretsu001.txt",Z', "%1.0f");


前回とほぼ同一ですが、回転後のすべてのパターンを含む行列Yrotを更に反転させてからsetdiffします。反転にはflipdim関数を利用します。

結果


重複円順列・重複数珠順列についての公式から求められたパターンは18通りで、今回のScilabスクリプトで出力されたパターンの数と一致します。

関連エントリ




参考URL




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tag: Scilab 順列・組み合わせ 確率論 

Scilabで同じものを含む円順列の全パターン

Scilabで同じものを含む順列の全パターンでは、Scilabを用いて順列の結果として得られるすべてのパターンの書き出しを行いました。今回は、普通の順列から円順列へと拡張を行います。

【例題】
青玉4つ、赤玉2つ、白玉2つがある。すべての玉を円形に並べる方法は何通りあるか。

【解答】
山田一男重複円順列・重複数珠順列についての公式を用いて
\begin{equation}
\frac{1}{8}\left(\frac{4!}{1!1!2!}+\frac{8!}{2!2!4!} \right) = 54 通り
\end{equation}

Scilabスクリプト


clear;

// *** 問題設定 ***
// 青玉4つ、赤玉2つ、白玉2つ
X = [3, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 1];

// 全順列の計算
Y = perms(X)';
// 重複を削除
Y = unique(Y,"c");

// *** 回転で一致するものを削除 ***
[nr, nc]=size(Y);
Z = []; // 最終的なパターンの格納先
while nc > 1
Y1 = Y(:,1); // 最初のパターンについて調べる
Z = [Z, Y1]; // 最初のパターンは絶対に被っていない
Y = Y(:,2:$); // 残りのパターン
// *** 最初のパターンを回転する ***
Yrot = []; // 回転したパターンの格納先
for i=1:nr
Y1 = [Y1(2:$); Y1(1)];
Yrot = [Yrot, Y1];
end
Yrot = unique(Yrot,"c"); // 回転したパターンから重複を削除
Y = setdiff(Y, Yrot, "c"); // 残りから回転と一致するものを削除
[nr, nc] = size(Y); // 残り何パターンか
end
Z = [Z, Y];

// 何通りあるか確認
[nr, nc]=size(Z);
Z
nc

// *** 全パターンをファイルに書き出し ***
fprintfMat("enjunretsu001.txt",Z', "%1.0f");


前回と同様にまず全順列を作って重複する分をuniqueで削除します。円順列は開店したものも同じパターンと考えるので、これも削除する必要があります。そこで最初のパターンを回転させたパターンをすべて含む行列を作ります。
作った回転後のパターンは、最終的に削除する必要があります。uniqueだとこれらが残ってしまうので、代わりにsetdiff関数を使います。この関数はScilab 6.0.2からこの用途に使えるようになりました。

関連エントリ




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tag: Scilab 順列・組み合わせ 確率論 

Scilabで同じものを含む順列の全パターン

Scilabで重複円順列などでは、順列で何通り作れるのかをScilabで計算しました。これだけでは何パターンありえるのかは分かりますが、具体的にどのようなパターンがあり得るのかまでは分かりません。そこで今回はScilabを用いて、同じものを含む順列の全パターンの出力を行います。

【例題】
青玉3つ、赤玉2つ、白玉1つがある。すべての玉を1列に並べる方法は何通りあるか。

【解答】
\begin{equation}
\frac{6!}{3!2!1!}=60 通り
\end{equation}

Scilabスクリプト


clear;

// *** 問題設定 ***
// 青玉3つ、赤玉2つ、白玉1つ
X = [1, 1, 1, 2, 2, 3];

// 全順列の計算
Y = perms(X)';
// 重複を削除
Z = unique(Y,"c")

// 何通りあるか確認
[nr, nc]=size(Z);
nc

// *** 全パターンをファイルに書き出し ***
fprintfMat("junretsu001.txt",Z', "%1.0f");


perms関数は与えられたベクトルの要素をすべて使った全順列を返します。このままでは同じパターンが複数回出てきます。
そこでunique関数を使います。これは与えられた引数の中でユニークなものを返します。

結果


結果として得られる全パターンを格納している変数Z(を転置したもの)が以下です。1="青玉", 2="赤玉", 3="白玉"と読み替えるとすべての並べ方のパターンになります。例えば1行目の111223は青青青赤赤白という並びを意味しています。全部で60通りになっていることが確認できます。

1 1 1 2 2 3 
1 1 1 2 3 2
1 1 1 3 2 2
1 1 2 1 2 3
1 1 2 1 3 2
1 1 2 2 1 3
1 1 2 2 3 1
1 1 2 3 1 2
1 1 2 3 2 1
1 1 3 1 2 2
1 1 3 2 1 2
1 1 3 2 2 1
1 2 1 1 2 3
1 2 1 1 3 2
1 2 1 2 1 3
1 2 1 2 3 1
1 2 1 3 1 2
1 2 1 3 2 1
1 2 2 1 1 3
1 2 2 1 3 1
1 2 2 3 1 1
1 2 3 1 1 2
1 2 3 1 2 1
1 2 3 2 1 1
1 3 1 1 2 2
1 3 1 2 1 2
1 3 1 2 2 1
1 3 2 1 1 2
1 3 2 1 2 1
1 3 2 2 1 1
2 1 1 1 2 3
2 1 1 1 3 2
2 1 1 2 1 3
2 1 1 2 3 1
2 1 1 3 1 2
2 1 1 3 2 1
2 1 2 1 1 3
2 1 2 1 3 1
2 1 2 3 1 1
2 1 3 1 1 2
2 1 3 1 2 1
2 1 3 2 1 1
2 2 1 1 1 3
2 2 1 1 3 1
2 2 1 3 1 1
2 2 3 1 1 1
2 3 1 1 1 2
2 3 1 1 2 1
2 3 1 2 1 1
2 3 2 1 1 1
3 1 1 1 2 2
3 1 1 2 1 2
3 1 1 2 2 1
3 1 2 1 1 2
3 1 2 1 2 1
3 1 2 2 1 1
3 2 1 1 1 2
3 2 1 1 2 1
3 2 1 2 1 1
3 2 2 1 1 1


関連エントリ




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tag: Scilab 順列・組み合わせ 確率論 

Scilabで重複数珠順列

前々回前回に続いて、重複円順列・重複数珠順列についての公式をScilabで計算してみます。

今回は重複数珠順列の計算を行います。
n種類の中から重複を許してr個で数珠を作るとき、その総数は
\begin{eqnarray*}
&&rが奇数のとき, \frac{1}{2r}\left( \sum_{k=1}^{r} n^{(r,k)} + r \cdot n^{\frac{r+1}{2}} \right) \\
&&rが偶数のとき, \frac{1}{2r}\left( \sum_{k=1}^{r} n^{(r,k)} + \frac{r}{2}n^{\frac{r}{2}+1} + \frac{r}{2}n^{\frac{r}{2}} \right)
\end{eqnarray*}
である。記号 (a, b) は整数 a, b の最大公約数を表すものとする。



この公式に関しては例題が設定されていません。なので答え合わせはしていないのですがScilabスクリプトを載せます。

clear;

// *** 入力パラメータ ***
n = 3;
r = 10;

// *** 最大公約数の和 ***
N = 0;
for k=1:r
N = N + n ^ gcd([r, k]);
end

// *** 答え ***
if modulo(r, 2) == 0 then
// r が偶数の時
(N + (r / 2) * (n ^ ((r/2) + 1)) + (r / 2) * (n ^ (r / 2))) / (2 * r)
else
// r が奇数の時
(N + r * (n ^ ((r + 1) / 2))) / (2 * r)
end


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