AkaiKKRとecaljでCuGaTe2 その2

AkaiKKRとecaljでCuGaTe2 その1ではAkaiKKR(machikaneyama)を用いてCuGaTe2の状態密度を計算しました。今回は、さらにecaljを用いて、LDAとGW近似の計算を行いました。その結果、AkaiKKRがCuGaTe2のバンドギャップを過小評価するのは、LDA/GGAに共通する問題であろう事、また、ecaljを用いてGW近似を適用すると、バンドギャップが改善されることが分かりました。

AkaiKKRLDAGW
Bandgap~0.4 eV0.1586 eV1.0962 eV
table.1: AkaiKKR(GGA), ecalj(LDA), ecalj(GW近似)のそれぞれのバンドギャップ



CuGaTe2のバンドギャップ問題


AkaiKKRとecaljでCuGaTe2 その1では、AkaiKKR(machikaneyama)を用いてCuGaTe2の状態密度を計算しました。その結果、得られたバンドギャップの大きさは過小評価となりました。これがLDA/GGAに起因する問題ならば、ecaljのLDA計算でも過小評価となり、かつ、GW近似を適用することで改善が見られるはずです。そこで今回は、LDAとGW近似の両方でCuGaTe2の計算を行います。

ecaljの結晶構造ファイル


ecaljの実行手順(LDA計算)ecaljの実行手順(GW近似)で書いたとおりecaljのために最低限必要なのは結晶構造ファイル ctrls.cugate2 だけです。ecaljの結晶構造ファイルは、基本並進ベクトルで格子を指定し、直交座標系で原子位置を指定する必要があります。

AkaiKKRではブラベ格子の種類は「ブラベ格子のキーワード」を指定する方法と「基本並進ベクトル」を指定する方法の2種類があります(参考: AkaiKKRのブラベ格子AkaiKKRの基本並進ベクトル その1AkaiKKRの基本並進ベクトル その2)。また、原子位置も「直交座標系」で与える方法と「分率座標系(fractional coordinate)」で与える方法の2種類あります。

もしもAkaiKKRの入力ファイルが、ブラベ格子のキーワードを利用している、あるいは、原子位置が分率座標系で与えられている場合、ecaljの入力フォーマットに合うように直す必要があります。AkaiKKRの入力ファイルからecaljの入力ファイルを作る方法としては、いったんcifファイルなどを経由してVESTAを利用する方法が正攻法でしょう(参考: VESTAでAkaiKKRのための基本並進ベクトル)。

しかし、もしもすでにAkaiKKR用の入力ファイルがあるのなら、ワンステップだけとはいえ、余計な手間がかかっている感があります。幸いにして、AkaiKKRの出力には、基本並進ベクトルと直交座標系での原子位置が出力されるので、今回はこれらを利用してecaljのための入力ファイルを作ります。

具体的には、AkaiKKRとecaljでCuGaTe2 その1の出力結果から、以下の基本並進ベクトルと原子位置の部分を抜き出します。

   primitive translation vectors
a=( -0.50000 0.50000 0.99600)
b=( 0.50000 -0.50000 0.99600)
c=( 0.50000 0.50000 -0.99600)


   atoms in the unit cell
position= 0.23703000 0.25000000 0.24900000 type=Te
position= 0.76297000 0.75000000 0.24900000 type=Te
position= 0.75000000 0.23703000 0.74700000 type=Te
position= 0.25000000 0.76297000 0.74700000 type=Te
position= 0.50000000 0.50000000 0.00000000 type=Ga
position= 0.50000000 0.00000000 0.49800000 type=Ga
position= 0.00000000 0.00000000 0.00000000 type=Cu
position= 0.00000000 0.50000000 0.49800000 type=Cu
position= 0.75000000 0.25000000 0.24900000 type=Es1
position= 0.25000000 0.75000000 0.24900000 type=Es1
position= 0.75000000 0.75000000 0.74700000 type=Es1
position= 0.25000000 0.25000000 0.74700000 type=Es1
position= 0.00000000 0.00000000 0.49800000 type=Es2
position= 0.50000000 0.50000000 0.49800000 type=Es2
position= 0.00000000 0.50000000 0.00000000 type=Es2
position= 0.50000000 0.00000000 0.00000000 type=Es2


結局CuGaTe2の結晶構造ファイルは、以下のようになります。

STRUC   ALAT=11.5388
PLAT=-1/2 1/2 0.99600
1/2 -1/2 0.99600
1/2 1/2 -0.99600
SITE ATOM=Te POS=0.23703000 0.25000000 0.24900000
ATOM=Te POS=0.76297000 0.75000000 0.24900000
ATOM=Te POS=0.75000000 0.23703000 0.74700000
ATOM=Te POS=0.25000000 0.76297000 0.74700000
ATOM=Ga POS=0.50000000 0.50000000 0.00000000
ATOM=Ga POS=0.50000000 0.00000000 0.49800000
ATOM=Cu POS=0.00000000 0.00000000 0.00000000
ATOM=Cu POS=0.00000000 0.50000000 0.49800000


結果


LDAを用いた結果、ワンショットGW近似を用いた結果、および、前回計算したAkaiKKRのGGAの結果を示します。

CuGaTe2-GW.png
Fig.1: QSGWによるCuGaTe2の状態密度

CuGaTe2-LDA.png
Fig.2: LDAによるCuGaTe2の状態密度

CuGaTe2DOS.png
Fig.3: GGA(AkaiKKR)によるCuGaTe2の状態密度


まず、大まかに見れば状態密度の形状はどれもほとんど同じであることが分かります。ただし、バンドギャップができるはずの部分では、LDAやAkaiKKR(GGA)の結果は、GW近似の結果と比較してギャップエネルギーを過小評価していることが分かります。

ecaljのログファイルには、バンドギャップの値が出力されます。前回のAkaiKKRの値とあわせて比較するとTable.1のようになりました。

ただし、LDA/GGAはバンドギャップを過小評価するという以上のことを言おうと思うと、微妙な議論になるかもしれません。
結晶構造と格子定数を合わせてあるとはいえ、細かい設定は異なります。AkaiKKRではpbe(GGA)を、ecaljのLDAはvwnを使っている点。AkaiKKRはフルポテンシャルでない点、などです。実際、空孔を入れたり原子球近似(ASA)を使ったりすることでギャップの値が改善されるということは、バンドギャップの値がポテンシャルの形状に影響を受けるはずだということです(参考: AkaiKKRでダイヤモンド型構造半導体)。

LDA/GGAのバンドギャップ過小評価は、第一原理計算パッケージ全般についてまわる問題だけあって、私には結論が出せませんが、仮にバンドギャップが正しい値を示さなくても、バンド構造や全エネルギーに関して議論を行うことは、何らかの意味があるかもしれません。

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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR ecalj LDA GGA GW近似 QSGW 半導体 バンドギャップ 

AkaiKKRとecaljでCuGaTe2 その1

第一原理計算パッケージには、それぞれ特徴があり、計算したい物質によって適切に使い分ける必要に迫られることがあります。AkaiKKR(machikaneyama)は不規則系に適しており、ecaljは半導体のバンドギャップを求めるのに適しています。

例えば、不規則を含む半導体の計算をAkaiKKRで行いたいと考えたとき、不規則を含まない端成分の計算をecaljの結果と比較しておくことは有用です。今回はCuGaTe2を対象として、AkaiKKRで状態密度の計算をおこないました。

CuGaTe2DOS.png
Fig.1: CuGaTe2の状態密度



AkaiKKRとecaljの長所


AkaiKKR(machikaneyama)は、コヒーレントポテンシャル近似(CPA)を導入することによって、合金などの不規則性を扱うことが可能であるという特徴があります。
またecaljはGW近似を用いて、半導体のバンドギャップの見積もりを局所密度近似(LDA)から改善できる長所があります。

他にもさまざまな第一原理計算パッケージが、それぞれ特有の長所を持っています。このため、しばしば複数のコードでの計算結果を比較するということが起こります。

今回と次回では、AkaiKKRの掲示板に投稿された CuGaTe2 のバンドギャップをこれら二つのコードで計算し、バンドギャップと状態密度の比較を行います。今回はAkaiKKRでの計算です。

計算手法


入力ファイルはCannot reproduce the bandgap of CuGaTe2に投稿されているものとほとんど同じですが、少しだけ変更してあります。一つ目の変更点は、スピン軌道相互作用を(計算が重いので)はずした事。二つ目はewidthを小さくしたことです。

c--------------------CuGaTe2---------------------------------
go data/cugate2
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
bct 11.5388 1.992 1 90 90 90
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 0.7 sra pbe nmag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 500 0.015
c------------------------------------------------------------
c ntyp
5
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Cu 1 0 0.0 2 29 100
Ga 1 0 0.0 2 31 100
Te 1 0 0.0 2 52 100
Es1 1 0 0.0 0 0 100
Es2 1 0 0.0 0 0 100
c------------------------------------------------------------
c natm
16
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0.23703x 1/4y 1/8z Te
0.76297x 3/4y 1/8z Te
3/4x 0.23703y 3/8z Te
1/4x 0.76297y 3/8z Te
1/2x 1/2y 0.0z Ga
1/2x 0.0y 1/4z Ga
0.0x 0.0y 0.0z Cu
0.0x 1/2y 1/4z Cu
c
0.75x 1/4y 1/8z Es1
0.25x 3/4y 1/8z Es1
3/4x 0.75y 3/8z Es1
1/4x 0.25y 3/8z Es1
c
0.0x 0.0y 0.25z Es2
1/2x 1/2y 0.25z Es2
0.0x 1/2y 0.0z Es2
1/2x 0.0y 0.0z Es2
c------------------------------------------------------------


結果


Fig.1に状態密度を示します。
AkaiKKRでの状態密度やバンド構造(ブロッホスペクトル関数)のエネルギー分解能は source/specx.f の msex で指定することが可能で、デフォルトでは msex=201 となっています。したがって、状態密度を計算するために ewidth = 0.8 Ry とした場合の分解能は 4 mRy 程度になります。その結果、状態密度の図だけを見ると、バンドギャップが存在するか否かが微妙です。

AkaiKKRでバンドギャップの測り方では、バンドギャップを決める場合、状態密度から値を読むよりも、バンド構造から見るほうが良さそうであると書きました。CuGaTe2は、伝導帯の上端(CBM)と価電子帯の下端(VBM)が共にΓ点に存在する直接遷移型の半導体であるとの事なので、その付近のバンド構造をプロットしたのがFig.2です。

CuGaTe2band.png
Fig.2: Γ点周辺のCuGaTe2のバンド構造


GaAsの場合と異なり、CBMにフェルミ準位(というか計算上のエネルギー基準点)が張り付いてしまっていますが、電子の数を足し上げるときの数値計算上の誤差と思うので、いまは気にしないことにします。

ローレンツ関数へのフィッティングは、あまりきれいにいかなかったので、目視で読むと、バンドギャップの大きさはおよそ 30 mRy 程度でしょうか。換算すると 0.4 eV 程度となるので、Cannot reproduce the bandgap of CuGaTe2に書かれている通り 1 eV 程度存在するはずのバンドギャップから見ると過小評価です。

AkaiKKRに限らず密度汎関数理論(DFT)に局所密度近似(LDA)や一般化勾配近似(GGA)を組み合わせた第一原理計算パッケージは、バンドギャップを過小評価してしまう問題が広く知られています。
ecaljで利用できるGW近似は、この問題に対する回答のひとつです。AkaiKKRとecaljでCuGaTe2 その2では、ecaljを用いてCuGaTe2の状態密度とバンドギャップを計算します。

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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR CPA ecalj 半導体 バンドギャップ バンド構造 分散関係 GW近似 

ecaljでGaAsとスピン軌道相互作用

AkaiKKRで鉛の相対論計算で書いた通りスピン軌道相互作用の有無で結晶のバンド構造は変化します。ecaljのマニュアルにはGaAsを例として、スピン軌道相互作用を含まない計算を行った後から摂動としてスピン軌道相互作用の効果を取り込む方法が書かれているので、今回はこれを実行しました。

001_20150927033607760.png

Fig.1: GaAsのバンド構造(GW近似, スピン軌道相互作用あり)

002_20150927033607397.png

Fig.2: GaAsのバンド構造(GW近似, スピン軌道相互作用なし)


計算の手順


まず通常の手順でLDA計算やGW近似計算を行います。(参考: ecaljの実行手順(LDA計算), ecaljの実行手順(GW近似))

次に新しくディレクトリを作成し、そこへ以下の2つ(GW近似計算場合は4つ)のファイルをコピーします。
  • ctrl.gaas
  • rst.gaas
  • (sigm.gaas)
  • (QGpsi)

更に、コピーした ctrl.gaas のパラメータを下記のように変更します。
  • nspin=2
  • so=1
  • Q=band

該当箇所は以下のようになります。
% const pwemax=3 nk1=4 nk2=4 nk3=4 nit=30  gmax=12  nspin=2 metal=3 so=1 xcfun=1 ssig=1.0

Q=band # (this is quit switch if you like to add)

Q=bandはデフォルトでコメントアウトされているので、コメントアウトを外します。

この状態で再び lmf を実行します。
lmf gaas

その後、通常通り job_band を実行すれば、スピン軌道相互作用を含むバンド図を描くことができます。

スピン軌道相互作用とバンド構造


AkaiKKRで鉛の相対論計算で書いた通り、相対論の効果によりバンドの縮退が解けます。

003_20150927033607045.png

Fig.3: GaAsのバンド構造(LDA, スピン軌道相互作用あり)

004_20150927033606869.png

Fig.4: GaAsのバンド構造(LDA, スピン軌道相互作用なし)


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tag: ecalj スピン軌道相互作用 相対論 半導体 GW近似 

ecaljでAg2Oの状態密度

ecaljではGW近似を用いてバンドギャップを精度良く計算できます。今回はAg2Oの状態密度を計算しました。その結果1eV程度のバンドギャップが見られました。この値は1.3eVの実験値と比較してもよい値と思います。


001_20150919224215283.png
Fig.1: Ag2Oの状態密度。LDA計算(赤)とOne-shot GW近似(緑)



Ag2Oのバンドギャップ


ecaljはLDAでは難しい半導体のバンドギャップをGW近似を用いて精度良く計算できます。密度汎関数理論入門: 理論とその応用ではAg2Oが半導体であるにも、金属のようなバンド構造が計算されてしまうLDAの問題点の例として紹介されています。
そこで今回はAg2の状態密度をecaljを用いてLDA計算とone shot GW計算の両方で描画し、GW近似によってバンドギャップに改善がみられることを確認します。

Ag2Oの結晶構造


Ag2Oの結晶構造を表すcifファイルはGitHubのAg2O.cifのページのものを使いました。これをVESTAで描画したのがFig.2です。
格子は単純立方格子で、体心立方構造の位置に酸素の原子が(1/4 1/4 1/4), (3/4 3/4 1/4), (3/4 1/4 3/4), (1/4 3/4 3/4)に銀の原子が存在しています。


002_20150919224215331.png
Fig.2: Ag2の結晶構造(標準化前)



003_201509192242139aa.png
Fig.3: Ag2の結晶構造(標準化後)


VESTAでUtilities → Standardization of Crystal Dataを実行するとFig.3の構造が表示されます。これらは等価な構造なのでどちらを使ってもよいのですが、私にとっては後者の方が(なんとなくちょっかんてきに)分かりやすかったので、後者で結晶構造ファイルを作成しました。

STRUC    ALAT=8.995
PLAT=1.0 0.0 0.0
0.0 1.0 0.0
0.0 0.0 1.0
SITE ATOM=O POS=1/4 1/4 1/4
ATOM=O POS=3/4 3/4 3/4
ATOM=Ag POS=0.0 0.0 0.0
ATOM=Ag POS=1/2 1/2 0.0
ATOM=Ag POS=1/2 0.0 1/2
ATOM=Ag POS=0.0 1/2 1/2


結果


以下に示すFig.4がLDA計算によるAg2Oの状態密度です。フェルミ準位(というか価電子帯の上部というか)で、状態密度が小さくなっていますが、バンドギャップは生じておらず、密度汎関数理論入門: 理論とその応用に載っているのと同様な図が得られています。

004_20150919224212e14.png
Fig.4: LDA計算によるAg2Oの状態密度


Fig.5がGW近似を用いたAg2Oの状態密度です。


005_201509192242126fe.png
Fig.5: One-shot GWによるAg2Oの状態密度


約1eVのバンドギャップが開いていることが分かります。現実のバンドギャップが1.3eV程度ということなので、LDA計算からの改善が確認できます。

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tag: ecalj 半導体 バンドギャップ GW近似 

ecaljでシリコンのバンド構造(GW近似)

LDA計算では、半導体のバンドギャップを過小評価するという欠点が広く認知されており、GW近似はこの問題点を改善することが期待されます。今回はecaljでシリコンのバンド構造を計算し、GW近似によりバンドギャップの大きさが改善されていることを確認しました。


001_20150917001717f58.png
Fig.1: シリコンのバンド構造。緑はGW近似による計算、赤はLDAによる計算。GW近似によりバンドギャップの大きさが改善されていることが分かる。



GW近似計算に必要なファイル


ecaljでシリコンのバンド構造(LDA計算)ではecaljを用いてダイヤモンド構造のシリコンのバンド図を局所密度近似(LDA)の範囲で描画しました。ecaljは、更にGW近似を用いた計算も可能です。

この際にecaljは、LDA計算に利用した結晶構造ファイル ctrls.si とバンド図のためのk点指定ファイル syml.si を無編集でそのまま使うことができます。

STRUC   ALAT=10.26
PLAT=0.0 1/2 1/2
1/2 0.0 1/2
1/2 1/2 0.0
SITE ATOM=Si POS=0.0 0.0 0.0
ATOM=Si POS=1/4 1/4 1/4

# num  from            to                name
41 0.5 0.5 0.5 0.0 0.0 0.0 L Gamma
41 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 Gamma X
21 1.0 0.0 0.0 1.0 0.5 0.0 X W
41 1.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 W Gamma
0


これらのファイルを使ってecaljの実行手順(GW近似)に従ってGW近似計算を行いました。

結果


以下のFig.2に緑のラインで描かれたものが、QSGW計算によって得られたシリコンのバンド構造です。対比のためにecaljでシリコンのバンド構造(LDA計算)で計算したLDAの結果をFig.3に示します。


002_20150917001716541.png
Fig.2: GW近似を用いたダイヤモンド構造のシリコンのバンド図

001_20150916211725117.png
Fig.3: LDAを用いたダイヤモンド構造のシリコンのバンド図


更にこれらを同時にプロットしたものが冒頭のFig.1です。

密度汎関数理論(DFT)と局所密度近似(LDA)を組み合わせた第一原理計算パッケージには、半導体のバンドギャップを過小評価するなどの問題点がある事が広く知られています。
この問題を克服するための試みもまた、広く行われており「LDAを超える試み」のキャッチフレーズで色々な方法論が提案されています。
GW近似は、これらの方法の中でもっとも有名なもののひとつで、実際に色々な半導体のバンドギャップの計算結果が、実験により得られている値に対して、LDAによる計算よりもはるかに近くなることが知られています。

実際、今回行ったecaljの計算ではGW近似によるバンドギャップはLDA計算よりも大きく、実験値である1.11eVに近い値となっていることが確認できます。

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