AkaiKKRとecaljでCuGaTe2 その2

AkaiKKRとecaljでCuGaTe2 その1ではAkaiKKR(machikaneyama)を用いてCuGaTe2の状態密度を計算しました。今回は、さらにecaljを用いて、LDAとGW近似の計算を行いました。その結果、AkaiKKRがCuGaTe2のバンドギャップを過小評価するのは、LDA/GGAに共通する問題であろう事、また、ecaljを用いてGW近似を適用すると、バンドギャップが改善されることが分かりました。

AkaiKKRLDAGW
Bandgap~0.4 eV0.1586 eV1.0962 eV
table.1: AkaiKKR(GGA), ecalj(LDA), ecalj(GW近似)のそれぞれのバンドギャップ



CuGaTe2のバンドギャップ問題


AkaiKKRとecaljでCuGaTe2 その1では、AkaiKKR(machikaneyama)を用いてCuGaTe2の状態密度を計算しました。その結果、得られたバンドギャップの大きさは過小評価となりました。これがLDA/GGAに起因する問題ならば、ecaljのLDA計算でも過小評価となり、かつ、GW近似を適用することで改善が見られるはずです。そこで今回は、LDAとGW近似の両方でCuGaTe2の計算を行います。

ecaljの結晶構造ファイル


ecaljの実行手順(LDA計算)ecaljの実行手順(GW近似)で書いたとおりecaljのために最低限必要なのは結晶構造ファイル ctrls.cugate2 だけです。ecaljの結晶構造ファイルは、基本並進ベクトルで格子を指定し、直交座標系で原子位置を指定する必要があります。

AkaiKKRではブラベ格子の種類は「ブラベ格子のキーワード」を指定する方法と「基本並進ベクトル」を指定する方法の2種類があります(参考: AkaiKKRのブラベ格子AkaiKKRの基本並進ベクトル その1AkaiKKRの基本並進ベクトル その2)。また、原子位置も「直交座標系」で与える方法と「分率座標系(fractional coordinate)」で与える方法の2種類あります。

もしもAkaiKKRの入力ファイルが、ブラベ格子のキーワードを利用している、あるいは、原子位置が分率座標系で与えられている場合、ecaljの入力フォーマットに合うように直す必要があります。AkaiKKRの入力ファイルからecaljの入力ファイルを作る方法としては、いったんcifファイルなどを経由してVESTAを利用する方法が正攻法でしょう(参考: VESTAでAkaiKKRのための基本並進ベクトル)。

しかし、もしもすでにAkaiKKR用の入力ファイルがあるのなら、ワンステップだけとはいえ、余計な手間がかかっている感があります。幸いにして、AkaiKKRの出力には、基本並進ベクトルと直交座標系での原子位置が出力されるので、今回はこれらを利用してecaljのための入力ファイルを作ります。

具体的には、AkaiKKRとecaljでCuGaTe2 その1の出力結果から、以下の基本並進ベクトルと原子位置の部分を抜き出します。

   primitive translation vectors
a=( -0.50000 0.50000 0.99600)
b=( 0.50000 -0.50000 0.99600)
c=( 0.50000 0.50000 -0.99600)


   atoms in the unit cell
position= 0.23703000 0.25000000 0.24900000 type=Te
position= 0.76297000 0.75000000 0.24900000 type=Te
position= 0.75000000 0.23703000 0.74700000 type=Te
position= 0.25000000 0.76297000 0.74700000 type=Te
position= 0.50000000 0.50000000 0.00000000 type=Ga
position= 0.50000000 0.00000000 0.49800000 type=Ga
position= 0.00000000 0.00000000 0.00000000 type=Cu
position= 0.00000000 0.50000000 0.49800000 type=Cu
position= 0.75000000 0.25000000 0.24900000 type=Es1
position= 0.25000000 0.75000000 0.24900000 type=Es1
position= 0.75000000 0.75000000 0.74700000 type=Es1
position= 0.25000000 0.25000000 0.74700000 type=Es1
position= 0.00000000 0.00000000 0.49800000 type=Es2
position= 0.50000000 0.50000000 0.49800000 type=Es2
position= 0.00000000 0.50000000 0.00000000 type=Es2
position= 0.50000000 0.00000000 0.00000000 type=Es2


結局CuGaTe2の結晶構造ファイルは、以下のようになります。

STRUC   ALAT=11.5388
PLAT=-1/2 1/2 0.99600
1/2 -1/2 0.99600
1/2 1/2 -0.99600
SITE ATOM=Te POS=0.23703000 0.25000000 0.24900000
ATOM=Te POS=0.76297000 0.75000000 0.24900000
ATOM=Te POS=0.75000000 0.23703000 0.74700000
ATOM=Te POS=0.25000000 0.76297000 0.74700000
ATOM=Ga POS=0.50000000 0.50000000 0.00000000
ATOM=Ga POS=0.50000000 0.00000000 0.49800000
ATOM=Cu POS=0.00000000 0.00000000 0.00000000
ATOM=Cu POS=0.00000000 0.50000000 0.49800000


結果


LDAを用いた結果、ワンショットGW近似を用いた結果、および、前回計算したAkaiKKRのGGAの結果を示します。

CuGaTe2-GW.png
Fig.1: QSGWによるCuGaTe2の状態密度

CuGaTe2-LDA.png
Fig.2: LDAによるCuGaTe2の状態密度

CuGaTe2DOS.png
Fig.3: GGA(AkaiKKR)によるCuGaTe2の状態密度


まず、大まかに見れば状態密度の形状はどれもほとんど同じであることが分かります。ただし、バンドギャップができるはずの部分では、LDAやAkaiKKR(GGA)の結果は、GW近似の結果と比較してギャップエネルギーを過小評価していることが分かります。

ecaljのログファイルには、バンドギャップの値が出力されます。前回のAkaiKKRの値とあわせて比較するとTable.1のようになりました。

ただし、LDA/GGAはバンドギャップを過小評価するという以上のことを言おうと思うと、微妙な議論になるかもしれません。
結晶構造と格子定数を合わせてあるとはいえ、細かい設定は異なります。AkaiKKRではpbe(GGA)を、ecaljのLDAはvwnを使っている点。AkaiKKRはフルポテンシャルでない点、などです。実際、空孔を入れたり原子球近似(ASA)を使ったりすることでギャップの値が改善されるということは、バンドギャップの値がポテンシャルの形状に影響を受けるはずだということです(参考: AkaiKKRでダイヤモンド型構造半導体)。

LDA/GGAのバンドギャップ過小評価は、第一原理計算パッケージ全般についてまわる問題だけあって、私には結論が出せませんが、仮にバンドギャップが正しい値を示さなくても、バンド構造や全エネルギーに関して議論を行うことは、何らかの意味があるかもしれません。

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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR ecalj LDA GGA GW近似 QSGW 半導体 バンドギャップ 

AkaiKKRでLDAとGGA その2

AkaiKKRでLDAとGGA その1と同様に、強磁性の体心立方構造(bcc)鉄の全エネルギーとスピン磁気モーメントを格子定数の関数としてAkaiKKR(machikaneyama)で計算しました。

FeMult.png

Fig.1: 鉄の格子定数と全エネルギー、スピン磁気モーメントの関係


前回と同様に、LDA(mjw)は格子定数を過小評価、GGA(pbe)は過大評価しました。


強磁性bcc鉄


AkaiKKRでLDAとGGA その1では非磁性の面心立方構造(fcc)の銅の格子定数をLDA(mjw)とGGA(pbe)で、それぞれ計算しました。その結果、LDAは格子定数を過小評価し、GGAは過大評価することが確認できました。

今回は、スピン分極を考慮した強磁性の体心立方構造(bcc)の鉄に対して、同様の計算を行います。

結果


結果をFig.1に示します。AkaiKKRでLDAとGGA その1と同様に、格子定数に関してはLDA(mjw)が過小評価、GGA(pbe)が過大評価となりました。実験値との比較では、GGA(pbe)の方が近い値となっていることが分かります。

同時にスピン磁気モーメントもプロットしてあります。磁性入門―スピンから磁石まで (材料学シリーズ)に書いてある鉄の磁気モーメントの実験値は M = 2.218 μB です。

LDA(mjw)によって得られた格子定数のときのLDAの磁気モーメントは、かなり実験値に近い値ですで、ほんのわずかに過小評価してるようです。LDAの磁気モーメントは、格子定数が大きくなるほど大きくなっています。GGA(pbe)によって得られた格子定数でのスピン磁気モーメントは、実験値に対して過大評価で、そのずれはLDAによるものよりも大きくなりました。

そんなわけで、強磁性bcc鉄のスピンモーメントの計算に、LDAの代わりにGGAを使うと、一見すると実験との一致が悪くなるという見方もできます。しかし、GGAは一般的にLDAよりも磁性体の計算を改善する傾向にあるということが、知られているようです。
第一原理計算の結果の正しさを検証する上で、実験値のと比較を行うというのは、最も王道的な方法ではありますが、どの程度の確度で議論ができるのかはよく考えないといけないかもしれません。いずれにせよ、今回の計算ではLDA、GGAどちらも格子定数、磁気モーメントをそれなりに良い確度で再現できていると考えられると思っています。

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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR LDA GGA 

AkaiKKRでLDAとGGA その1

密度汎関数理論(DFT)を用いた第一原理計算において交換相関ポテンシャルに何を使うかは、最も経験的に決めなければならないパラメータのひとつです。AkaiKKR(machikaneyama)でもLDA/GGAのなかからいくつかの選択肢があります。今回はmjw型のLDAとpbe型のGGAを使って面心立方構造(fcc)の銅の格子定数を計算してみました。

Cu.png

Fig.1: 銅の格子定数と全エネルギーの関係


その結果、LDAは格子定数を過大評価し、GGAは過小評価する傾向にあることが確認できました。


交換相関ポテンシャル


密度汎関数理論(DFT)を利用した第一原理計算ソフトでは、その交換相関項を表すために何らかの近似を行います。非常に良く使われるのが局所密度近似(LDA)と一般勾配近似(GGA)です。

ありていに言うとGGAの方がLDAよりも一歩進んだ「えらい」近似であるということになっています。しかしながら、実際に物性値を計算してみると必ずしもGGAのほうが良い結果になるとも限らないようです。更に言うならば、GW近似などの、更に進んだ計算手法と比べるとLDAもGGAも五十歩百歩としてどちらも一まとめにLDAと扱われることもあるようです。

AkaiKKR(machikaneyama)も交換相関項にLDAとGGAのどちらかを選ぶことができます。LDA/GGAの中にもいくつかの定式化があるようでAkaiKKRでは以下の選択肢があります。(詳しくは source/potenv.f のコメントを参照)

LDA: vbh, mjw, vwn
GGA: gga91, pbe, ev

いずれにせよ、交換相関ポテンシャルの項に対して、LDA/GGAといった近似を持ち込むことが、DFT計算において最も程度の大きい近似であるので、これらの項にどの近似を使うことによって、結果にどのような影響があるのかは知っておいたほうが良いです。

今回は面心立方構造(fcc)の銅の格子定数を全エネルギーの最小化から求めました。LDAの代表として mjw を選び、GGAの代表としては pbe を選びました。

計算結果


Fig.1に銅の格子定数と全エネルギーの関係をグラフに示します。mjw型のLDAでは格子定数が a=6.75 Bohr 程度になることが分かります。
これに対してpbe型のGGAを用いると a=6.95 Bohr 付近に全エネルギーの最小が存在します。グラフの中に垂直の破線で示したところが、実験から得られている格子定数です。
LDAは格子定数を過小評価、GGAは過大評価していることが分かります。

この傾向は、銅に限った話ではなくLDAは密度の高い相を導きやすくGGAはより隙間の大きい構造を好む様です。(参考: 物質の電子状態〈下〉 (SPRINGER UNIVERSITY TEXTBOOKS))

なおグラフの縦軸は任意目盛りです。そして、LDAとGGAでも別の軸を取っているので、相対的な比較はできません。それぞれの曲線の中で全エネルギーが最小となる格子定数がどの程度になるのかだけ見てください。

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