スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

Scilabで連立一次方程式

中学校で習った連立一次方程式は行列を使うと

Ax = b

と表すことができます。

Scilabを利用すれば
x = A \ b

と書くだけで解くことが出来ます。


連立一次方程式


数値計算の常識には以下の様にあります。

A = [aij]は正則なn次正方行列,b=[bi]はn次元のベクトルで,両者が与えられたとき

Ax=b

を満たすn次元ベクトルx=[xi]を計算する問題は,線形計算の最も基本的な問題である.


またぞろ難しげな書き方となっていますが、すこぶる簡単に言うとつるかめ算は行列を使うと簡単に解けますよという意味です。

中学校の数学で見たように連立一次方程式とは以下の様なものです。

ax+by=\xi

cx+dy=\eta

この問題自体は、中学校で解き方を習うものでありますし、勉強熱心な家庭の場合、小学生のうちにつるかめ算としてならう子供もいる訳で、簡単に解くことが出来ます。

物理数学の直観的方法には以下の様にあります。

線形代数という分野は,もともとそれほど難しくない内容のことを,上手い表現方法を用いたことで数学の中で地位を占めたといった性格を持っており,内容それ自体よりも表記法のほうが独創的であったといえる。


先ほどの連立方程式も

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

\mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} x \\ y end{pmatrix} \right)

\mathbf{b} = \begin{array}{c} \xi \\ \eta end{pmatrix}


の様におくと下記の様に行列で表すことができるようになります。

Ax=b

一度この様な行列で表現してしまえばこの方程式の解となるベクトルxは、逆行列A-1を利用して

x = A-1b

と表すことができ、逆行列A-1を求めるルーチンワークさえ出来るようになれば、連立する方程式の数がたくさんに増えても簡単に計算できるようになる。

・・・というのが、線形代数の謳い文句です。

連立一次方程式の数値計算


連立する方程式の数が2つや3つの場合はともかく、10とか100とか大きな値になると手計算で解くのは大変になるので数値計算をするわけですが、数値計算の常識などの数値計算の教科書を読むと、逆行列を計算してから解を計算するというような方法は、実際には効率的でないとのことです。

逆行列を計算する方法として偏微分方程式の数値解法入門ではガウス-ジョルダンの消去法が紹介されています。しかしながら数値計算の常識によるとガウス-ジョルダンの消去法の計算時間はO(n8)のオーダーが必要であるのに対して、逆行列を計算する事無く連立一次方程式を解くことの出来るLU分解を用いればO(n8/3)のオーダーに高速化できるとあります。

また、偏微分方程式の数値解法入門ではガウス-ジョルダンの消去法の他にガウス-ザイデルの反復法も紹介されています。

他の二つは連立一次方程式を式変形して解を求めるアプローチであるのに対して、反復法は解の近似値を代入して誤差が少なくなるように計算を繰り返し、解の近似値を収束させる方法を取ります。

Scilabでの連立一次方程式の解法


Scilabで学ぶわかりやすい数値計算法にはガウス-ジョルダンの消去法とガウス-ザイデルの反復法を含む幾つかのスクリプトが解説されています。このスクリプト自体はScilabで学ぶわかりやすい数値計算法のサポートページで公開されています。

しかし、実を言うと、Scilabを使って連立一次方程式を解くためのもっとも簡単な(そして恐らくもっとも高速な)方法は左行列除算を用いる方法です。Scilabで学ぶわかりやすい数値計算法のスクリプトに倣って行列Aとベクトルbをプロンプトから入力させるようにしたプログラムが以下の通りになります。

clear;

// *** 連立一次方程式の係数入力 ***
// 行列のサイズの入力
printf("n = ?\n"); n = mscanf("%d");
printf("\n")
// A の要素の入力
for i = 1:n
for j = 1:n
printf("a%d%d = ?\n",i,j); A(i,j) = mscanf("%f");
printf("\n");
end
end
// b の要素の入力
for i = 1:n
printf("b%d = ?\n",i); b(i) = mscanf("%f");
printf("\n");
end

// *** 連立一次方程式の計算 ***
A \ b


見ての通り係数を入力させる部分がほとんどを占めて、実際に連立一次方程式を解いている部分は

A \ b


の一行のみです。

参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器






フィードバック



にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ

 ↑ 電子工作ブログランキング参加中です。1クリックお願いします。


コメント・トラックバックも歓迎です。 ↓      


 ↓ この記事が面白かった方は「拍手」をお願いします。
スポンサーサイト

tag: Scilab 連立一次方程式 

FC2カウンター
カテゴリ
ユーザータグ

LTspiceAkaiKKRmachikaneyamaScilabKKRPSoC強磁性CPAPICOPアンプecalj状態密度常微分方程式モンテカルロ解析odeトランジスタインターフェースDOS定電流PDS5022スイッチング回路半導体分散関係シェルスクリプトレベルシフト乱数HP6632A可変抵抗I2Cトランジスタ技術温度解析R6452Aブレッドボード数値積分確率論バンド構造バンドギャップセミナー反強磁性絶縁熱設計偏微分方程式非線形方程式ソルバA/Dコンバータフォトカプラカオス三端子レギュレータISO-I2CPWscfLM358GW近似シュミットトリガLEDマフィンティン半径数値微分サーボ発振回路TL431直流動作点解析USBカレントミラー補間PC817Cアナログスイッチ74HC4053VESTAbzqlty電子負荷イジング模型アセンブラQuantumESPRESSOLDAチョッパアンプBSch開発環境単振り子量子力学2ちゃんねるFFT基本並進ベクトル標準ロジックブラべ格子パラメトリック解析位相図キュリー温度ラプラス方程式繰り返し抵抗熱伝導スイッチト・キャパシタ状態方程式MaximaSMP失敗談gfortran六方最密充填構造コバルトTLP621不規則合金スピン軌道相互作用ランダムウォーク最適化ewidth相対論FETQSGWスレーターポーリング曲線VCA仮想結晶近似GGAcygwinQuantum_ESPRESSO条件分岐詰め回路NE555LM555固有値問題最小値ガイガー管QNAPUPSダイヤモンドマントルデータロガーゼーベック係数TLP552シュレディンガー方程式ZnO最大値CIF格子比熱xcrysdenMCUハーフメタル井戸型ポテンシャル三角波ブラウン運動フェルミ面awk差し込みグラフスーパーセルFXA-7020ZR過渡解析起電力fsolveOpenMPUbuntuWriter509テスタ熱力学第一原理計算TLP521ubuntu平均場近似自動計測CK1026MAS830LトランスPIC16F785フィルタAACircuitCapSense負帰還安定性ノコギリ波ナイキスト線図EAGLE2SC1815P-10PGAOPA2277MBELMC662入出力FSMTeX結晶磁気異方性非線型方程式ソルバ固定スピンモーメント全エネルギーmultiplotgnuplotc/aL10構造fcc等高線ジバニャン方程式ヒストグラム確率論正規分布初期値面心立方構造ウィグナーザイツ胞interp1合金半金属電荷密度重積分SIC二相共存磁気モーメント不純物問題cif2cellPWgui擬ポテンシャルウルツ鉱構造BaOquantumESPRESSOフォノンデバイ模型edeltリジッドバンド模型岩塩構造ルチル構造スワップ領域マテリアルデザインspecx.fフラクタルマンデルブロ集合キーボードRealforceクーロン散乱三次元疎行列縮退化学反応関数フィッティング最小二乗法Excel直流解析PCTS-110TS-112日本語パラメータ・モデル等価回路モデル文字列状態図熱拡散方程式HiLAPW両対数グラフ陰解法Crank-Nicolson法ifort境界条件連立一次方程式片対数グラフグラフの分割円周率ヒストグラム不規則局所モーメントGimpシンボル軸ラベル凡例線種トラックボール

最新コメント
リンク

にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。