Scilabで連立一次方程式

中学校で習った連立一次方程式は行列を使うと

Ax = b

と表すことができます。

Scilabを利用すれば
x = A \ b

と書くだけで解くことが出来ます。


連立一次方程式


数値計算の常識には以下の様にあります。

A = [aij]は正則なn次正方行列,b=[bi]はn次元のベクトルで,両者が与えられたとき

Ax=b

を満たすn次元ベクトルx=[xi]を計算する問題は,線形計算の最も基本的な問題である.


またぞろ難しげな書き方となっていますが、すこぶる簡単に言うとつるかめ算は行列を使うと簡単に解けますよという意味です。

中学校の数学で見たように連立一次方程式とは以下の様なものです。

ax+by=\xi

cx+dy=\eta

この問題自体は、中学校で解き方を習うものでありますし、勉強熱心な家庭の場合、小学生のうちにつるかめ算としてならう子供もいる訳で、簡単に解くことが出来ます。

物理数学の直観的方法には以下の様にあります。

線形代数という分野は,もともとそれほど難しくない内容のことを,上手い表現方法を用いたことで数学の中で地位を占めたといった性格を持っており,内容それ自体よりも表記法のほうが独創的であったといえる。


先ほどの連立方程式も

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

\mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} x \\ y end{pmatrix} \right)

\mathbf{b} = \begin{array}{c} \xi \\ \eta end{pmatrix}


の様におくと下記の様に行列で表すことができるようになります。

Ax=b

一度この様な行列で表現してしまえばこの方程式の解となるベクトルxは、逆行列A-1を利用して

x = A-1b

と表すことができ、逆行列A-1を求めるルーチンワークさえ出来るようになれば、連立する方程式の数がたくさんに増えても簡単に計算できるようになる。

・・・というのが、線形代数の謳い文句です。

連立一次方程式の数値計算


連立する方程式の数が2つや3つの場合はともかく、10とか100とか大きな値になると手計算で解くのは大変になるので数値計算をするわけですが、数値計算の常識などの数値計算の教科書を読むと、逆行列を計算してから解を計算するというような方法は、実際には効率的でないとのことです。

逆行列を計算する方法として偏微分方程式の数値解法入門ではガウス-ジョルダンの消去法が紹介されています。しかしながら数値計算の常識によるとガウス-ジョルダンの消去法の計算時間はO(n8)のオーダーが必要であるのに対して、逆行列を計算する事無く連立一次方程式を解くことの出来るLU分解を用いればO(n8/3)のオーダーに高速化できるとあります。

また、偏微分方程式の数値解法入門ではガウス-ジョルダンの消去法の他にガウス-ザイデルの反復法も紹介されています。

他の二つは連立一次方程式を式変形して解を求めるアプローチであるのに対して、反復法は解の近似値を代入して誤差が少なくなるように計算を繰り返し、解の近似値を収束させる方法を取ります。

Scilabでの連立一次方程式の解法


Scilabで学ぶわかりやすい数値計算法にはガウス-ジョルダンの消去法とガウス-ザイデルの反復法を含む幾つかのスクリプトが解説されています。このスクリプト自体はScilabで学ぶわかりやすい数値計算法のサポートページで公開されています。

しかし、実を言うと、Scilabを使って連立一次方程式を解くためのもっとも簡単な(そして恐らくもっとも高速な)方法は左行列除算を用いる方法です。Scilabで学ぶわかりやすい数値計算法のスクリプトに倣って行列Aとベクトルbをプロンプトから入力させるようにしたプログラムが以下の通りになります。

clear;

// *** 連立一次方程式の係数入力 ***
// 行列のサイズの入力
printf("n = ?\n"); n = mscanf("%d");
printf("\n")
// A の要素の入力
for i = 1:n
for j = 1:n
printf("a%d%d = ?\n",i,j); A(i,j) = mscanf("%f");
printf("\n");
end
end
// b の要素の入力
for i = 1:n
printf("b%d = ?\n",i); b(i) = mscanf("%f");
printf("\n");
end

// *** 連立一次方程式の計算 ***
A \ b


見ての通り係数を入力させる部分がほとんどを占めて、実際に連立一次方程式を解いている部分は

A \ b


の一行のみです。

参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器






フィードバック



にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ

 ↑ 電子工作ブログランキング参加中です。1クリックお願いします。


コメント・トラックバックも歓迎です。 ↓      


 ↓ この記事が面白かった方は「拍手」をお願いします。

tag: Scilab 連立一次方程式 

FC2カウンター
カテゴリ
ユーザータグ

LTspiceAkaiKKRmachikaneyamaScilabKKRPSoC強磁性OPアンプPICCPA常微分方程式モンテカルロ解析ecaljodeトランジスタ状態密度インターフェースDOS定電流スイッチング回路PDS5022半導体シェルスクリプトレベルシフト乱数HP6632AR6452AI2C可変抵抗分散関係トランジスタ技術ブレッドボード温度解析反強磁性確率論バンドギャップセミナー数値積分熱設計非線形方程式ソルババンド構造絶縁偏微分方程式ISO-I2CLM358フォトカプラ三端子レギュレータカオスLEDシュミットトリガGW近似A/Dコンバータ発振回路PC817C直流動作点解析USBマフィンティン半径数値微分アナログスイッチTL43174HC4053カレントミラーサーボ量子力学単振り子チョッパアンプ補間2ちゃんねる開発環境bzqltyFFT電子負荷LDAイジング模型BSch基本並進ベクトルブラべ格子パラメトリック解析標準ロジックアセンブラ繰り返し六方最密充填構造SMPコバルトewidthFET仮想結晶近似QSGW不規則合金VCAMaximaGGA熱伝導cygwinスレーターポーリング曲線キュリー温度スイッチト・キャパシタ失敗談ランダムウォークgfortran抵抗相対論位相図スピン軌道相互作用VESTA状態方程式TLP621ラプラス方程式TLP552条件分岐NE555LM555TLP521マントル詰め回路MCUテスタFXA-7020ZR三角波過渡解析ガイガー管自動計測QNAPUPSWriter509ダイヤモンドデータロガー格子比熱熱力学awkブラウン運動起電力スーパーセル差し込みグラフ第一原理計算フェルミ面fsolve最大値xcrysden最小値最適化ubuntu平均場近似OpenMP井戸型ポテンシャルシュレディンガー方程式固有値問題2SC1815結晶磁気異方性OPA2277非線型方程式ソルバTeXgnuplot固定スピンモーメントFSMPGAc/a全エネルギーfccフラクタルマンデルブロ集合正規分布縮退初期値interp1multiplotフィルタ面心立方構造ウィグナーザイツ胞L10構造半金属二相共存SICZnOウルツ鉱構造BaO重積分クーロン散乱磁気モーメント電荷密度化学反応CIF岩塩構造CapSenseノコギリ波デバイ模型ハーフメタルキーボードフォノンquantumESPRESSOルチル構造スワップ領域リジッドバンド模型edelt合金等高線線種凡例シンボルトラックボールPC軸ラベルグラフの分割トランス文字列CK1026MAS830L直流解析Excel不規則局所モーメントパラメータ・モデル入出力日本語最小二乗法等価回路モデルヒストグラムGimp円周率TS-110TS-112PIC16F785LMC662三次元specx.fifortUbuntu疎行列不純物問題Realforceジバニャン方程式ヒストグラム確率論マテリアルデザインP-10境界条件連立一次方程式熱拡散方程式AACircuitHiLAPW両対数グラフ片対数グラフ陰解法MBEナイキスト線図負帰還安定性Crank-Nicolson法EAGLE関数フィッティング

最新コメント
リンク

にほんブログ村 その他趣味ブログ 電子工作へ