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AkaiKKRでPd-Rh二相共存領域

二元系の状態図には、全率固溶型や共融型などいくつかのパターンが存在します。Pd-Rhの二元系では、端成分が共に面心立方構造となっています。そのため高温では固溶体となります。しかしながら、低温では二相に分離します。今回はAkaiKKR(machikaneyama)を利用して、この境界となる温度を求めてみます。

Pd-Rh-520.png

Fig.1: Pd-Rh二元系の合金状態図とAkaiKKR(machikaneyama)によって計算された固溶と二相共存の境界温度(紫:マフィンティン近似, 緑:原子球近似)



熱力学


全エネルギーの組成依存性が上に凸の形になる場合、定性的に二相分離が予想されます。境界温度を推定するためには、二相分離した状態と固溶した状態のギブスエネルギーの差がゼロになる条件を探せばよいことが分かります。

\begin{equation}
G = E + PV - TS
\end{equation}

まず、常圧のみを考えると P≒0 としても影響はほとんどありません。エネルギー E の項には、第一原理計算から得られる全エネルギーの他に格子振動の寄与などが考えられますが、二相分離状態と固溶状態の差は小さいと仮定して無視します。

エントロピーSについても配置のエントロピーのほかに格子振動の寄与などが考えられますが、配置のエントロピーのみを考えることにします。するとRh濃度が x のときの全エネルギーの差と、固溶体の配置のエントロピーは、以下の様になります。

\begin{equation}
\Delta E(x) = E_{\mathrm{Pd_{1-x}Rh_{x}}} - \{ (1-x)E_{\mathrm{Pd}} + x E_{\mathrm{Rh}} \} \\
S_m(x) = - k_B \{ (1-x)\ln (1-x) + x \ln (x) \}
\end{equation}

したがって求める温度は以下のようになります。

\begin{equation}
T(x) = \frac{\Delta E(x)}{S_m(x)}
\end{equation}

計算手法


AkaiKKR(machikaneyama)を用いてPd-Rh合金系の全エネルギーを計算しました。交換相関汎関数にはpbeを用いました。シェルスクリプトPdRh_sh.txtを用いて、組成と格子定数を変化させながら、各組成における最安定な格子定数とそのときの全エネルギーを決定しました。ポテンシャルの形状は、マフィンティン近似と原子球近似(ASA)の両方を試しました。

全エネルギーを計算する際に、状態密度の計算も行いました。端成分の状態密度に関してはecaljでも計算し、クロスチェックしました。

結果と議論


Fig.2-3に純粋なPdとRhの状態密度を示します。AkaiKKRで計算した結果とecaljで計算した結果が良く一致していることが分かります。

Pd-DOS.png
Fig.2: Pdの状態密度

Rh-DOS.png
Fig.3: Rhの状態密度


Fig.4にPdの体積と全エネルギーの関係をプロットしたものを示します。ゼロ気圧における体積V0とそのときの全エネルギーE0を得るためにBirch-Murnaghanの状態方程式にフィッティングしました。

\begin{equation}
E(V) = E_0 + \frac{9V_0B_0}{16}\left\lbrace \left[ \left( \frac{V_0}{V} \right)^{\frac{2}{3}} -1 \right]^3 B_0^\prime \\
+ \left[ \left( \frac{V_0}{V} \right)^{\frac{2}{3}} -1 \right]^2 \left[ 6 -4 \left( \frac{V_0}{V} \right)^{\frac{2}{3}} \right] \right\rbrace
\end{equation}

PdRh_0.png
Fig.4: Pdの体積と全エネルギーの関係


フィッティングする体積の範囲はV0付近でフィッティング結果が良くなるように適切に選びます。

得られた全エネルギーから固溶と二相分離の境界の温度をプロットしたのがFig.1です。計算結果は、二元合金状態図集の状態図と比較してあります。Pd-Rh合金の計算ではASAの結果が実験結果を驚くほどよく再現しています。しかしながら、今回のような良い結果が得られるのは、どうやら周期表で同じ周期に隣接している元素同士の合金だけのようです。

関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR CPA 二相共存 状態密度 DOS 

AkaiKKRでリジッドバンド模型もどき

AkaiKKR(machikaneyama)では、コヒーレントポテンシャル近似(CPA)で不純物の効果を計算することができます。不純物の効果に関して、CPAよりも荒い近似としてよく使われるのがリジッドバンド模型です。今回は、あえて、AkaiKKRの入力ファイルのパラメータのひとつの pmix=0 としてリジッドバンド模型のような計算をホウ素ドープダイヤモンドに関して行ってみました。

Rigidband.png
Fig.1: ダイヤモンドとリジッドバンド模型もどきで計算したホウ素ドープダイヤモンドの状態密度



ホウ素ドープダイヤモンド


AkaiKKRでB(N)-dopedダイヤモンドでは、コヒーレントポテンシャル近似を用いて、ホウ素ドープダイヤモンドと窒素ドープダイヤモンドの状態密度の計算を行いました。その結果、状態密度の形状はドープによってほとんど変わらないものの、価電子の数が変化するためフェルミ準位の位置が変わり、金属・半導体転移が起こることが確認できました。計算にはコヒーレントポテンシャル近似(CPA)を用いましたが、この結果はリジッドバンド模型でもよく近似ができそうだと分かりました。そこで今回は、ホウ素ドープダイヤモンドの状態密度をリジッドバンド模型(のようなもの)で計算して、CPAの結果と比較します。

リジッドバンド模型もどき


リジッドバンド模型は、単純に状態密度の形状が変わらず、ドープによりフェルミエネルギーの位置が変わるだけとする近似です。従って、通常通りに純粋なダイヤモンドの第一原理計算を行った後に、得られた状態密度と積分状態密度の数値データからScilab等を使って、ドープ後のフェルミエネルギーの位置を計算するのが普通です。

しかし今回は、(このような方法にメリットがあるかは別問題として)異なる方法でリジッドバンド模型のような計算を行ってみます。

CCMSハンズオン AkaiKKR講習会 2014年7月30日のYoutube動画2:21:28あたりから入力ファイルのpmix=0とした場合に、ポテンシャルが更新されず、チャージニュートラリティーがゼロになるようにフェルミ準位だけが移動すると説明されています。今回はこれを利用します。

5%ホウ素をドープしたダイヤモンドの入力ファイル


下記に示すのが、ホウ素をドープしたダイヤモンドの計算を行うための入力ファイルです。

c------------------------------------------------------------
go data/B-doped
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
fcc 6.74 , , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 2.0 sra vwnasa nmag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 8 200 0.02
c------------------------------------------------------------
c ntyp
2
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
C 2 1 0.0 2 6 95
6 5
Vc 1 1 0.0 2 0 100
c------------------------------------------------------------
c natm
4
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0.00000 0.00000 0.00000 C
0.25000 0.25000 0.25000 C
0.75000 0.75000 0.75000 Vc
0.50000 0.50000 0.50000 Vc
c------------------------------------------------------------

c------------------------------------------------------------
go data/B-doped
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
fcc 6.74 , , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 2.0 sra vwnasa nmag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 8 20 0.0
c------------------------------------------------------------
c ntyp
2
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
C 2 1 0.0 2 6 95
5 5
Vc 1 1 0.0 2 0 100
c------------------------------------------------------------
c natm
4
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0.00000 0.00000 0.00000 C
0.25000 0.25000 0.25000 C
0.75000 0.75000 0.75000 Vc
0.50000 0.50000 0.50000 Vc
c------------------------------------------------------------


まず最初に、純粋なダイヤモンドの計算をしますが、炭素のコンポーネントをあらかじめ95%と5%のふたつに分けておきます。
これを収束された後に、同じポテンシャルファイルから続けて、ホウ素ドープダイヤモンドの計算を行います。

ホウ素ドープダイヤモンドのための入力では、あらかじめふたつに分けておいたコンポーネントの5%の方の原子番号を6(炭素)から5(ホウ素)へ変更します。更に、ポテンシャルを更新しないようにするためにpmix=0.0とします。

この状態で計算を実行すると、チャージニュートラリティーがゼロになるようにフェルミ準位が変化していきます。当然ながら通常の判定では収束しなくなるので、maxitrを小さく変更して適切なところで計算を打ち切るようにします。今回の例では20回程度で充分チャージニュートラリティーがゼロになるようです。

結果


純粋なダイヤモンドの状態密度とリジッドバンド模型もどきで計算した状態密度の比較をFig.1に示します。AkaiKKRでB(N)-dopedダイヤモンドのときと同様にフェルミ準位が元の価電子帯の内部まで移動していることがわかります。

B-doped-Compare.png
Fig.2: リジッドバンド模型もどきとCPAでそれぞれ計算したホウ素ドープダイヤモンドの状態密度


更にCPAの計算結果と直接比較しているのがFig.2です。CPAの結果は、不規則性の効果によって状態密度の鋭さが減じていますが、それ以外の形状はリジッドバンド模型もどきはよく再現しています。

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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR リジッドバンド模型 CPA 状態密度 DOS 半導体 

AkaiKKRでB(N)-dopedダイヤモンド

AkaiKKR(machikaneyama)のコヒーレントポテンシャル近似(CPA)を用いて、ホウ素や窒素をドープしたダイヤモンドの電子構造を計算しました。
得られた状態密度は、状態密度の形状が変わらず、フェルミ準位の位置が変わるだけであるという、リジッドバンド模型でよく近似できることが分かりました。

diamond_201603202355181f7.png
Fig.1: ダイヤモンド(赤)、ホウ素ドープダイヤモンド(緑)、窒素ドープダイヤモンド(青)の状態密度



ホウ素(窒素)ドープダイヤモンド


AkaiKKRでダイヤモンド型構造半導体で計算したとおり、ダイヤモンドは大きなバンドギャップを持つ半導体(あるいは絶縁体)です。しかしながらダイヤモンドを構成する炭素原子の一部(5%程度)をホウ素や窒素に置き換えると、金属的なフェルミ準位に有限の状態を持つ電子構造になります。AkaiKKR(machikaneyama)を用いたバンド計算は、すでにKobashi (2014a), Kobashi (2014b)によって行われています。今回は、同様の計算を行ってみます。

計算手法


AkaiKKRを用いて、炭素原子の5%をホウ素、または、窒素に置き換えた結晶の状態密度を計算しました。これまでの計算と比較して特筆すべきテクニックは特にありませんが、バンドギャップの過小評価をできるだけ避けるために、空孔を入れて、原子球近似(ASA)を用いました。また、格子定数は不純物のドープに対して変化しないと仮定して a = 6.74 Bohr としました。
置換不純物は、コヒーレントポテンシャル近似(CPA)を用いて計算しました。

c------------------------------------------------------------
go data/B-doped
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
fcc 6.74 , , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 2.0 sra vwnasa nmag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 8 200 0.02
c------------------------------------------------------------
c ntyp
2
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
C 2 1 0.0 2 6 95
5 5
Vc 1 1 0.0 2 0 100
c------------------------------------------------------------
c natm
4
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0.00000 0.00000 0.00000 C
0.25000 0.25000 0.25000 C
0.75000 0.75000 0.75000 Vc
0.50000 0.50000 0.50000 Vc
c------------------------------------------------------------

c------------------------------------------------------------
dos data/B-doped
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
fcc 6.74 , , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 2.67 sra vwnasa nmag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 20 200 0.02
c------------------------------------------------------------
c ntyp
2
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
C 2 1 0.0 2 6 95
5 5
Vc 1 1 0.0 2 0 100
c------------------------------------------------------------
c natm
4
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0.00000 0.00000 0.00000 C
0.25000 0.25000 0.25000 C
0.75000 0.75000 0.75000 Vc
0.50000 0.50000 0.50000 Vc
c------------------------------------------------------------


結果


結果をFig.1に示します。
赤で示したのが通常のダイヤモンドの状態密度です。フェルミ準位はバンドギャップの中にあります。緑と青で示したのが、それぞれホウ素と窒素を5%置換したダイヤモンドの状態密度です。これらは、状態密度の形状がほとんど変化せず、フェルミ準位の位置がずれているだけだと分かります。
これは、ホウ素(窒素)は、炭素と比べてか電子の数が1個少ない(多い)からです。半導体では、このように不純物をドープした際にバンド構造がほとんど変わらず、価電子数の差に応じてフェルミ準位が変化するだけという事が多いようです。

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AkaiKKRのewidth その2

AkaiKKRのewidth その1では、AkaiKKR(machikayenama)入力ファイルの中の ewidth, edelt と実際に計算される複素エネルギーの経路の関係をまとめました。
今回は ewidth が不適切な値に設定されているときにどのような問題が起こり得るかについて書きます。

ewidth が適切でない場合、計算が収束しない場合があるだけでなく、計算が間違った結果に収束してしまう場合も存在するので注意が必要です。


ewidthが小さすぎる場合


まず ewidth が小さすぎる場合について見てみます。多くの場合、go計算で収束しないだけですが、稀に正しくない結果に収束する場合があるようなので注意が必要です。

Fig.1に示したのは正しいダイヤモンドの状態密度で、下記の入力ファイルで計算したものです。更にこの入力ファイルを ewidth=1.0 Ryに変更した結果がFig.2です。

c------------------------------------------------------------
go data/diamond
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
fcc 6.74 , , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 2.0 sra vwnasa nmag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 8 200 0.02
c------------------------------------------------------------
c ntyp
2
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
C 1 1 0.0 2 6 100
Vc 1 1 0.0 2 0 100
c------------------------------------------------------------
c natm
4
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0.00000 0.00000 0.00000 C
0.25000 0.25000 0.25000 C
0.75000 0.75000 0.75000 Vc
0.50000 0.50000 0.50000 Vc
c------------------------------------------------------------

c------------------------------------------------------------
dos data/diamond
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
fcc 6.74 , , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 2.67 sra vwnasa nmag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 20 200 0.02
c------------------------------------------------------------
c ntyp
2
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
C 1 1 0.0 2 6 100
Vc 1 1 0.0 2 0 100
c------------------------------------------------------------
c natm
4
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0.00000 0.00000 0.00000 C
0.25000 0.25000 0.25000 C
0.75000 0.75000 0.75000 Vc
0.50000 0.50000 0.50000 Vc
c------------------------------------------------------------


Diamond.png
Fig.1: ダイヤモンドの正しい状態密度(ewidth = 2.0 Ry)


Diamond-ewidth.png
Fig.2: ダイヤモンドの誤った状態密度(ewidth = 1.0 Ry)


状態密度の形状を比べてみると明らかなように、これら二つの計算は、それぞれ異なった解に収束しています。あらかじめ正しい状態密度の形を知らずに間違った計算例だけを見せられても、結果が正しいのか間違っているのかは判断できないでしょう。従ってAkaiKKRで計算を行う場合は、あらかじめ先行研究の結果を調べておく、あるいは、別の計算コード(HiLAPWとかecaljとか)と同じ結果が得られるかを確認する必要があると思います(参考: AkaiKKRとecaljでCuGaTe2 その1その2)。

ewidth がコア近傍を横切る場合


Fig.3では ewidth が valence state を完全に含み、core state を含まないようにしていることが分かります。このようにするのが理想的なのですが、実際には core state が valence state に近くて ewidth の底がちょうどその間に来るようにすることが難しい場合もあります。そういうときには ewidth が core state を含むようにしても問題なく計算できます。(core state を valence state として扱うようになります。)

akaikkr-handson-2-140815051743-phpapp02.png

Fig.3: 状態密度と複素数エネルギーメッシュの関係。第5回CCMSハンズオン(ソフトウェア講習会): AkaiKKRチュートリアル 2. AkaiKKRの実習より


なお ewidth の底が core state に近い場合、下記のメッセージが出力されます。

***msg in cstate...corelevel near ebtm found for nclr=原子番号


これはメッセージなので、必ずしも問題が起きていることを意味しませんが、もしも上記メッセージが出ていて、かつ、収束しないときや、収束していても結果が怪しいようなら ewidth の値を変更してみると問題が解決するかもしれません。

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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR ewidth 状態密度 DOS 

AkaiKKRのewidth その1

AkaiKKR(machikaneyama)の入力ファイルで指定するパラメータの中で、今回は ewidth と edelt について書きます。

akaikkr-handson-2-140815051743-phpapp02.png

Fig.1: 状態密度と複素数エネルギーメッシュの関係。第5回CCMSハンズオン(ソフトウェア講習会): AkaiKKRチュートリアル 2. AkaiKKRの実習より



go計算のewidthとedelt


AkaiKKR(machikaneyama)では、他の多くのDFTコードとは異なりKKR法をつかいます。したがって、計算に必要なパラメータが違います。例えばAkaiKKRには、平面波法で重要になるカットオフエネルギーのパラメータは存在しません。その一方でewidthやedeltといったパラメータを指定する必要が出てきます。今回はewidthとedeltについてまとめます。

Fig.1に示したewidthとedeltと状態密度の関係を表した図は、第5回CCMSハンズオン(ソフトウェア講習会): AkaiKKRチュートリアル 2. AkaiKKRの実習のP11に載っているものです。ewidth はフェルミエネルギーから負の方向にどのエネルギーまで計算するかを指定します。この値は、価電子バンドを完全に含むように選ばなければなりません。一方、ewidthの方は、今回は深入りしませんが、ほとんどの場合 0.001 Ry としておけば問題ないようです。

   complex energy mesh
1( -2.0000, 0.0000) 2( -1.9998, 0.0041) 3( -1.9989, 0.0095)
4( -1.9965, 0.0168) 5( -1.9913, 0.0263) 6( -1.9810, 0.0388)
7( -1.9620, 0.0546) 8( -1.9286, 0.0742) 9( -1.8730, 0.0976)
10( -1.7856, 0.1238) 11( -1.6574, 0.1507) 12( -1.4839, 0.1750)
13( -1.2692, 0.1926) 14( -1.0291, 0.1999) 15( -0.7873, 0.1954)
16( -0.5679, 0.1804) 17( -0.3876, 0.1581) 18( -0.2518, 0.1327)
19( -0.1569, 0.1076) 20( -0.0946, 0.0849) 21( -0.0555, 0.0657)
22( -0.0319, 0.0501) 23( -0.0181, 0.0378) 24( -0.0101, 0.0284)
25( -0.0056, 0.0212) 26( -0.0031, 0.0157) 27( -0.0017, 0.0116)
28( -0.0009, 0.0086) 29( -0.0005, 0.0064) 30( -0.0003, 0.0047)
31( -0.0001, 0.0035) 32( -0.0001, 0.0026) 33( -0.0000, 0.0019)
34( -0.0000, 0.0014) 35( -0.0000, 0.0010)


上に示したのがgo計算用に用いられた energy contour の例です。これは ewidth=2.0 Ry, edelt=0.001 Ry としたときの複素エネルギーの経路で、計算のアウトプットのかなりはじめの方(16行目ぐらいから)に出力されます。Fig.1のように(-ewidth, 0)から半楕円状に(0, edelt)までの経路をとっていることが分かります。go計算では、この経路上の35点を計算していますが、この35という分解能は source/specx.f の97行目ぐらいにある mse0 で指定されています。

contour.png
Fig.2: go計算の実際の energy contour (ewidth=2.0 Ry, edelt=0.001 Ry)


DOS計算のewidthとedelt


go計算のewidthは必ず価電子バンドを完全に含むように選ばなければならないと書きましたが、そのことを確認するためには、結局のところ状態密度(またはバンド構造)を計算してみなければなりません。この際の energy contour はgo計算の場合と少し異なります。
以下に示すのは、ewidth=2.67 Ry, edelt=0.001 Ry としたときのdos計算のときの energy contour の例です。go計算のときは半楕円状でしたが、dos計算の場合は、エネルギーの虚数成分は常に edelt の値で一定です。実数成分のエネルギー範囲も異なっており -0.75*ewidth から 0.25*ewidth の範囲となっています。(逆に言えばgo計算でのewidthの範囲とまったく同じ範囲の状態密度を描画しようとする場合、ewidth/0.75を新しいewidthとしなければならないという事です。本エントリのgo計算でのewidth=2.0なのでdosでは2.0/0.75=2.67としました。)この 0.75 という値は source/cemesr.f の ref の値を編集することにより変更することができます。エネルギーの分解能も201点となっており、これは source/specx.f の20行目ぐらいにある msex で指定されています。これらはdos計算でもspc計算でも共通です。

   complex energy mesh
1( -2.0025, 0.0010) 2( -1.9891, 0.0010) 3( -1.9758, 0.0010)
4( -1.9625, 0.0010) 5( -1.9491, 0.0010) 6( -1.9357, 0.0010)
7( -1.9224, 0.0010) 8( -1.9090, 0.0010) 9( -1.8957, 0.0010)
10( -1.8823, 0.0010) 11( -1.8690, 0.0010) 12( -1.8557, 0.0010)
13( -1.8423, 0.0010) 14( -1.8289, 0.0010) 15( -1.8156, 0.0010)
16( -1.8022, 0.0010) 17( -1.7889, 0.0010) 18( -1.7755, 0.0010)
19( -1.7622, 0.0010) 20( -1.7489, 0.0010) 21( -1.7355, 0.0010)
22( -1.7222, 0.0010) 23( -1.7088, 0.0010) 24( -1.6954, 0.0010)
25( -1.6821, 0.0010) 26( -1.6687, 0.0010) 27( -1.6554, 0.0010)
28( -1.6421, 0.0010) 29( -1.6287, 0.0010) 30( -1.6153, 0.0010)
31( -1.6020, 0.0010) 32( -1.5886, 0.0010) 33( -1.5753, 0.0010)
34( -1.5619, 0.0010) 35( -1.5486, 0.0010) 36( -1.5353, 0.0010)
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