Kelvinの公式でSeebeck係数

AkaiKKR(machikaneyama)で計算された状態密度から Kelvin の公式を利用して、遷移金属のゼーベック係数を計算しました。
\begin{equation}
S = - \frac{1}{|e|}\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}T}
\end{equation}
ここで S はゼーベック係数、 e は電気素量、 μ は化学ポテンシャル、T は絶対温度です。結果はそこそこ良く実験値を再現しました。

Kelvin.png
Fig.1: Kelvinの公式で計算されたゼーベック係数(実線)と実験から得られた文献値(丸シンボル)。パラジウム(赤)、プラチナ(青)、タングステン(緑)、モリブデン(黒)。



ゼーベック係数


ゼーベック係数(熱電能)は、以下の式で表されます。

\begin{equation}
S = \frac{1}{eT}\frac{K_1}{K_0}
\end{equation}
ここでKn
\begin{equation}
K_n = \int_{-\infty}^{\infty}\sigma(\epsilon)(\epsilon - \mu)^{n} \left( - \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\epsilon}\right) \mathrm{d}\epsilon
\end{equation}

この式の中の σ(ε) はエネルギーに依存する電気伝導度とでも呼ぶべきもので、これを具体的に計算するには、通常のバンド計算から得られる電子の群速度に加えて、電子がどのように散乱されるかを表す散乱時間も必要になります。これは不可能ではありませんが、結構大変です。

これに対して熱電材料の物質科学―熱力学・物性物理学・ナノ科学 (物質・材料テキストシリーズ)では、とても簡単な近似式として Kelvin の公式を示しています。
\begin{equation}
S = - \frac{1}{e}\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}T}
\end{equation}
Scilabで金属の化学ポテンシャルに書いたとおり、金属の状態密度さえ分かっていれば化学ポテンシャルは計算できるので、バンド計算的には、とても簡単な手法です。(というか、これで精度よくゼーベック係数が計算できるのなら、群速度とか散乱時間とか一体なんだったのという感じ)

計算手順


まずAkaiKKRで状態密度を計算しました。2500 K 程度なら化学ポテンシャルの大きさもたいしたこと無いはずなので ewidth を小さくして計算すべきですが、雑な計算ということで価電子を全て含むエネルギーとしました。

c------------------------------------------------------------
go data/Pt
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
fcc 7.41 , , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 0.9 sra mjw nmag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 200 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Pt 1 1 0.0 2
78 100
c------------------------------------------------------------
c natm
1
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0 0 0 Pt
c------------------------------------------------------------

c------------------------------------------------------------
dos data/Pt
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
fcc 7.41 , , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.2 sra mjw nmag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 20 200 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Pt 1 1 0.0 2
78 100
c------------------------------------------------------------
c natm
1
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0 0 0 Pt
c------------------------------------------------------------


Pt-DOS.png
Fig.2: プラチナの状態密度


次に計算された状態密度から、電子の数密度neを計算します。
\begin{equation}
n_e = \int_{-\infty}^{\infty}D(\epsilon)f(\epsilon, T)\mathrm{d}\epsilon
\end{equation}
ここでフェルミ分布関数は以下のようになります。
\begin{equation}
f(\epsilon, T) = \frac{1}{\exp \left(\frac{\epsilon - \mu(T)}{k_B T} \right) + 1}
\end{equation}

電子の数密度neは温度に関わらず一定なので、絶対零度 T = 0 (K) のときの電子数密度 ne0 をまず計算します。フェルミ分布関数はこのとき ε < εF で f(ε, 0) = 1, ε > εF で f(ε, 0) = 0 なので
\begin{equation}
n_{e0} = \int_{-\infty}^{0} D(\epsilon) \mathrm{d}\epsilon
\end{equation}
です。

あとは以下の条件を満たすように非線型方程式ソルバで、化学ポテンシャルμを求めます。
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}D(\epsilon)f(\epsilon, T)\mathrm{d}\epsilon - n_{e0} = 0
\end{equation}

化学ポテンシャルが計算できたら、これを数値微分します。
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}T} \sim \frac{\mu(T+\Delta T) - \mu(T - \Delta T)}{2\Delta T}
\end{equation}

clear;

// *** 物理定数 ***
// アボガドロ数 (/mol)
na = 6.0221413E23;
// 1 (Ry) = 2.179872E-18 (J)
eRy = 2.179872E-18; //(J)
// リュードベリ原子単位系でのボルツマン定数
// Boltzmann constant kB = 1.3806488E-23 (J/K)
kB = 1.3806488E-23 / eRy; // (Ry/K)
// 電気素量
chage = 1.60217662E-19;

// *** 状態密度の読み出し ***
X = fscanfMat("Kelvin-Pt-calc.txt");
Edat = X(:,1);
Ddat = 2 * X(:,2);

// *** 計算用 ***
// エネルギー
E = linspace(min(Edat), max(Edat), 10000);
// 温度
tstart = 10; tstep = 10; tend = 2500;
T = [tstart:tstep:tend];
// 状態密度
D = interp1(Edat, Ddat, E, "linear");

// *** フェルミ分布関数 ***
function fermi = fermi(mu, energy, temp)
fermi = 1 ./ (exp((energy - mu) ./ (kB * temp)) + 1)
endfunction

// *** フェルミ分布関数 ***
n = intsplin(E, (D .* fermi(0, E, 0)));
function y = f1(x, temp)
y = intsplin(E, D .* fermi(x, E, temp)) - n
endfunction

// *** 化学ポテンシャル ***
Snum = ones(T);
for i = 1:length(T) do
temp = 1.01 * T(i);
mu1 = fsolve(0, f1);
temp = 0.99 * T(i);
mu2 = fsolve(0, f1);
// 数値計算による電子比熱
Snum(i) = - eRy * (mu1 - mu2) / (0.02 * T(i)) / chage;
end

// 数値計算による電子比熱
plot(T, 1E6 * Snum, "-b");
Y = fscanfMat("Kelvin-Pt-lit.txt");
plot(Y(:,1), Y(:,2), ".b");

// *** グラフの装飾 ***
xlabel("Temperature (K)");
ylabel("Seebeck coefficient (uV/K)");
xgrid(color("gray"));


Sommerfeld展開


Scilabで金属の化学ポテンシャルでは Sommerfeld 展開から得られた化学ポテンシャルが以下のように書かれるとしています。
\begin{equation}
\mu = \epsilon_F - \frac{\pi^2}{6}k_B^2 \frac{D'(\epsilon_F)}{D(\epsilon_F)}T^2
\end{equation}
したがって、その温度微分は以下のようになります。
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}\mu}{\mathrm{d}T} = - \frac{\pi^2}{3}k_B^2 \frac{D'(\epsilon_F)}{D(\epsilon_F)}T
\end{equation}
状態密度が鋭く変化している(D'(εF)が大きい)ほど大きなゼーベック係数を持つことが分かります。

関連エントリ




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付録


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tag: AkaiKKR KKR ゼーベック係数 状態密度 分散関係 

AkaiKKRで窒化ガリウム

AkaiKKR(machikaneyama)ウルツ型結晶構造の窒化ガリウムGaNの計算を行いました。

hexGaN.png
Fig.1: ウルツ型構造の窒化ガリウムの状態密度


ウルツ型構造の結晶構造はFig.2のような六方晶です。このCIFはCrystallography Open Databaseからダウンロードすることが出来ます。

2018y04m17d_140952920.png
Fig.2: ウルツ型窒化ガリウムの結晶構造


AkaiKKRの入力ファイルは、以下のようになりました。原子位置(atomicx)はVESTAでAkaiKKRのための基本並進ベクトルの方法で出力したものを利用しました。

c----------------------GaN-----------------------------------
go data/GaN
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
hex 6.01 , 1.6245 , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.8 sra mjw nmag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 200 0.03
c------------------------------------------------------------
c ntyp
2
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Ga 1 1 0.0 2
31 100
N 1 1 0.0 2
7 100
c------------------------------------------------------------
c natm
4
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0.333333343a 0.666666687b 0.000000000c Ga
0.666666627a 0.333333313b 0.500000000c Ga
0.333333343a 0.666666687b 0.384999990c N
0.666666627a 0.333333313b 0.884999990c N
c------------------------------------------------------------


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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR 状態密度 

AkaiKKRで磁鉄鉱

AkaiKKR(machikaneyama)でスピネル型の結晶構造を持つ磁鉄鉱(マグネタイト)Fe3O4の計算を行いました。この計算はYanase and Siratori (1984, J. Phys. Soc. Jpn)で報告されている通り、基底状態ではハーフメタリックな強磁性体になります。(ハーフメタルに関してはAkaiKKRでハーフメタルを参照。)

fccMagnetitie-dos.png
Fig.1: 磁鉄鉱の状態密度。基底状態ではハーフメタルになる。


入力ファイル


磁鉄鉱の結晶構造は以下のように図示できます。

2017y09m18d_154337081.png
Fig.2: 磁鉄鉱の結晶構造


一見すると複雑な結晶構造ですが、fcc格子を持つと考えると計算セルの中の原子の数は14個まで減ります。鉄のAサイトの位置は ±(1/8, 1/8, 1/8) で、Bサイトの位置は (0, 0, 1/2), (1/4, 0, 3/4), (0, 1/4, 3/4), (1/4, 3/4, 0) です。酸素のサイトは ±(-u, u±1/4, -u), ±(-u, -u, u±1/4) で磁鉄鉱の場合 u=0.0048 です。結局、入力ファイルは以下のようになります。

c------------------------------------------------------------
go data/fccMagnetite
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
fcc 15.87 , , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 0.9 sra mjw mag 2nd
c 0.001 1.2 sra mjw mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 200 0.035
c------------------------------------------------------------
c ntyp
3
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Fe1 1 1 0.0 2
26 100
Fe2 1 1 0.0 2
26 100
O 1 1 0.0 2
8 100
c------------------------------------------------------------
c natm
14
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
1/8 1/8 1/8 Fe1
-1/8 -1/8 -1/8 Fe1
0 0 1/2 Fe2
1/4 0 3/4 Fe2
0 1/4 3/4 Fe2
1/4 3/4 0 Fe2
0.2548 0.2548 0.2548 O
-0.2548 -0.2548 -0.2548 O
0.2548 -0.0048 -0.0048 O
-0.2548 0.0048 0.0048 O
-0.0048 0.2548 -0.0048 O
0.0048 -0.2548 0.0048 O
-0.0048 -0.0048 0.2548 O
0.0048 0.0048 -0.2548 O
c------------------------------------------------------------


バンド構造


以下にブロッホスペクトル関数(バンド構造)を示します。バンド構造から見てもハーフメタルになっていることが分かります。

Magnetite-up.png
Magnetite-dn.png
Fig.3-4: バンド構造


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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR 強磁性 ハーフメタル 状態密度 分散関係 

AkaiKKRで鉄のeg, t2g状態密度

第一原理計算入門 AkaiKKRのページで紹介されている方法に従ってAkaiKKR(machikaneyama)を用いて鉄のd状態密度をegとt2gに分解してプロットしました。

FePDOS.png

Fig.1: 強磁性体心立方構造鉄のd電子の部分状態密度



AkaiKKRの部分状態密度


AkaiKKR(machikaneyama)ではgoモードでセルフコンシステント計算を行った後、出力されたポテンシャルファイルからdosモードでspecxを実行することによって状態密度を計算することが出来ます。
状態密度は全状態密度とコンポーネントごとに分かれた部分状態密度の両方が出力されます。デフォルトでは部分状態密度は s, p, d, f, ...軌道に分かれて出力されます。第一原理計算入門 AkaiKKRのページではt2gやegに分解した部分状態密度を計算する方法が書かれています。
今回はこれにしたがって source/spmain.f を編集して鉄の部分状態密度を計算しました。

部分状態密度計算用の実行ファイル


第一原理計算入門 AkaiKKRのページに書かれている通りですが、手順を書きます。具体的には source/spmain.f を編集して再び make するだけです。

まず source/spmain.f と実行ファイルの specx のバックアップを取ります。
cp source/spmain.f source/spmain.f.back
mv specx specx.back


次に source/spmain.f の該当部分を第一原理計算入門 AkaiKKRのページに書かれている通りに編集します。(以下のコマンドでは emacs で編集していますが vi でも gedit でもお好きなエディタでどうぞ)
emacs -nw source/spmain.f


まず下記に該当する部分を探します。
c     --- print partial and the total DOS if required.
if(ids .eq. 1 .or. ids .eq. 2 .or. ids .eq. 3) then
estep=dble(e(2,is))-dble(e(1,is))
do 69 i=1,ncmpx
write(*,'(//1x,a,i2,a,i2)')'DOS of component',i
do 69 k=1,kk
xmd(i,k,1,is)=-dimag(wkc(2,i,k))/pi
cc & (-dimag(wkc(4,i,k))/pi)+(-dimag(wkc(2,i,k))/pi)
xmd(i,k,2,is)=-dimag(wkc(4,i,k))/pi
cc & (-dimag(wkc(4,i,k))/pi)-(-dimag(wkc(2,i,k))/pi)
c 69 write(*,'(1x,f7.4,3x,9f8.4)') dble(e(k,is))-ef(is)
c & ,( -dimag(wkc(l,i,k))/pi,l=1,mxl**2)
do 160 l=1,mxlcmp(i)
c do 160 l=1,2
do 160 m=1,2*(l-1)
160 wkc(l**2,i,k)=wkc(l**2,i,k)+wkc(l**2-m,i,k)
c wkc(5,i,k)=wkc(5,i,k)+wkc(6,i,k)+wkc(8,i,k)
c wkc(7,i,k)=wkc(7,i,k)+wkc(9,i,k)
69 write(*,'(1x,f7.4,3x,4f10.4)') dble(e(k,is))-ef(is)
& ,(-dimag(wkc(l**2,i,k))/pi,l=1,mxlcmp(i))
write(*,'(//1x,a/(1x,f12.7,f13.5))')
& 'total DOS',(dble(e(k,is))-estep/2d0-ef(is)
& ,dimag((detl(k,is)-detl(k-1,is))/(e(k,is)-e(k-1,is)))
& ,k=2,kk)
write(*,'(//1x,a/(1x,f12.7,f13.5))')
& 'integrated DOS',(dble(e(k,is))-ef(is)
& ,dimag(detl(k,is)),k=1,kk)


上記の部分をごっそりと削除して、下記の記述に置き換えます。

c     --- print partial and the total DOS if required.
if(ids .eq. 1 .or. ids .eq. 2 .or. ids .eq. 3) then
estep=dble(e(2,is))-dble(e(1,is))
write(*,'(///a)')
& '(PDOS DATA: Ry, s, px, pz, py, dxy, dyz, dz^2, dxz, dx^2-y^2)'
do 69 i=1,ncmpx
write(*,'(//1x,a,i2,a,i2)')'DOS of component',i
do 69 k=1,kk
xmd(i,k,1,is)=-dimag(wkc(2,i,k))/pi
cc & (-dimag(wkc(4,i,k))/pi)+(-dimag(wkc(2,i,k))/pi)
xmd(i,k,2,is)=-dimag(wkc(4,i,k))/pi
cc & (-dimag(wkc(4,i,k))/pi)-(-dimag(wkc(2,i,k))/pi)
69 write(*,'(1x,f7.4,3x,9f8.4)') dble(e(k,is))-ef(is)
& ,( -dimag(wkc(l,i,k))/pi,l=1,mxl**2)
c do 160 l=1,mxlcmp(i)
c do 160 l=1,2
c do 160 m=1,2*(l-1)
c 160 wkc(l**2,i,k)=wkc(l**2,i,k)+wkc(l**2-m,i,k)
c wkc(5,i,k)=wkc(5,i,k)+wkc(6,i,k)+wkc(8,i,k)
c wkc(7,i,k)=wkc(7,i,k)+wkc(9,i,k)
c 69 write(*,'(1x,f7.4,3x,4f10.4)') dble(e(k,is))-ef(is)
c & ,(-dimag(wkc(l**2,i,k))/pi,l=1,mxlcmp(i))
if(is .eq. 1) then
write(*,'(//1x,a/(1x,f12.7,f13.5))')
& 'total_up TDOS_up',(dble(e(k,is))-estep/2d0-ef(is)
& ,dimag((detl(k,is)-detl(k-1,is))/(e(k,is)-e(k-1,is)))
& ,k=2,kk)
write(*,'(//1x,a/(1x,f12.7,f13.5))')
& 'integrated_up IDOS_up',(dble(e(k,is))-ef(is)
& ,dimag(detl(k,is)),k=1,kk)
end if
if(is .eq. 2) then
write(*,'(//1x,a/(1x,f12.7,f13.5))')
& 'total_dn TDOS_dn',(dble(e(k,is))-estep/2d0-ef(is)
& ,dimag((detl(k,is)-detl(k-1,is))/(e(k,is)-e(k-1,is)))
& ,k=2,kk)
write(*,'(//1x,a/(1x,f12.7,f13.5))')
& 'integrated_dn IDOS_dn',(dble(e(k,is))-ef(is)
& ,dimag(detl(k,is)),k=1,kk)
end if


編集したら make を実行します。
make


出来たファイルはpdos用に別名保存するようにしました。ついでにバックアップしておいた通常の specx を復帰させておきます。
mv specx specx.pdos
mv specx.back specx


また source/spmain.f も元に戻しておいたほうがいいでしょう。代わりに編集したバージョンのバックアップを取っておきます。
mv source/spmain.f source/spmain.f.pdos
mv source/spmain.f.back source/spmain.f


鉄の計算


入力ファイルは通常の鉄の計算用のものと基本的には変わりませんが、今回の specx.pdos はd電子までしか計算できないので l=2 とします。また部分状態密度は全状態密度よりもギザギザになりやすいので bzqlty はかなり高めにしました。

c----------------------Fe------------------------------------
dos data/fe
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
bcc 5.27 , , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.0 nrl mjw mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 18 100 0.035
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Fe 1 1 0.0 2
26 100
c------------------------------------------------------------
c natm
1
c------------------------------------------------------------
c atmicx(in the unit of a) atmtyp
0 0 0 Fe
c------------------------------------------------------------


結果として得られる部分状態密度は s, p, py, pz,
dxy, dyz, dz2, dxz, dx2-z2の順に出力されます。
今回は eg=dz2+dx2-y2 と t2g = dxy+dyz+dxz についてプロットしました。


関連エントリ




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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR 状態密度 DOS 

AkaiKKRでPd-Rh二相共存領域

二元系の状態図には、全率固溶型や共融型などいくつかのパターンが存在します。Pd-Rhの二元系では、端成分が共に面心立方構造となっています。そのため高温では固溶体となります。しかしながら、低温では二相に分離します。今回はAkaiKKR(machikaneyama)を利用して、この境界となる温度を求めてみます。

Pd-Rh-520.png

Fig.1: Pd-Rh二元系の合金状態図とAkaiKKR(machikaneyama)によって計算された固溶と二相共存の境界温度(紫:マフィンティン近似, 緑:原子球近似)



熱力学


全エネルギーの組成依存性が上に凸の形になる場合、定性的に二相分離が予想されます。境界温度を推定するためには、二相分離した状態と固溶した状態のギブスエネルギーの差がゼロになる条件を探せばよいことが分かります。

\begin{equation}
G = E + PV - TS
\end{equation}

まず、常圧のみを考えると P≒0 としても影響はほとんどありません。エネルギー E の項には、第一原理計算から得られる全エネルギーの他に格子振動の寄与などが考えられますが、二相分離状態と固溶状態の差は小さいと仮定して無視します。

エントロピーSについても配置のエントロピーのほかに格子振動の寄与などが考えられますが、配置のエントロピーのみを考えることにします。するとRh濃度が x のときの全エネルギーの差と、固溶体の配置のエントロピーは、以下の様になります。

\begin{equation}
\Delta E(x) = E_{\mathrm{Pd_{1-x}Rh_{x}}} - \{ (1-x)E_{\mathrm{Pd}} + x E_{\mathrm{Rh}} \} \\
S_m(x) = - k_B \{ (1-x)\ln (1-x) + x \ln (x) \}
\end{equation}

したがって求める温度は以下のようになります。

\begin{equation}
T(x) = \frac{\Delta E(x)}{S_m(x)}
\end{equation}

計算手法


AkaiKKR(machikaneyama)を用いてPd-Rh合金系の全エネルギーを計算しました。交換相関汎関数にはpbeを用いました。シェルスクリプトPdRh_sh.txtを用いて、組成と格子定数を変化させながら、各組成における最安定な格子定数とそのときの全エネルギーを決定しました。ポテンシャルの形状は、マフィンティン近似と原子球近似(ASA)の両方を試しました。

全エネルギーを計算する際に、状態密度の計算も行いました。端成分の状態密度に関してはecaljでも計算し、クロスチェックしました。

結果と議論


Fig.2-3に純粋なPdとRhの状態密度を示します。AkaiKKRで計算した結果とecaljで計算した結果が良く一致していることが分かります。

Pd-DOS.png
Fig.2: Pdの状態密度

Rh-DOS.png
Fig.3: Rhの状態密度


Fig.4にPdの体積と全エネルギーの関係をプロットしたものを示します。ゼロ気圧における体積V0とそのときの全エネルギーE0を得るためにBirch-Murnaghanの状態方程式にフィッティングしました。

\begin{equation}
E(V) = E_0 + \frac{9V_0B_0}{16}\left\lbrace \left[ \left( \frac{V_0}{V} \right)^{\frac{2}{3}} -1 \right]^3 B_0^\prime \\
+ \left[ \left( \frac{V_0}{V} \right)^{\frac{2}{3}} -1 \right]^2 \left[ 6 -4 \left( \frac{V_0}{V} \right)^{\frac{2}{3}} \right] \right\rbrace
\end{equation}

PdRh_0.png
Fig.4: Pdの体積と全エネルギーの関係


フィッティングする体積の範囲はV0付近でフィッティング結果が良くなるように適切に選びます。

得られた全エネルギーから固溶と二相分離の境界の温度をプロットしたのがFig.1です。計算結果は、二元合金状態図集の状態図と比較してあります。Pd-Rh合金の計算ではASAの結果が実験結果を驚くほどよく再現しています。しかしながら、今回のような良い結果が得られるのは、どうやら周期表で同じ周期に隣接している元素同士の合金だけのようです。

関連エントリ




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付録


このエントリで使用したファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




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