AkaiKKRでハーフメタル

第27回のCMDワークショップAkaiKKR(machikaneyama)の実習で習ったハーフメタルの計算を復習するために、シェルスクリプトを作成して、片っ端から計算しました。

CrAs587.png

Fig.1: 閃亜鉛鉱(zinc blende)構造のCrAsの格子定数を a = 5.87 Å としたときの状態密度。このようにアップスピン側が金属的なバンド構造で、ダウンスピン側が半導体的なバンド構造を持つ物質をハーフメタルと呼ぶ。



ハーフメタル


第27回のCMDワークショップAkaiKKR(machikaneyama)の実習で、ハーフメタルの計算を習いました。
ハーフメタルとはFig.1に示すような、アップスピン側のバンドが金属的、ダウンスピン側のバンドが半導体的なバンド構造を持つ物質の事を指します。紛らわしいですがecaljで半金属α-スズで計算した半金属(セミメタル)とは別の概念です。

ハーフメタルは強磁性体となり、そのスピン磁気モーメントは必ずボーア磁子の整数倍になります。これは以下のような理由からです。
まず、ダウンスピンは、価電子帯のすべてのバンドが埋まっているので、電子数は整数値になります。そして、全電子数からダウンスピンの電子数を引いた残りも当然ながら整数になります。従って、アップスピンとダウンスピンの電子数の差であるスピン磁気モーメントも必ず整数になるわけです。

今回計算する半金属の候補は以下の6つの化学組成のものです。
  • CrP
  • CrAs
  • CrSb
  • MnP
  • MnAs
  • MnSb

これらの標準状態の結晶構造は、必ずしも閃亜鉛鉱(zinc blende)構造ではないのだと思いますが、閃亜鉛鉱構造をもつ色々な物質を基板として、その上に結晶を成長させることにより、閃亜鉛鉱構造をもち、かつ、さまざまな格子定数となる半金属を実際に作成することができるとの事です。

今回計算する格子定数は 4.98, 5.45, 5.65, 5.87, 6.06, 6.10, 6.48 Å の7種類です。

化学組成と格子定数の組み合わせによって、半金属になる場合とならない場合があります。
第27回のCMDワークショップでは、受講者が分担して各組成の計算を行いましたが、今回はすべての組成と格子定数を一気に計算するシェルスクリプトを作成しました。

計算手法


いつもどおり、入力ファイルのテンプレートをあらかじめ用意しておき、一部のパラメータを sed で置き換えて入力ファイルを作成するという手順を踏みます。
以下にgo計算のための入力ファイルのテンプレートとそれを置換するためのCシェルのシェルスクリプトを示します。

c----------------------MnSb----------------------------------
go data/AATOMBATOMALATT
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
fcc ABOHR , , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.0 sra mjw mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 200 0.03
c------------------------------------------------------------
c ntyp
4
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
AATOM 1 1 0.0 2 AANUM 100
BATOM 1 1 0.0 2 BANUM 100
Vc1 1 1 0.0 0 0 100
Vc2 1 1 0.0 0 0 100
c------------------------------------------------------------
c natm
4
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0 0 0 AATOM
0.25 0.25 0.25 BATOM
0.5 0.5 0.5 Vc1
0.75 0.75 0.75 Vc2
c------------------------------------------------------------


#!/bin/csh -f

## *** プロジェクト名 ***
set PROJECT="HalfMetal"
## ポテンシャルファイル名
set POTENTIAL=${PROJECT}

## *** 格子定数のリスト (Angstrom) ***
set ALATT_LIST=( 4.98 5.45 5.65 5.87 6.06 6.10 6.48 )
set AATOM_LIST=( Cr Mn )
set AANUM_LIST=( 24 25 )
set BATOM_LIST=( P As Sb )
set BANUM_LIST=( 15 33 51 )

## *** 第一原理計算 ****
set i=0
foreach AATOM ( ${AATOM_LIST} )
set i=`echo "${i}+1" | bc -l`
set AANUM=${AANUM_LIST[$i]}
set j=0
foreach BATOM ( ${BATOM_LIST} )
set j=`echo "${j}+1" | bc -l`
set BANUM=${BANUM_LIST[$j]}
foreach ALATT ( ${ALATT_LIST} )
set ABOHR=`echo "scale=5; ${ALATT}/0.52917721092" | bc -l`
## 強磁性用入力ファイルの作成
sed 's/'ABOHR'/'${ABOHR}'/g' template/${PROJECT}.in | sed 's/'ALATT'/'${ALATT}'/g' | sed 's/'AATOM'/'${AATOM}'/g' | sed 's/'AANUM'/'${AANUM}'/g' | sed 's/'BATOM'/'${BATOM}'/g' | sed 's/'BANUM'/'${BANUM}'/g' > in/${AATOM}${BATOM}${ALATT}.in
## LMD用入力ファイルの作成
sed 's/'ABOHR'/'${ABOHR}'/g' template/${PROJECT}-lmd.in | sed 's/'ALATT'/'${ALATT}'/g' | sed 's/'AATOM'/'${AATOM}'/g' | sed 's/'AANUM'/'${AANUM}'/g' | sed 's/'BATOM'/'${BATOM}'/g' | sed 's/'BANUM'/'${BANUM}'/g' > in/${AATOM}${BATOM}${ALATT}-lmd.in
## 強磁性状態の計算
specx out/${AATOM}${BATOM}${ALATT}.out
## LMD初期ポテンシャルの作成
cp data/${AATOM}${BATOM}${ALATT} data/HalfMetal
fmg < HalfMetal.fmg
cp data/HalfMetal_lmd data/${AATOM}${BATOM}lmd${ALATT}
## LMD状態の計算
specx out/${AATOM}${BATOM}${ALATT}-lmd.out
end
end
end


5.87ÅのCrAsの計算結果


すべてのデータを眺めながら系統的な議論を行うのが本筋なのですが、今回は格子定数 a=5.87 Å のCrAsについてのみ結果を見てみます。
Fig.1は計算された状態密度で確かに半金属になっています。磁気モーメントの計算値は 2.99028 μB で、これもほとんど整数値の3とみなすことができます。

次にキュリー温度を求めます。強磁性状態と局所モーメント不規則状態の全エネルギーはそれぞれ
EFMG=-6613.3040012 (Ry)
ELMD=-6613.2841922 (Ry)
となりました。

ボルツマン定数は kB = 6.3336*10-6 (Ry/K) なので
\begin{equation}
T_C = \frac{2}{3}\frac{E_{FMG}-E_{LMD}}{k_B}=2085 (\mathrm{K})
\end{equation}
となり、キュリー温度は非常に高いことが予想されました。

関連エントリ




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付録


このエントリで使用したファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


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ecaljで仮想結晶近似

ecaljの仮想結晶近似(VCA)の機能を用いてbcc Fe1-xCoxの状態密度を計算しました。
その結果、AkaiKKRでFeCoの磁気モーメントと格子定数で計算したコヒーレントポテンシャル近似(CPA)の結果と似たような挙動が確認できました。

FeCo.gif

Fig.1: 仮想結晶近似(VCA)によるbcc Fe1-xCoxの状態密度



合金の電子状態


固体物理の多くの第一原理計算パッケージでは、結晶の周期性を利用しているため不規則構造の計算が苦手です。AkaiKKR(machikaneyama)は、コヒーレントポテンシャル近似(CPA)を用いて不規則性を扱います。合金を扱うほかの方法としては、スーパーセル法(参考: AkaiKKRでスーパーセル その1)などがあります。これ以外にもCPAよりももう一歩手前の近似法として仮想結晶近似(VCA: Virtual Crystal Approximation)というものが存在します。

ecaljのマニュアルを読むと、どうやらVCAが使えるようなので、今回は体心立方構造(bcc)のFe1-xCoxの状態密度を計算してみました。

計算手順


ecaljのマニュアルのP15にはYou can use Z=37.5 for virtual crystal approximation, however, you can not do it in ctrls now. Edit it in ctrl file.のように書いてあります。そこで通常通りbcc鉄の結晶構造ファイルを作り ctrlgenM1.py--nspin=2 のオプションを与えて制御ファイルを作成します(参考: ecaljで強磁性鉄のスピン分極計算)。

この後、作成した制御ファイルの原子番号Zを編集します。例えばFe0.8Co0.2なら、原子番号が26の鉄と27のコバルトの合金なので 26*0.8 + 27*0.2 = 26.2ということだと思います。(しかしこれだとFe0.9Ni0.1でも同じ結果になってしまう?私が何か勘違いしている?)

結果


以下に計算結果の純鉄とFe0.8Co0.2の状態密度を示します。

FeCo0.png
FeCo20.png

Fig.2-3: bcc Feとbcc Fe0.8Co0.2の状態密度


コバルト濃度を増していくと、アップスピンの状態密度が低エネルギー側へ移動していくような挙動が見られました。これはAkaiKKRでFeCoの磁気モーメントと格子定数で計算した結果と似たような挙動であることが分かります。

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tag: ecalj 強磁性 仮想結晶近似 VCA 

二元合金/鉄合金状態図集

AkaiKKR(machikaneyama)は不規則合金のDFT計算を得意としています。ところで世の中には、どのような合金が存在しているのでしょうか?
このような情報が一目で分かるのが、金属の状態図です。興味のある物質の状態図はGoogle画像検索などで見つかることもありますが、やはりちゃんとした文献で見ておきたいと思います。



そこで心強いのが、状態図が一覧になっている状態図集です。アグネ技術センターから二元合金状態図集鉄合金状態図集―二元系から七元系までが出版されています。

二元合金状態図集は5,600円+税で鉄合金状態図集―二元系から七元系までに至っては7,000円+税という結構なお値段ですが、とうとう購入してしまいました。

特に二元合金状態図集はAkaiKKRを使うなら持っていると便利だと思います。規則相、不規則相と共に結晶構造も書いてあり、磁性体の場合は、磁気変態温度(キュリー温度など)も載っています。

なお、二元合金状態図集の後ろのほうには、簡単な状態図の読み方の解説も載っていますが、私としては見方・考え方 合金状態図が読みやすかったので、あわせて宣伝しておきます。

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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR CPA 強磁性 合金 

AkaiKKRでfccNiMnの磁性と格子定数

AkaiKKR(machikaneyama)を用いて面心立方構造(fcc)の不規則NixMn100-x合金の計算を強磁性状態、反強磁性状態、非磁性状態について行いました。その結果、最安定な磁気状態や格子定数の組成依存性が実験結果を(少なくとも定性的には)再現できました。

fccNiMn.gif

Fig.1: fcc NixMn100-x不規則合金の全エネルギーと自発磁化



強磁性・反強磁性転移


志賀正幸著磁性入門―スピンから磁石まで (材料学シリーズ)工学と理学のはざまで - インバー研究の流れ -などに、不規則fccNiMn合金の格子定数と磁性の関係が議論されています。

以下に示すFig.2は工学と理学のはざまで - インバー研究の流れ -から引用したNi-Mn系の実験から得られている格子定数と磁気モーメントです。右端の純ニッケルでは 0.6 μB の磁気モーメントを持つ強磁性体ですが、マンガン濃度が増していく(ニッケル濃度が減っていく)とNi70Mn30よりマンガン側で自発磁化がなくなります。
これは、合金が非磁性になるのではなく、局所モーメントを持ったまま反強磁性体になるからであると書かれています。つまり、この系では(L12型規則相のNi3Mnを除けば)結晶構造が面心立方構造(fcc)から変化せず、格子定数と磁性だけが変化することになります。

NiMn.png

Fig.2: fcc NiMn合金の格子定数とバルクの磁気モーメント 工学と理学のはざまで - インバー研究の流れ -より


AkaiKKRでγ-Mnの反強磁性ではL10型に似た単純な反強磁性の第一原理計算をAkaiKKR(machikaneyama)を用いて行いました。今回は、この単純な反強磁性を仮定してfcc NixMn100-xの計算を行いました。

計算方法


基本的にはAkaiKKRでγ-Mnの反強磁性のときの入力ファイルをコヒーレントポテンシャル近似(CPA)を用いた合金の計算に拡張するだけです。強磁性初期ポテンシャルから、反強磁性初期ポテンシャルをつくるのには、他のパターンもあるのかもしれませんが、1種類だけを考えました。

今回もこれまで同様、強磁性、反強磁性、非磁性の入力ファイルのテンプレートを作成しておいて、格子定数と原子の濃度をパラメータとして変化させながら計算させるシェルスクリプトを作成しました。反強磁性状態の初期ポテンシャルは、強磁性状態のポテンシャルから作成しました(参考:AkaiKKRで反強磁性クロム)。以下に示すのは反強磁性状態の入力ファイルのテンプレートです。

c-----------------------L10fccMn-----------------------------
go data/L10fccNiMn_XINI_AFM_ABOHR
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
bso ABOHR , 1 , 1 , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.2 sra gga91 mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 8 500 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
2
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
NiMn1 2 1 0.0 2 28 XINI
25 XIMN
NiMn2 2 1 0.0 2 28 XINI
25 XIMN
c------------------------------------------------------------
c natm
2
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0 0 0 NiMn1
1/2 0 1/2 NiMn2
c------------------------------------------------------------


計算結果と議論


冒頭のgif動画は、結果の全磁気モーメント(自発磁化)と全エネルギーを格子定数ごとにプロットしたものです。
赤が反強磁性の初期ポテンシャルから計算した結果です。反強磁性状態が保たれているか、あるいは非磁性状態になっている場合は、全磁気モーメントはゼロになります。こうニッケル濃度側では、有限の自発磁化を持ってしまい、初期ポテンシャルを反強磁性にしても強磁性の解が得られています。

同様に、緑の線で示したのが強磁性初期ポテンシャルから計算したものです。格子定数が小さくなると磁気モーメントがなくなり、非磁性になっているのが分かります。

青はスピン分極を含まない、非磁性の計算で磁気モーメントは常にゼロです。

グラフの下のパネルは、全エネルギーの比較です。
縦軸に数値は振っていませんが、同じ化学組成で相対的な比較ができるようにスケーリングしてあります。

fccNi0Mn100.png

Fig.3: fcc Mnの全エネルギーと磁気モーメント


例えば純マンガンの場合は、反強磁性状態が最安定で、格子定数は a=6.9 Bohr 付近であることが分かります。
強磁性状態と非磁性状態の比較を行うと a=7.1 Bohr 以下では強磁性が消えて、2つの計算は同じ結果を示すことがわかります。高体積側では強磁性状態に極小値がありそうです。

fccNi60Mn40.png

Fig.4: fcc Ni60Mn40の全エネルギーと磁気モーメント


ニッケル濃度を上げて行くと、強磁性状態の全エネルギーが相対的に下がっていきます。Ni60Mn40まで行くと、非磁性状態よりも強磁性状態のほうが安定になりますが、まだ反強磁性が最安定です。

fccNi75Mn25.png

Fig.5: fcc Ni75Mn25の全エネルギーと磁気モーメント


Ni75Mn25から反強磁性初期ポテンシャルの計算でも、正味の磁化が出てくるようです。強磁性計算との全エネルギー差はほとんどないのですが、磁気モーメントには違いがあるので、これらは別の解であるといえます。

fccNi85Mn15.png

Fig.6: fcc Ni85Mn15の全エネルギーと磁気モーメント


Ni85Mn15では、強磁性初期ポテンシャルの計算結果が最低エネルギー状態となります。
全エネルギーの差が小さいので、本当はどちらの磁気構造が安定なのかは微妙な議論になりますが。

次に平衡格子定数についてみてみます。
ニッケル濃度が薄い側からNi50Mn50程度までは、格子定数にほとんど変化が見られないように思います。
それよりも高濃度では、強磁性状態が安定になる前であっても低体積側へ最低エネルギーが移動しているように見えます。

これらの結果を好意的に捉えるなら、Fig.2に示した実験結果をかなりよく再現しているように思えます。

例えば、実験結果では、純ニッケルからマンガン濃度を増していったときには、自発磁化が大きくなっていき、Ni90Mn10付近で最大値をとり、その後、減少していきNi90Mn10付近で自発磁化が消滅します。
このことを踏まえて、計算結果を見てみます。強磁性初期ポテンシャルの計算だけを見ると、純ニッケルからマンガン濃度を増していくにつれて、自発磁化は単純に大きくなっていきます。しかしながら、反強磁性初期ポテンシャルの計算を見ると、単純な強磁性状態とは異なる自発磁化を持った解が得られる組成領域が存在していることが分かります。そしてその解は、本当に微妙な議論ですが、単純な強磁性初期ポテンシャルの結果よりもエネルギー的に安定な領域があってもよさそうです。
このあたりは微妙な議論なので、どの程度本当の物理を再現できているのかは難しいと思います。

関連エントリ




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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR CPA 強磁性 反強磁性 

AkaiKKRでコバルトの格子定数 その4

六方最密充填構造(hcp)の結晶はaとc/aの二つの格子定数を指定する必要があります。第一原理計算から、全エネルギーの最小化の条件からこれらのパラメータを決めることができます。
今回は、Equation of State and equilibrium configuration of hcp Titaniumで紹介されている準ニュートン法を使ってc/aの最適化を行うスクリプトを作成し、hcpコバルトの計算を行ってみました。


c/aの最適化


体心立方構造(bcc)や面心立方構造(fcc)など立方晶系の結晶は、格子定数が一種類しかないので、比較的簡単に格子定数の最適化が可能です。しかしながら、より対称性の低い構造の結晶の場合、変化させなければならない格子定数がたくさんになり大変になります。

ねがてぃぶろぐでは、これまでAkaiKKR(machikaneyama)を用いて六方最密充填構造(hcp)のコバルトに対して、以下の3つのエントリで格子定数の最適化を試みました。

その後、Equation of State and equilibrium configuration of hcp Titaniumというページを見つけたので、今回は同様のスクリプトを作成してみました。一連のエントリの名前の統一感が無くなってしまっていますが、今回はトータルで4回目という事で「その4」としました。

マフィンティン半径


AkaiKKRでコバルトのc/a その1, その2で書いた通りAkaiKKRはマフィンティン球近似を行っているので全エネルギーの比較をする際には、格子体積とマフィンティン球の体積の比を一定にしておく必要があります。そして、この条件を満たす範囲でMT半径をできるだけ大きく採るのが好ましいはずです。

具体的にはどのようにこの条件を満たすのがベストなのかはわかりませんが、今回はシェルスクリプトの中にあらかじめc/aの範囲が超えてはいけない上限と下限を与えておくことにしました。(ETA0とETA1)

準ニュートン法のスクリプトのアルゴリズム


E(η)の関係は、実際にはどのような関数の形をしているかわかりませんが、最適なη(≡c/a)で全エネルギーEが最小になる、下に凸の形をしているはずです。そこでE(η)の関係が(少なくともηの最適値の近くの比較的狭い範囲では)二次関数で近似できると仮定します。
Maximaで3点を通る放物線で書いた通り、独立な3点 (η1, E1), (η2, E2), (η3, E3)が分かっていれば、その3点を通る放物線を求めることができます。そこで、適当にηを3点ほど選んで、その時の全エネルギーの第一原理計算の結果から、エネルギーが最小になるηの値を推定することを考えます。

E(η)=a(η-ηmin)2+Emin

η(≡c/a)の初期値をηiniとしたときにE(ηini),E(0.99*ηini),E(1.01*ηini)の全エネルギーを計算したのち、放物線の頂点でもう一度第一原理計算を行うスクリプトを書きます。

コバルトのc/aの計算


作成したシェルスクリプトは qnewt_sh.txt で、入力ファイルのテンプレートは hcpCo_Template_in.txt です。
以下のようなディレクトリ構成とします。
hcpCo/─┬─analysis/
├─in/
├─out/
├─data/
├─template/─hcpCo_Template.in
└─qnewt.sh

このシェルスクリプトを格子体積を 150 Bohr3 c/aの初期値を 1.60 として実行してみました。
./qnewt.sh 150 1.60

すると次のような出力が表示されます。
1.60000000 -5573.7540546 -3.17105
1.58400000 -5573.7533001 3.15755
1.61600000 -5573.7544598 3.24135
Guess:
1.62701252 -5573.7545691 3.24756
Next:
./qnewt.sh 150 1.62701252

Guessの値が推定値です。
Nextの次の行に書かれている
./qnewt.sh 150 1.62701252

をコピペして実行すれば、今回の推定値を初期値として次の計算を開始することができます。
次の計算の結果は 1.62837316 がc/aの推定値となり、前回の値である 1.62701252 とほぼ同じ値です。更にもう一回やっても 1.62739097 となりこれ以上は改善しそうにありません。

この一連の計算の各ステップの推定値は analysis ディレクトリにファイルを作って出力するようになっています。
上記の例では analysis/hcpCo_150.txt というファイルが作成されているはずです。
1.62701252 -5573.7545691 3.24756
1.62837316 -5573.7545706 3.24800
1.62739097 -5573.7545698 3.24769


今回はhcp構造のc/aを決定するためにシェルスクリプトを作成しましたが、似たような方法で正方晶(tetragonal)のc/aを決めるためにも使えるでしょうし、格子定数が1種類しかない立方晶(cubic)なら平衡格子定数を決めるためにも使えると思います。
ただし(今回に限った話ではありませんが)注意しなければならない点として、シェルスクリプト自体は第一原理計算が正しく収束しているかを感知しません。したがってユーザー側が目視で確認を行う必要があります。

関連エントリ




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付録


このエントリで使用したファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


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