Scilabで一次元のラプラス方程式 その3

Scilabで一次元のラプラス方程式 その1その2では一次元のラプラス方程式を 0 ≦ x ≦ 1 の範囲で以下の様なディリクレの境界条件で解きました。

一次元ラプラス方程式:
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0

ディリクレ境界条件:
u = 1 (x = 0)
u = 0 (x = 1)

今回は、同様の方程式を x = 0 に関して以下の様なノイマンの境界条件で解きました。

ノイマン境界条件:
∂u/∂x = -1 (x = 0)


ラプラス方程式と境界条件


Scilabで一次元のラプラス方程式 その1その2では一次元のラプラス方程式をScilabを用いて数値的に解きました。

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0

偏微分方程式を解くためには、この式のほかに幾つかの境界条件が必要です。
偏微分方程式の数値解法入門によると偏微分方程式の境界条件に関して以下の様に書かれています。

境界上においてuの値(関数値)が指定されている境界条件を第1種の境界条件あるいディリクレ(Dirichlet)の境界条件という.
一方,境界上でその境界の外向き法線方向nの微分係数∂u/∂nが指定されている場合がある.これを第2種の境界条件あるいはノイマン(Neumann)の境界条件という.

Scilabで一次元のラプラス方程式 その1その2、及びScilabで熱拡散方程式 その1その2その3は全てディリクレの境界条件でした。そこで今回は、一次元のラプラス方程式を境界の片側をノイマンの境界条件で、反対側をディリクレの境界条件として数値的に解くことにします。

連立方程式の立て方はScilabで一次元のラプラス方程式 その1の流儀で行きます。

問題設定


解くべき方程式は、一次元のラプラス方程式です。

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0

ただし 0 ≦ x ≦ 1
境界条件は

x = 0 にて
\frac{\partial u}{\partial x} = -1

x = 1 にて
u = 0

とします。


001_20140220011035c9c.png
Fig.1: 計算の設定(と計算結果)


まず前回までと同様にディリクレ境界条件と偏微分方程式から以下の連立方程式が立ちます。

u1 - 2u2 + u3 = 0
u2 - 2u3 + u4 = 0
u3 - 2u4 + u5 = 0
u5 = 0

当然ながらこれだけでは変数の数に対して方程式の数が足りないので、ノイマンの境界条件についても考えます。1階の偏微分をを前進差分近似で表すと以下の様になります。

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{u_{i+1} - u_{i}}{\Delta x}

より良い精度で計算をするためには(-Δx,u0)の点も用意して中心差分近似を使うべきなのでしょうが、今回は前進差分近似で済ませることにします。

これがx = 0 で ∂u/∂x = -1 なので

\frac{u_2 - u_1}{\Delta x} = -1

したがって

u1 - u2 = Δx

結局、連立方程式は以下の様になります。

u1 - u2 = Δx
u1 - 2u2 + u3 = 0
u2 - 2u3 + u4 = 0
u3 - 2u4 + u5 = 0
u5 = 0

これをScilabで連立一次方程式の方法で解くプログラムがLaplace1d3_sce.txtです。

clear;

// xの刻み幅
dx = 1 / 4;
// グラフ用のx座標
x = [0:dx:1];

// *** 連立方程式の定義 ***
A = [1 -1 0 0 0;
1 -2 1 0 0;
0 1 -2 1 0;
0 0 1 -2 1;
0 0 0 0 1];
b = [dx;
0;
0;
0;
0];

// *** ラプラス方程式の解 ***
u = A \ b;

// *** グラフのプロット ***
// グラフのプロット
plot(x,u,'-ob');
// グラフの装飾
xlabel("x");
ylabel("u");
zoom_rect([0,0,1.2,1.2]);


境界条件の意味


ラプラス方程式は、熱拡散方程式や波動方程式の時間微分の項をゼロと置いたものでした。従って一次元のラプラス方程式自体の物理的なイメージは、例えば、充分に長い時間を置いた針金の中の温度分布などとして理解できます。

Scilabで熱拡散方程式 その1その2その3で分かるとおり、ディリクレの境界条件は、境界での温度を指定することに対応します。
一方で、ノイマンの境界条件は、境界での温度勾配を指定することに対応します。熱伝導に対するフーリエの法則は以下の様に表すことができます。

q = k \frac{\partial T}{\partial x}

(q: 熱フラックス, k: 熱伝導度, T: 温度, x: 位置)

フーリエの法則の式から明らかなように、境界での温度勾配を指定するということは、境界での熱流量を指定することと同じです。特に ∂T/∂x = 0 の場合は、熱流量がゼロということなので、境界が断熱的であることを意味しています。

関連エントリ




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器




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