AkaiKKRでコバルトの結晶磁気異方性

AkaiKKRでは、結晶格子の指定に基本ベクトルを利用することができます。このようにしておくと、結晶格子を簡単に回転させたり歪ませたりする事ができます。
今回は、結晶を回転させる例として六方最密充填構造(hcp)のコバルトの結晶磁気異方性を調べます。AkaiKKRでは、スピン軌道相互作用を含む相対論計算(srals)を行うと、磁化の向きをz軸方向にとるようです。そこで結晶(と同時に磁化の向き)を回転させたときに全エネルギーがどのように変化するかから磁化容易軸を探しました。


SRALS.png
Fig.1: 全エネルギーとx軸周りの回転角度の関係。θ=0度でc軸とz軸が平行となり、θ=90度で直行する。


結果は、磁化の向きがc軸方向と平衡になったときに全エネルギーが最小となりました。この事はコバルトの磁化容易軸がc軸であるという実験事実と調和的となりました。この方法が結晶磁気異方性を調べるために妥当な方法なのかは良く分かりませんが、少なくとも結晶を回転させることはできました。


結晶の基本ベクトルと回転


AkaiKKR(machikaneyama)では結晶構造の指定にブラベ格子と基本構造の組み合わせを利用します。ブラベ格子の指定方法には、キーワードを使う方法(AkaiKKRのブラベ格子)と基本ベクトルを直接指定する方法(AkaiKKRの基本並進ベクトル その1その2)があります。

基本ベクトルは、その名前のとおりベクトルです。AkaiKKRは基本ベクトルの成分を直交座標系で表現します。
AkaiKKRの基本並進ベクトル その2では、六方最密充填構造(hcp)コバルトを、直交座標系におけるz軸を中心に反時計回りに30度回転させた場合のファイルを作成しました。

より一般的に、ベクトルは回転行列をかけることによって任意の角度に回転させることができます。
例えばベクトルa0=(ax0, ay0, az0)をx軸の周りにθだけ回転させるときの回転行列は以下のようになります。

matrix001.png

これを縦ベクトルで成分表示したa0ベクトルにかけると

\begin{equation*}\begin{pmatrix}a_x \\a_y \\a_z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & \cos\theta & -\sin\theta \\0  \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{x0} \\a_{y0} \\a_{z0}\end{pmatrix}\end{equation*}

同様にb0ベクトルc0ベクトルも回転させると、各成分は以下のようになります。

ax = ax0
ay = ay0cosθ - az0sinθ
az = ay0sinθ + az0cosθ

bx = bx0
by = by0cosθ - bz0sinθ
bz = by0sinθ + bz0cosθ

cx = cx0
cy = cy0cosθ - cz0sinθ
cz = cy0sinθ + cz0cosθ

コバルトの結晶磁気異方性


強磁性体の自発磁化の方向は、結晶の特定の方向に向きやすい性質があります。磁化が向きやすい方向を磁化容易軸、向きにくい方向を磁化困難軸とよびます。hcp構造の強磁性金属であるコバルトは、結晶のc軸方向に磁化容易軸を持っていることが知られています。

AkaiKKRでは相対論の効果を取り入れるのに、スピン軌道相互作用を含まないスカラー相対論計算(sra)とスピン軌道相互作用まで含むフルの相対論(srals)の両方が可能です(AkaiKKRで鉛の相対論計算)。結晶磁気異方性の主たる起源としてはスピン軌道相互作用が挙げられるということですが(磁気異方性(Wikipedia))、AkaiKKRでスピン軌道相互作用の計算をすると、スピン量子化軸は、直交座標系のz軸方向にとられるようです。

そこでスピン軌道相互作用を含む相対論の計算を、hcpコバルトのc軸の方向を変えながら行うことで、全エネルギー最小の条件から磁化容易軸の方向が決まるのではないかと考えました。(ただしこの考え方が正しいのかは良く分かりません。)

計算手法


基本ベクトルをx軸の周りに0度から90度まで10度ごとに回転させた入力ファイルをスカラー相対論(sra)とスピン軌道相互作用まで含めた相対論(srals)の両方で計算しました。

以下に示すのが、入力ファイルのテンプレートです。

c----------------------Co------------------------------------
go data/rotCo_SRALS_DEGREE
c------------------------------------------------------------
c brvtyp
aux
AX AY AZ
BX BY BZ
CX CY CZ
4.74
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.4 srals gga91 mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 8 200 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Co 1 1 0.0 2
27 100
c------------------------------------------------------------
c natm
2
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0a 0b 0c Co
1/3a 2/3b 1/2c Co
c------------------------------------------------------------


上記入力ファイルのテンプレートから、c軸の向きを変化させた入力ファイルを作成しセルフコンシステント計算を実行するシェルスクリプトがrotation_sh.txtです。

結果と議論


予想通りスカラー相対論の計算に関しては、回転をさせても全エネルギーに変化は見られませんでした。一方でスピン軌道相互作用を考慮に入れたフル相対論の結果は冒頭のFig.1に示したような角度依存性が見られました。θ=0度で全エネルギーが最小となり、これは結晶のc軸と直交座標系のz軸が平行になるときに対応します。すなわち、c軸方向に磁化の向きをとったという意味です。逆にθ=90度のときに全エネルギーが最大になり、これは磁化の向きがab面方向にあるときです。
実験的に知られている磁化容易軸はc軸方向なので、計算結果は実験事実と調和的であるといえます。

ただし、今回はコバルトだけに触れますが、体心立方構造(bcc)の鉄や面心立法構造(fcc)のニッケルについて同様の計算を行うと、結果は微妙な感じです。なので、この方法が結晶磁気異方性を調べるために妥当な方法なのかは確信が持てません。

関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したLTspiceのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


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VESTAでAkaiKKRのための基本並進ベクトル

個人的にはAkaiKKRで複雑な結晶構造を持った結晶の第一原理計算を行う事はあまりないのですが、複雑な結晶構造の入力ファイルを簡単に作成できれば便利だとは思います。
今回は、結晶構造を指定するのに非常に良く使われるcifファイルからVESTAを利用して出力することの出来るVASP用の入力ファイルを流用することを考えます。


AkaiKKRのための基本並進ベクトル


結晶構造は、格子(lattice)と基本構造(basis)の組み合わせによって表現されます(参考:結晶学 Crystruct.info)。
AkaiKKR(machikaneyama)でも格子と基本構造の組み合わせによって結晶構造を指定します。格子を指定する方法は、ブラべ格子の種類をキーワードで指定する方法(AkaiKKRのブラベ格子)と基本並進ベクトルで指定する方法(AkaiKKRの基本並進ベクトル その1その2)があります。

いずれにせよ、結晶構造を指定するのために必要十分な情報があれば、それを格子と基本構造へと変換するのは簡単なはずです。
今回は、結晶構造を指定するのに非常に良く使われるcifファイルからVESTAを利用して出力することの出来るVASP用の入力ファイルを流用することを考えます。

六方最密充填構造コバルト(hcp-Co)の基本並進ベクトルと基本構造


まず目標の結晶のcifファイルを入手します。
入手先の候補はいろいろ考えられますが、今回は六方最密充填構造のコバルトのcifファイルGitHubの該当ページからダウンロードします。

次に、結晶構造描画ソフトであるVESTAでcifファイルを開きます。
VESTAでLaMnO3ペロフスカイトなどで結晶構造の描画の方法について説明していますが、今回は結晶構造を眺めるのが目的ではないので、次に進みます。

cifファイルを開いた状態で[File]→[Export Data...]と選択するとファイル保存のダイアログが立ち上がります。
ここでファイルの種類としてVASP (POSCAR;*.vasp)を選択し、保存をクリックします。
するとOptionウインドウが立ち上がり、座標系の選び方を聞いてくるので、今回はFractional coordinatesを選択します。(もちろんCartesian coordinatesを選べば直交座標系になります。なおNiggli reduced cellはよくわからないので今回はパスします。)

保存されたファイルをテキストエディタで開くと、以下のようになっているはずです。
見ての通り、前半が基本並進ベクトルで、後半が基本構造です。

Co
1.0
2.5071001053 0.0000000000 0.0000000000
-1.2535500526 2.1712123810 0.0000000000
0.0000000000 0.0000000000 4.0686001778
Co
2
Direct
0.333333343 0.666666687 0.250000000
0.666666627 0.333333313 0.750000000


ただし、基本並進ベクトルの単位はオングストロームとなっているので、基本並進ベクトルaの大きさで規格化したのち、基本並進ベクトルaの大きさ自体も原子単位系のBohrへと換算します。(c.f. 1 Bohr = 0.52917721092 Å)

c----------------------Co------------------------------------
go data/coAUX
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
aux
1.00000 0.00000 0.00000
-0.50000 0.86603 0.00000
0.00000 0.00000 1.62283
4.738
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.0 nrl mjw mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 50 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Co 1 1 0.0 2
27 100
c------------------------------------------------------------
c natm
2
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0.333333343a 0.666666687b 0.250000000c Co
0.666666627a 0.333333313b 0.750000000c Co
c------------------------------------------------------------


その結果得られた入力ファイルが上記になります。
基本構造の下位の桁が少し怪しいことになっていますが、その点に目をつぶれば、正しく結晶構造を指定できています。

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tag: AkaiKKR machikaneyama VESTA ブラべ格子 基本並進ベクトル 六方最密充填構造 コバルト 

AkaiKKRの基本並進ベクトル その2

AkaiKKRの基本並進ベクトル その1の続きとして、六方最密充填構造(hcp)のコバルトの入力ファイルを基本並進ベクトルを用いて作成しました。基本並進ベクトルの指定の仕方は直交座標系で任意の回転をさせても変わらないので、色々な取り方があります。
今回は前回と比較してxy平面上で反時計回りに30°回転させた場合のファイルを作成してみました。


基本並進ベクトルと任意の回転


AkaiKKRの基本並進ベクトル その1ではAkaiKKR(machikaneyama)の入力ファイルで基本並進ベクトル利用して結晶構造を入力する方法を書きました。

この際、六方最密充填構造を例にとって、以下のような配置のコバルトの入力ファイルを作成しました。

001_20150513120148d3b.png


c----------------------Co------------------------------------
go data/coAUX
c------------------------------------------------------------
c brvtyp
aux
0.50000 -0.86603 0.00000
0.50000 0.86603 0.00000
0.00000 0.00000 1.62150
4.74
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.0 nrl mjw mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 50 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Co 1 1 0.0 2
27 100
c------------------------------------------------------------
c natm
2
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0a 0b 0c Co
1/3a 2/3b 1/2c Co
c------------------------------------------------------------


上記の例ではaベクトルとbベクトルの間にx軸が来るように基本並進ベクトルを選んでいますが、当然ながらほかの取り方もできます。例えばbベクトルがy軸方向に来るようにとると基本並進ベクトルは以下のようになります。

√3/2 -1/2 0
0 1 0
0 0 c/a

これに対応する入力ファイルは以下のようになります。

c----------------------Co------------------------------------
go data/coAUX
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
aux
0.86603 -0.50000 0.00000
0.00000 1.00000 0.00000
0.00000 0.00000 1.62150
4.74
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.0 nrl mjw mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 50 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Co 1 1 0.0 2
27 100
c------------------------------------------------------------
c natm
2
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0a 0b 0c Co
1/3a 2/3b 1/2c Co
c------------------------------------------------------------


上記2つの入力ファイルは、同じ結果が得られるはずです。

計算結果への影響


上記2つの入力ファイルは同じ結果が得られるはずですが、普通にブラべ格子をキーワードとしてhcpを与えたときと、上記のようにauxで基本並進ベクトルを指定した場合とでは、計算結果が異なる場合があります。

実際、下記はAkaiKKRのサンプル入力ファイルとしてinディレクトリに保存されているものですが、AkaiKKRのバージョンによっては下記は上手く収束しない場合があるのに反して、上記のauxで入力したファイルは上手く収束します。

c----------------------Co------------------------------------
go data/co
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
hcp 4.74 , 1.6215 , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.0 nrl mjw mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 50 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Co 1 1 0.0 2
27 100
c------------------------------------------------------------
c natm
2
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0a 0b 0c Co
1/3a 2/3b 1/2c Co
c------------------------------------------------------------


ブラべ格子で指定する場合と基本並進ベクトルで指定する場合の違いというよりは、高い対称性を持ったブラべ格子で収束しづらい場合、対称性をおおとしたブラべ格子で計算を行うと収束しやすくなることがある気がします。対称性の高いブラべ格子を指定した場合の方が、内部的にポテンシャルの形状などに強い制約を与えているのかもしれません。気のせいかもしれませんが。

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AkaiKKRの基本並進ベクトル その1

AkaiKKRのブラべ格子ではブラべ格子とそれに対応するキーワードをまとめました。今回はその中でauxというキーワードを指定することにより、基本並進ベクトルを用いて入力ファイルを作成する方法を書きました。


格子ベクトルによる結晶構造の指定


AkaiKKR(machikaneyama)の入力ファイルでは、ブラべ格子の各格子点に基本構造(basis)を置くことで結晶構造を指定します。
AkaiKKRのブラべ格子ではブラべ格子とそれに対応するキーワードをまとめました。

しかしながら、ブラべ格子を選ぶ方法以外にも、基本並進ベクトルを直接指定することもできます。この場合、キーワードauxを用いて、以下のようなフォーマットになります。

ax/a ay/a az/a
bx/a by/a bz/a
cx/a cy/a cz/a
a

ここで axaベクトルを直交座標系の成分表示で表したときにx成分という意味です。aはaベクトルの長さ(要するに格子定数a)で単位はBohrなので ax/a というのは格子定数aで規格化したaベクトルのx成分ということです。

六方最密充填構造の基本並進ベクトル


具体例としてinフォルダにサンプルとして存在するhcp構造のコバルトを基本並進ベクトルで与えてみます。以下に示すのは、ブラべ格子で指定したhcpコバルトです。

c----------------------Co------------------------------------
go data/co
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
hcp 4.74 , 1.6215 , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.0 nrl mjw mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 50 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Co 1 1 0.0 2
27 100
c------------------------------------------------------------
c natm
2
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0a 0b 0c Co
1/3a 2/3b 1/2c Co
c------------------------------------------------------------


第5回CCMSハンズオン(ソフトウェア講習会): AkaiKKRチュートリアル 2. AkaiKKRの実習の19ページにある通り、AkaiKKRにおけるベクトルa, b, cと直交座標系の関係は、以下の図のようになります。

001_20150513120148d3b.png


したがって入力する基本並進ベクトルは以下のようになります。

1/2 -√3/2 0
1/2 √3/2 0
0 0 c/a

a = 4.74 (Bohr), c/a = 1.6215とした場合の入力ファイルは、以下のようになります。

c----------------------Co------------------------------------
go data/coAUX
c------------------------------------------------------------
c brvtyp
aux
0.50000 -0.86603 0.00000
0.50000 0.86603 0.00000
0.00000 0.00000 1.62150
4.74
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.0 nrl mjw mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 50 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Co 1 1 0.0 2
27 100
c------------------------------------------------------------
c natm
2
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0a 0b 0c Co
1/3a 2/3b 1/2c Co
c------------------------------------------------------------


出力ファイルの基本並進ベクトル


入力をブラべ格子で与えた場合でも、基本並進ベクトルで与えた場合でも、出力に基本並進ベクトルが書きだされます。以下に示すのが、上記の六方最密充填構造のコバルトの入力ファイルから得られた基本並進ベクトルです。

   primitive translation vectors
a=( 0.50000 -0.86603 0.00000)
b=( 0.50000 0.86603 0.00000)
c=( 0.00000 0.00000 1.62150)


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