ScilabでDuffin方程式

微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)に従ってDuffin方程式をシミュレーションします。

\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}+D\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\beta x^3 = f\cos\omega t

001_20130722112028.png

Fig.1: Duffin方程式のポアンカレ図(D=0.05, f=7.5, β=1.0)



ポアンカレ図


外力の周期の整数倍の間隔で、位相図をプロットしたものをポアンカレ図と呼びます。
プログラム中では、周期2πのk倍のときの位置と速度をプロットしています。

  if k - fix(k / 100) * 100 == 0 then
k // 100ごとに数値をカウント表示
end


MatlabやOctaveのrem(X,Y)X-fix(X./Y).*Yで表すことが出来ます(参考:rem (Matlab function))。上記のプログラムは、kが100で割り切れるときだけkの値を表示するというもので、Duffin方程式のポアンカレ図は書くのに結構な時間がかかるため、どこまで計算したかを人間が見て分かるように表示させるためのものです。

以上を踏まえてScilabへ移植したプログラムがduffin_sce.txtです。

clear;

// *** 共通部分 ***
// 入力パラメータ
d = 0.05;
f = 7.5;
b = 1.0;
t = 2 * %pi; // 時間の最大値
n = t / 0.01 + 1; // 時間の刻み数
T = linspace(0,t,n);
// 初期値
x0 = 0.0;
dx0 = 0.0;
X0 = [x0; dx0];

// *** 常微分方程式ソルバによる数値解 ***
// 微分方程式の定義
function dx = duffin(t,x)
dx(1) = x(2);
dx(2) = - d * x(2) - b * x(1) ^ 3 + f * cos(t);
endfunction

for k = 1:5000;
if k - fix(k / 100) * 100 == 0 then
k // 100ごとに数値をカウント表示
end
X = ode(X0,0,T,duffin); // 常微分方程式ソルバ
X0 = [X(1,n); X(2,n)];
XV(1,k) = X(1,n);
XV(2,k) = X(2,n);
end
plot(XV(1,:),XV(2,:),'.r','markersize',1);
xlabel("x");
ylabel("v");


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付録


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tag: Scilab 常微分方程式 ode 位相図 カオス 

Scilabで強制振動

微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)に従って進めるなら、次は減衰振動です。

\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + D\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} + kx = f\cos\omega t

実はf=0のときは理工系学生の遊歩道のScilabを使ってみよう2 - 摩擦のある振動に他ならず、ねがてぃぶろぐでもScilabで常微分方程式:摩擦のある運動で追試を行っています。更に今回扱うfがゼロで無い場合は、Scilabを使ってみよう3 - 強制振動です。

この問題設定はScilabを使ってみよう3 - 強制振動で下記のように図示されています。

001_20130721232524.png

摩擦のある水平面上に重りがあります。ばねの弾性力と速度に比例する摩擦力とが重りに働くとします。このときの重りの振動がどのようになるかを微分方程式でしらべてみましょう。


更に微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)に従ってScilabで単振り子 その4 位相図で描いた位相図も追加します。


解析解との比較


微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)によると、D2-4k<0のとき解析解は下記のようにあらわせます。

\begin{eqnarray*}<br />x(t) & = & A \exp\left(-\frac{Dt}{2}\right)\cos\left(t\sqrt{k - \frac{D^2}{4}}+\theta\right) \\<br />& + & \frac{f}{\sqrt{(k-\omega^2)^2 + (D\omega)^2}}\cos(\omega t + \phi)<br />\end{eqnarray*}

\phi = -\arctan\frac{D\omega}{k-\omega^2}

ここでAとθは初期条件に依存し、微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)のリスト14から読み取るに以下のように書けるのだと思います。

\theta = \arctan\frac{A_s}{A_c}

\theta = \arctan\frac{A_s}{A_c}

ただし
A_{kD\omega} = (k - \omega^2)^2 + (D\omega)^2

A_c = x_0 - f\cdot\frac{k-\omega^2}{A_{kD\omega}}

A_s = - \frac{v_0 + \frac{D}{2}A_c - \frac{fD\omega^2}{A_{kD\omega}}}{\sqrt{k - \frac{D^2}{4}}}

このように要所要所で中間変数を計算しておくことは数値計算の常識とのことです。

これらを踏まえて作成したScilabプログラムがdumpx_sce.txtです。

002_20130721232524.png

Fig. 2: 解析解との比較(上)。赤が数値計算の結果、緑が解析解。


パラメータと初期値の変更


常微分方程式ソルバをつかった数値解の入力パラメータ(k, D, f)と初期条件(x0,v0)をinputを用いて入力できるようにしたのがdump_sce.txtです。

003_20130721232524.png

Fig.3: 時間-速度プロット(上)と位相図(下)


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tag: Scilab 常微分方程式 ode 位相図 

Scilabで単振り子 その4 位相図

Scilabで単振り子 その1 解析解との比較Scilabで単振り子 その2 近似解との比較Scilabで単振り子 その3 ヤコビの楕円関数では、微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)に従って計算をしてきました。今回は単振り子のシリーズの最後として元PDFの問題21の位相図の作成を行いました。

001_20130721164221.png

Fig.1: 単振り子の運動の位相図。横軸が角度θで縦軸が角速度q。θ=0から初角速度q0を与えて運動を開始させたばあい、ある一定の値(q0≒12.6)よりも大きな初角速度を与えると振り子ではなく、鉄棒の大車輪のようにグルグルと軸を中心に回る運動となる。(参考:単振り子の話(PDF))



これまで通りScilabの常微分方程式ソルバodeを用いて計算を行いました。
元PDFの問題21では、初角速度q0をパラメータとして変更して複数回の計算を行っています。
初角速度q0の導出は、既にその3で行いました。

今回はそのままプログラミングするだけです。

clear;

// *** 解析解とソルバ解の共通部分 ***
g = 9.8; // 重力加速度
l = g / (2 * %pi) ^ 2; // 糸の長さ

// *** 常微分方程式ソルバによる解 ***
// 解くべき微分方程式の定義
function dx = pend(t,x)
dx(1) = x(2);
dx(2) = - g / l * sin(x(1));
endfunction
T = linspace(0,2,200); // 時間ベクトル

X0 = [0; 3.1]; // 初期条件
TH = ode(X0, 0, T, pend); // 常微分方程式ソルバ
plot(TH(1,:),TH(2,:),'-r'); // プロット

X0 = [0; 6.3]; // 初期条件
TH = ode(X0, 0, T, pend); // 常微分方程式ソルバ
plot(TH(1,:),TH(2,:),'-g'); // プロット

X0 = [0; 9.4]; // 初期条件
TH = ode(X0, 0, T, pend); // 常微分方程式ソルバ
plot(TH(1,:),TH(2,:),'-b'); // プロット

X0 = [0; 12.6]; // 初期条件
TH = ode(X0, 0, T, pend); // 常微分方程式ソルバ
plot(TH(1,:),TH(2,:),'-m'); // プロット

X0 = [0; 15.7]; // 初期条件
TH = ode(X0, 0, T, pend); // 常微分方程式ソルバ
plot(TH(1,:),TH(2,:),'-c'); // プロット

// *** グラフの体裁 ***
legend("q0 = 3.1","q0 = 6.3","q0 = 9.4","q0 = 12.6","q0 = 15.7",4);
xlabel("$\theta \mathrm{[rad]}$");
ylabel("q [rad/s]");
zoom_rect([-2,-10,8,20]);
xgrid(color(128,128,128));


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