AkaiKKRの原子半径比

AkaiKKRのマフィンティン半径のメモでは、マフィンティン半径の設定としてrmt=0を指定すると原子半径比が設定されると書きました。しかしながら「原子半径比」という言葉の定義は曖昧でした。そこで、総当り的にマフィンティン半径を計算してみた結果、source/qvolum.fに記述された体積の1/3乗の比と考えると納得のいく値になると分かりました。

001_201508231333461de.png

Fig.1: AkaiKKRで設定されるMT半径比(紫の丸)とsource/qvolum.fに記述された体積の1/3乗(緑の実線)。どちらも水素の値で規格化してある。AkaiKKRの「原子半径比」とは単体で結晶化させたときの原子ひとつあたりの体積の1/3乗の比を意味するらしい。



マフィンティン半径にゼロを設定


AkaiKKRのマフィンティン半径のメモでは、入力ファイルの全ての原子に対してrmt=0と指定しておくと、マフィンティン球が重ならない範囲で、それぞれのマフィンティン半径(MT半径)の比が原子半径比になるように設定されると書きました。

しかしながら「原子半径比」というのは、少し曖昧な言葉で、文脈によって色々な解釈がありえます。(参考:元素、原子半径と周期表)
そしてこの言葉の定義に関して、AkaiKKR(machikaneyama)のマニュアルには特に言及がないように見えます。

そこで今回は、多少力業ですが、色々な元素からなるAB二元合金の入力ファイルを総当り的に作成し、それぞれ実際に割り当てられたMT半径のひを調べることにします。

総当り計算の入力ファイル


以下に示すのがMT半径の設定を調べるための入力ファイルのテンプレートです。テンプレート中のA原子とB原子の原子番号をあらわすNAとNBをシェルスクリプトで順次置き換えることにより、実際の入力ファイルを作成します。

c------------------------------------------------------------
go data/AB
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
sc 5.0 , , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.0 sra pbe nmag init
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 1 1 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
2
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
A 1 0 0.0 2
NA 100
B 1 0 0.0 2
NB 100
c------------------------------------------------------------
c natm
2
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0 0 0 A
0.1 0 0 B
c------------------------------------------------------------


計算を収束させる必要はないのでbzqltyやmaxitrは1としています。異なる原子同士が確実に先に接するように原子位置を選ぶ必要があることに注意してください。

結果と解釈


AtomicRadii.shを実行して終了を確認した後にAtomicRadiiResult.shを実行するとRMTA.txtRMTB.txtがanalysisフォルダに作成されます(analysisフォルダやを置くtemplateフォルダはあらかじめ作成しておく必要があります。)。これらがMT半径の生データです。

データの数が多いので、水素との化合物を作ったときのMT半径の比だけを考えます。冒頭のFig.1に紫の丸で示してあるのが、水素化合物の計算をしたときの相手方の元素のMT半径で、水素のMT半径が1になるように規格化してあります。(すなわち水素とのMT半径比です。)

MT半径の設定は、セルフコンシステント計算のイテレーションが始まる前に行われます。したがって、AkaiKKRのソースコードのどこかに原子半径比(を計算するため)のパラメータが書かれているはずだと考えます。するとsource/qvolum.fの中に、単体で結晶化させた際の原子一個あたりの結晶の体積が数値データとして書かれているのが見つかります。

そこには2組のデータがあります。1組目は実験データからえら得られたもの、2組目は1組目のものに対してMoruzzi, Janak and Williamsによる第一原理計算によって求められた平衡格子体積から得られた値を一部置き換えたものです。

この後者のmjwの値を含むデータに対して、ある元素xの原子体積を$V_x$と置くと、Fig.1の緑の線は$V_x^{\frac{1}{3}}/V_H^{\frac{1}{3}}$として計算しました。Fig.1を見てのとおり、これらの値は完全に一致しているので、AkaiKKRの原子半径比というのはsource/qvolum.fに記述された、単体元素の原子体積の$\frac{1}{3}$乗の値の比であると考えることができそうです。

関連エントリ




参考URL




付録


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tag: AkaiKKR machikaneyama マフィンティン半径 

AkaiKKRでBain機構 その2

AkaiKKRでBain機構 その1の続きとして、AkaiKKRを用いて体心正方構造(bct)をもとにして、体心立方構造(bcc)と面心立方構造(fcc)の鉄の全エネルギーをスピン分極を考慮した計算で比較しました。

003_20150622052259d9c.png 004_20150622052259ea3.png



Bainの機構とマフィンティン半径


AkaiKKRでBain機構 その1にも書きましたが、面心立方構造(fcc)と体心立方構造(bcc)は、体心正方構造(bct)のc/aが特別な値を取ったときに相当します。

001_201506220522417ce.jpg

Fig.1: bcc/fcc構造のBainの対応関係(Xie et al. (2008)より)


AkaiKKRでBain機構 その1では、bct構造のc/aを変化させる際にマフィンティン半径をどのようにすればいいかについて検討しました。
今回は、これをシェルスクリプトへ実装しAkaiKKR(machikaneyama)で全エネルギーを計算します。

入力ファイルのテンプレートとシェルスクリプト


シェルスクリプトを用いて、AkaiKKR用の入力ファイルのテンプレートから、格子定数を変化させながら入力ファイルを順次生成することを考えます。



以下に示すのが、入力ファイルのテンプレートです。

c----------------------Fe------------------------------------
go data/bctFe_OMEGA_ETA
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
bct ABOHR , ETA , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 2.4 sra gga91 mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 8 200 0.023
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Fe 1 RMTA 0.0 2
26 100
c------------------------------------------------------------
c natm
1
c------------------------------------------------------------
c atmicx(in the unit of a) atmtyp
0 0 0 Fe
c------------------------------------------------------------


結果と議論


以下に、計算結果の全エネルギーと磁気モーメントの絶対値を示します。
003_20150622052259d9c.png
Fig.2: 全エネルギー

004_20150622052259ea3.png
Fig.3: 磁気モーメント


全エネルギーにおいて、青く表示されている部分はエネルギー的に安定であることを意味します。一番青い部分はc/aが1で格子体積が約140Bohr3のところで、これは強磁性bcc鉄に相当します。次にc/a=√2≒1.41付近を体積の大きい方から順に(グラフ上方から順に)見ていくと、約140Bohr3付近で、エネルギーの極小が見られたのち、約120Bohr3でもう一度エネルギーの極小が見られます。これはAkaiKKRで反強磁性fcc鉄で格子定数を変化させながら計算したスピン分極計算と同じで、強磁性/非磁性転移に対応しています。

関連エントリ




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付録


このエントリで使用したAkaiKKR関連の入力ファイルやシェルスクリプトを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR マフィンティン半径 シェルスクリプト 

AkaiKKRでBain機構 その1

体心立方構造(bcc)と面心立方構造(fcc)は、一見すると全く別の構造のように見えますが、体心正方構造(bct)のc/aを変化させたものであると考えると、実は非常によく似た構造であることがわかります。

001_201506220522417ce.jpg

Fig.1: bcc/fcc構造のBainの対応関係(Xie et al. (2008)より)


今回は、AkaiKKRを用いてbct鉄の全エネルギーを格子体積とc/aを変化させながら計算することを前提に、入力ファイルのためのマフィンティン半径の設定について考えます。
AkaiKKRでコバルトのc/a その2のときと同様に「格子体積に対するマフィンティン球体積の比が一定になる範囲で、マフィンティン半径を最大にとる」ならばbcc構造においてマフィンティン球同士がタッチングする半径ですべての計算を行えばいいことがわかります。


Bainの機構


体心立方構造(body-centered cubic; bcc)と面心立方構造(face-centered cubic; fcc)は、どちらも体心正方構造(body-centered tetragonal; bct)のc/aが特別な値の場合と考えることができます。すなわちc/a=1のときbcc構造となり、c/a=√2≒1.414のときにfcc構造となります。

見方・考え方 合金状態図によると、これはBainが鋼のマルテンサイト変態を説明しようとしたことに端を発するとのことです。ただし、実際のマルテンサイト変態はBainの考えとは異なるメカニズムで起こっているとのことですが。

今回は、AkaiKKR(machikaneyama)このBainの対応関係をみるために、体心正方構造(bct)を計算セルとして格子体積とc/aを変化させながら全エネルギーの変化を確認します。その1である今回は、マフィンティン半径をどのようにするかについて確認します。

マフィンティン半径


AkaiKKRはマフィンティン近似を用いています。マフィンティン近似では、マフィンティン球の半径を計算パラメータとして与えなければなりません。そして、同じ結晶を計算している場合であっても、得られる全エネルギーはマフィンティン半径によって変化してしまいます。したがって体積やc/aを最適化するために全エネルギーを比較するときは、マフィンティン半径の設定が食い違わないようにする必要があります。

どういう設定にするのがベストなのかは、難しい問題らしいのですが、今回は差し当たりAkaiKKRでコバルトのc/a その1その2のときと同じ条件を考えます。
すなわち「格子体積に対するマフィンティン球体積の比が一定になる範囲で、マフィンティン半径を最大にとる」とします。

AkaiKKRでコバルトのc/a その2のときと同様にScilabを用いて、体積を固定しながらc/aを変化させたときに、マフィンティン球同士が接触する半径を計算しました。

clear;

// 体心正方(bct)の格子体積を固定
v = 100;
// bctのc/aを変化
// c/a = 1: bcc
// c/a = √2: fcc
//eta = linspace(1, sqrt(2));
eta = linspace(1, 1.5);

// 格子定数aの計算
a = (v ./ eta) .^ (1/3);

// ab面内で頂点同士が触れる時
rmt_ab = a ./ 2;
// // ac面内で頂点同士が触れる時
// rmt_ac = eta .* a ./ 2;
// 頂点と体心で触れる時
rmt_diag = sqrt(2 .* (a .^ 2) + (eta .^ 2) .* (a .^ 2)) ./ 4;

// *** グラフの描画 ***
// ab面内
plot(eta, rmt_ab, '-b');
// // ac面内
// plot(eta, rmt_ac, '-g');
// 頂点と体心
plot(eta, rmt_diag, '-r');
// グラフの装飾
xlabel("c/a");
ylabel("muffin-tin radius");


002_20150622052240f6f.png

Fig.: bct構造の格子体積をΩ=100 Bohr3とした場合のタッチング時のMT半径のc/a依存性。赤線は頂点位置にある原子と体心位置にある原子が先に接すると仮定した場合、青線はa-b軸方向の原子が先に触れると仮定した場合。これら二つの値はc/a=√2(fcc構造のとき)で一致する、c/a=1(bcc構造)のときとることのできるMT半径が最小になる。


体心立方構造(bcc)の充填率は0.68で面心立方構造(fcc)の充填率は0.74なので、fcc構造の方が密な構造であると言えます(参考: Wikipedia: 空間充填率)。マフィンティン半径もこのことを反映して、c/a=1(bcc構造に相当)のときに最小値を取ることがわかります。

関連エントリ




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付録


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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR マフィンティン半径 シェルスクリプト Scilab 

AkaiKKRでコバルトのc/a その2

AkaiKKRでコバルトのc/a その1では、hcp構造の格子定数最適化のために格子体積を固定した状態でc/aを変化させるシェルスクリプトを作成しました。
今回はこれをさらに拡張しc/aを変化させる際にMT半径が変化しないようにするシェルスクリプトを作成しました。


マフィンティン半径(MT半径)の固定


AkaiKKRでコバルトの格子定数ではbzqltyが低いという問題(参考: AkaiKKRの計算精度と計算時間 その2AkaiKKRでFeCoの磁気モーメントと格子定数)の他にc/aを決めるに際してマフィンティン半径(MT半径)を固定していないという問題がありました。

AkaiKKRでコバルトのc/a その1では、この問題を解決するための前半として格子体積Ωを固定しながらc/a≡ηを変化させる(必然的に格子定数aが決まる)シェルスクリプトを書きました。
今回は、それをさらに発展させて格子体積ΩとMT半径(マフィンティン球の体積)を固定した状態でc/aを変化させるシェルスクリプトを書きます。

MT半径の取り得る値


MT半径は。互いに接触するような大きさよりも大きく取ることはできません。したがってすべてのMTをそろえるためには、変化させる範囲のc/aの中で、MT半径が最小になるときを探さなければいけません。

今hcp構造の単位格子の中の(0,0,0)と(a/3, 2a/3, c/2)の位置にコバルト原子があるとします。MT半径をゼロから次第に大きくしていったとき、a軸方向(およびb軸方向)の原子同士が先にぶつかる場合と、単位格子内の2つの原子が先にぶつかる場合の2種類の可能性が考えられます。
どちらが先にぶつかるかはc/aにより変わります。

ab面内でぶつかるときのMT半径は

r_{\mathrm{MT}}=\frac{a}{2}

単位格子内でぶつかるときのMT半径はc/a≡ηとおくと

r_{\mathrm{MT}}=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{\eta^2}{4}}

Scilabによるプロット


それでは、上記のMT半径をc/aの関数としてプロットしてみましょう。
格子体積Ω=150 Bohr3に固定してc/aを1.6から1.7まで変化させたときのMT半径の大きさをScilabでプロットしました。

001_20140914011020cc3.png

Fig.1: 格子体積Ω=150(Bohr3)のした場合のタッチング時のMT半径のc/a依存性。


この図からc/aが理想値2√2/√3≒1.633のときにMT半径が最大になり、MT半径が最小となるのはc/aが最大・最小のいずれかの時であることがわかります。
そこでシェルスクリプトのアルゴリズムは、おおよそ以下のようになります。

  1. η=[η1, η2, ..., ηn]の中から最大値と最小値を探す
  2. ηmaxとηminのときのMT半径を計算してみて小さい方を実際のMT半径として採用する
  3. AkaiKKRの入力ファイルのMT半径は格子定数aで規格化しなければならないので、そのようにする

1.に関しては(やり方はあるはずだと思いますが)どうやればよいのか分からなかったのでηのリストは常に昇順または降順に並べておくという仕様にしました。

MT半径は1未満の小数になりますが、bcの仕様では先頭のゼロが省略されます。AkaiKKRはそれでも気にせず計算してくれるようですが、Unix command > bcによる少数の演算の方法を利用して頭にゼロを補うようにしました。

'0'の部分は消されてしまうことに注意してください。 個人的には、'0.5'と表示してほしいのですが、今のところ、シンプルな解決策を見つけられてません。 応急処置としては、先頭がカンマだった場合に、'0.'に置換する方法があります。 sedを使った例は以下のとおりです。

bc$ echo "1 - 0.5" | bc | sed -e 's/^\./0./g'
0.5

結局、シェルスクリプトCo.shは以下のようになります。
なおこの際入力ファイルを作るためのテンプレートファイルCoTemplate.inはtemplateという名前のディレクトリにおいておく仕様に変更しました。

#!/bin/csh -f

set OMEGA_LIST=( 140 142 144 146 148 150 152 154 156 158 160 )
set ETA_LIST=( 1.60 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.70 )

foreach OMEGA ( ${OMEGA_LIST} )
set ETA0=`echo $ETA_LIST[1]`
set A0=`echo "e((1/3)*l(2*${OMEGA}/(sqrt(3)*${ETA0})))" | bc -l`
if (`echo "${ETA0} > 2*sqrt(2)/sqrt(3)" | bc -l` == 1) then
set RMTB0=`echo "${A0}/2" | bc -l`
else
set RMTB0=`echo "${A0}*sqrt(1/3+(${ETA0}^2)/4)/2" | bc -l`
endif

set ETA1=`echo $ETA_LIST[$#ETA_LIST]`
set A1=`echo "e((1/3)*l(2*${OMEGA}/(sqrt(3)*${ETA1})))" | bc -l`
if (`echo "${ETA1} > 2*sqrt(2)/sqrt(3)" | bc -l` == 1) then
set RMTB1=`echo "${A1}/2" | bc -l`
else
set RMTB1=`echo "${A1}*sqrt(1/3+(${ETA1}^2)/4)/2" | bc -l`
endif

if (`echo "${RMTB0} < ${RMTB1}" | bc -l` == 1) then
set RMTB=`echo $RMTB0`
else
set RMTB=`echo $RMTB1`
endif

foreach ETA ( ${ETA_LIST} )
if ( ! -e stop ) then
echo " OMEGA,ETA= "${OMEGA}" "${ETA}

set A=`echo "e((1/3)*l(2*${OMEGA}/(sqrt(3)*${ETA})))" | bc -l | sed -e 's/^\./0./g'`
set RMTA=`echo "${RMTB} / e((1/3)*l(2*${OMEGA}/(sqrt(3)*${ETA})))" | bc -l | sed -e 's/^\./0./g'`

sed 's/'ABOHR'/'${A}'/g' template/CoTemplate.in | sed 's/'ETA'/'${ETA}'/g' | sed 's/'RMTA'/'${RMTA}'/g' | sed 's/'OMEGA'/'${OMEGA}'/g' > in/Co_${OMEGA}_${ETA}.in
specx < in/Co_${OMEGA}_${ETA}.in > out/Co_${OMEGA}_${ETA}.out

tail -n 1 data/co_${OMEGA}_${ETA}.info
endif
end
end


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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR Scilab マフィンティン半径 

AkaiKKRのマフィンティン半径のメモ

AkaiKKR(machikaneyama)ではマフィンティンポテンシャル近似を用いています。そのため、入力ファイルの中でマフィンティン半径を指定しなければなりません。

MTradius.png
Fig.1: マフィンティンポテンシャルの概念図
(KKR-Green関数法によるバンド計算より)


今回は、このマフィンティン半径に関して、幾つかの注意点をまとめます。
なお、実際にマフィンティン半径をいくつにすればよいのかは、私には難しい問題なので、今回は触れません。


マフィンティン半径に関する基本事項


Wikipediaのマフィンティンポテンシャルの項目には、マフィンティン半径に関して以下の様にあります。(強調は筆者による)

マフィンティンポテンシャルにおいて、原子核部分を記述する、球対称なポテンシャル部分のことをマフィンティン球(マフィンティンきゅう、Muffin-tin sphere)といい、この部分の半径をマフィンティン半径(マフィンティンはんけい、Muffin-tin radius)という。通常、周りの他のマフィンティン球部分と重ならない範囲で、なるべく大きな値をとるようにする(接するのが最大)。マフィンティン球同士が重なることはない。

AkaiKKRにおけるマフィンティン半径の理想値は、私には断言できないので、深入りはしませんが、上記の通り出来るだけ大きくとる場合が多いようです。

一応、AkaiKKR BBSのなかで関連しそうな書き込みを引用します。

On lattice constant calculationより

Machikaneyamaを用いて格子定数を計算したいのですが、
教科書やMachikaneyamaのマニュアルには、格子定数以外の条件をそろえることと、MT半径を十分に小さくとることに注意するように記載されています。

MT半径は格子定数を単位として入力するようになっていると思いますので、MT半径の実際の値が一定になるように、入力値を変化させるべきということでしょうか?
それとも、十分小さければ特に一定値にこだわる必要はないということでしょうか?

通常の場合あまり気にする必要はなく,例えば,0 を指定しておけば
タッチング半径で計算をいたします.
一方,c/a比を変えて最適化したい場合などは同じ体積になるようにしても,マフィンテイン半径の大きさがc/a比によって変わってしまいます.
このような場合はc/a比によらず,マフィンテイン半径が一定になるようにいたします.マフィンテイン半径は格子定数aを単位にいたしますので,c/a比を変えるときには間違えないように換算して下さい.


また、Why electrons are in vacancy? (in Japanese)より

ホントのところは,MT半径に計算結果が,あまり依存しないのが望ましいわけです.
もちろん,できるだけ最適なものを選ぶべきです.で,一般的には,「MT半径内の電子数ができるだけ電荷的に中性になるように」選ぶのがよいとされています.要はMT potentialモデル(interstitial regionでフラット)ができるだけ上手く成り立つような半径比の取り方が理想的なわけです.
まあ,実際これで結構うまくいくそうです.
が,いまのところAkaiKKRの現バージョンの自動設定では必ずしもそのようにはなっていないです.
そのうち,組み込むことになると思います.まあ,いまの自動設定値でもそれほど悪くないんだと思います.

他の例では,たとえば,MnOを計算するのにOのsphereの大きさはMnよりかなり小さく取ったりします.

AkaiKKRでは,Muffin-tin potentialを仮定しています.
(あるいは,asaのオプション(interstitialがない)も選べますけど).
Interstitialではフラットなポテンシャルです.
で,empty sphereは,
(1)そういう欠損のある問題をCPAで解く場合,
あるいは,
(2)異方性が大きくてMTポテンシャルをなんとか(まあ完全でないまでも)補正して
やりたいとき格子間隙にempty sphereを入れる.そうするとその内部のポテンシャルは
 Interstitialの値からずれることができる---ポテンシャルの記述の自由度が高くなるので
 よりよい解が期待できる.
で,使われます.


最後の異方性が大きくてempty shereを入れる話はAkaiKKRでダイヤモンド型構造半導体などです。

マフィンティン半径指定の実際


KKR-Green関数法によるバンド計算には以下の様にあります。

rmt 与えたマフィンティン半径では球どうしが重なってしまう場合、マフィンティン半径は与えた半径比で球が接するように設定し直される。0 を与えた時または省略した時は半径比として原子半径比がとられる。


AkaiKKRのマフィンティン半径の指定は、格子定数aを単位として行います。
また、マフィンティン球が互いに重なってしまうような、大きなマフィンティン半径をしていすると、自動的にマフィンティン球が重ならないような最大のマフィンティン半径に設定しなおされます。この際、各原子における原子番号は考慮されず、全ての原子で同じ値が設定されるようです。

したがって、例えば rmt=1 つまりマフィンティン半径に格子定数aと同じ値の様に、明らかにマフィンティン球が重なってしまうような大きな値を指定しておくということが良く行われます。

マフィンティン半径として明らかに大きな値、かつ、原子によって別々の値を設定すると、それぞれの比率を守りながらマフィンティン球が接するように設定されると思います。

またrmt=0 と設定してもやはりマフィンティン球が接する様なマフィンティン半径が自動設定されますが、それぞれのマフィンティン半径の比は、原子半径比が採られます。
したがって rmt=0 を選ぶ場合は、全ての原子おいて rmt=0 を設定しないとおかしなことになります。(確かエラーが出たはず。)
更に、ある原子が複数の組成を持っている場合(CPAをしている場合)は濃度比によって原子半径比にも重みがつけられているようです。

まとめると、マフィンティン半径の設定には以下の様な幾つかのパターンが考えられます。

  1. 全ての原子で rmt=1 を選び、全ての原子で同じで、かつ、互いに接するようにするマフィンティン半径とする
  2. 全ての原子で rmt=0 を選び、それぞれの原子の組成ごとに原子半径比になり、かつ、互いに接するようにするマフィンティン半径とする
  3. 全ての原子で rmt>1 を選び、それぞれの原子ごとのマフィンティン半径比を指定し、かつ、互いに接するようなマフィンティン半径とする
  4. 全て自分で設定する: 全ての原子でマフィンティン半径が接するか、それよりも小さい値を選ぶ


特に、格子定数変化させつつ、マフィンティン半径を固定したいなどは、全て自分で設定する必要があります。

関連エントリ




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