Scilabでブラウン運動 その2

Scilabでブラウン運動 その1では二次元のランダムウォークの際に、斜めの方向にしか動けないようなモデル化を行っています。

002_20141109070543ce1.png

Fig.1: Scilabでブラウン運動 その1での二次元のシミュレーションの結果。各ステップにおいては、粒子は斜めの方向にしか移動できない。



二次元への拡張への別アプローチ


Scilabでブラウン運動 その1では、Scilabで楽しむ確率論(PDF)の対称ランダムウォークを三次元まで拡張しました。その際の方針は、Scilabで楽しむ確率論(PDF)で一次元から二次元に拡張した際のものを踏襲しました。

しかしながら一次元のランダムウォークを『単位時間(1ステップ)あたりに絶対値で1だけ移動するが、その方向はランダムである』と解釈するならば、二次元に拡張する際に別の考え方をしなければならなさそうです。

そこで今回はx軸からの角度θが一様分布に従った乱数で与えられるようにして、単位時間後に半径1の円周上のどこかに移動している場合のシミュレーションを行います。移動量はそれぞれ以下のように、極座標で計算することができます。

xi = r cosθ
yi = r sinθ

001_20141109095932f86.png
Fig.2: 二次元のランダムウォーク。任意の角度θへ移動できるようにしたバージョン。


Scilabスクリプトは以下のようになります。

clear;

// *** 計算の設定 ***
r = 1; // 1ステップの間に移動する距離
tnum = 10000; // 時間ステップ数
t = (0:1:tnum)'; // 時間のベクトル

// *** 位置の計算 ***
theta = 2 * %pi * rand(1,tnum);
xi = r .* cos(theta);
yi = r .* sin(theta);

S = [zeros(2,1), [cumsum(xi,'c'); cumsum(yi,'c')]];

// *** グラフのプロット ***
plot(S(1,:),S(2,:),'-b');
xlabel("x position");
ylabel("y position");


三次元への拡張


三次元への拡張も問題ないと思います。

xi = r sinθcosφ
yi = r sinθsinφ
zi = r cosφ

002_2014110909593264a.png
Fig.3: 三次元のランダムウォーク。三次元の極座標では角度θとφの二つのパラメータが必要。


Scilabスクリプトは以下のようになります。

clear;

// *** 計算の設定 ***
r = 1; // 1ステップの間に移動する距離
tnum = 10000; // 時間ステップ数
t = (0:1:tnum)'; // 時間のベクトル

// *** 位置の計算 ***
theta = 2 * %pi * rand(1,tnum);
phi = 2 * %pi * rand(1,tnum);
xi = r .* sin(theta) .* cos(phi);
yi = r .* sin(theta) .* sin(phi);
zi = r .* cos(phi);

S = [zeros(3,1), [cumsum(xi,'c'); cumsum(yi,'c'); cumsum(zi,'c')]];

// *** グラフのプロット ***
param3d(S(1,:),S(2,:),S(3,:));
xlabel("x position");
ylabel("y position");
zlabel("z position");


ランダウの計算物理学による分類


ランダウの計算物理学 基礎編には以下のようにあります。

ランダムステップをどのように発生させるかで,異なる結果に至ることもありうる.以下に, 2次元のランダムウォークを発生するためのいくつかの方法をあげた.

  1. 方位角θを[0,2π]の間の乱数として選ぶ.次にΔx=cosθおよびΔy=sinθとする.(こうすると,一様な乱数を三角関数で写像することになり,当然のことだが水平・垂直の格子点上をランダムウォークするのとは異なる振る舞いとなる.)
  2. Δxを[-√2,√2]の範囲の乱数として選ぶ.これと独立にΔyも[-√2,√2]の範囲の乱数として選ぶ.こうすれば,xとyそれぞれの方向について,正負のステップが同じ確率で発生することになる.
  3. Δxを[-1,1]の範囲の乱数として選ぶ.次にΔy=±√(1-Δx2)とする.(符号もランダムに与える.)
  4. ステップの方向として(北, 東, 南, 西)をランダムに選択する(こうすると三角関数が不要になる).4つの方位から一つを選ぶのは[1,4]の整数を選択するのと等価であることに注意せよ.
  5. ステップの方向として(北, 北東, 東, 南東, 南, 南西, 西, 北東)をランダムに選択する(こうすると三角関数が不要になる).8つの方位から一つを選ぶのは[1,8]の整数を選択するのと等価であることに注意せよ.

今回の例は1.の方法を採用したものです。
そして、Scilabでブラウン運動 その1の方法は4.の方法と同じです。(移動する距離は二次元では√2となっていますが。)

関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


参考文献/使用機器





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tag: Scilab 乱数 モンテカルロ解析 確率論 ランダムウォーク ブラウン運動 

Scilabでブラウン運動 その1

Scilabで楽しむ確率論(PDF)では一次元と二次元のランダムウォークをシミュレーションするScilabスクリプトが紹介されています。これらのスクリプトを参考にして三次元の対称ランダムウォークのシミュレーションを行いました。

003_20141109070543e4d.png
Fig.1: 三次元の対称ランダムウォーク



一次元対称ランダムウォーク


一次元の場合、t=0でx=0にあった粒子が1ステップの時間の間に、x軸の方向に半々の確率で+1または-1だけ移動するとします。この場合、Nステップ後に粒子がどこにいるのかをシミュレーションしました。

001_20141109070543015.png
Fig.2: 一次元の対称ランダムウォーク


以下はScilabで楽しむ確率論(PDF)による一次元対称ランダムウォークのスクリプト(に多少の編集とコメントを加えたもの)です。

clear;

// *** 時間ステップ数 ***
tnum = 10000; // 時間ステップ数
t = (0:1:tnum)'; // 時間のベクトル

// *** 位置の計算 ***
xi = 2 * (rand(tnum,1) >= 0.5) - 1;
S = [0;cumsum(xi)];

// *** グラフのプロット ***
plot(t,S,'-b');
xlabel("Time");
ylabel("Position");


二次元対称ランダムウォーク


二次元の場合t=0で(x,y)=(0,0)にあった粒子が1ステップの間に、x軸の方向には1/2の確率で+1, もう1/2の確率で-1移動し、同様にy軸の方向に対しても半々の確率で正の方向と負の方向にそれぞれ1ずつ移動するとします。この場合、Nステップ後に粒子がどこにいるのかをシミュレーションしました。

002_20141109070543ce1.png
Fig.3: 二次元の対称ランダムウォーク


以下はScilabで楽しむ確率論(PDF)による一次元対称ランダムウォークのスクリプト(に多少の編集とコメントを加えたもの)です。

clear;

// *** 時間 ***
tnum = 10000; // 時間ステップ数
t = (0:1:tnum)'; // 時間のベクトル

// *** 位置の計算 ***
xi = 2 * (rand(2,tnum) >= 0.5) - 1;
S = [zeros(2,1), cumsum(xi,'c')];

// *** グラフのプロット ***
plot(S(1,:),S(2,:),'-b');
xlabel("x position");
ylabel("y position");


三次元対称ランダムウォーク


一次元から二次元への拡張を見れば、三次元への拡張もほぼ自明です。
なお、三次元空間における軌跡の表示にはparam3dを利用します。

clear;

// *** 時間 ***
tnum = 10000; // 時間ステップ数
t = (0:1:tnum)'; // 時間のベクトル

// *** 位置の計算 ***
xi = 2 * (rand(3,tnum) >= 0.5) - 1;
S = [zeros(3,1), cumsum(xi,'c')];

// *** グラフのプロット ***
param3d(S(1,:),S(2,:),S(3,:));
xlabel("x position");
ylabel("y position");
zlabel("z position");


関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)


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