Scilabでマンデルブロ集合

数値計算で描くことが出来るかっこ良い図といえば、なんと言ってもマンデルブロ集合だと思います。Wikipediaのマンデルブロ集合の項目に行くと美しい画像が何枚も公開されています。
Web上にScilabを使ってマンデルブロ集合を描くスクリプトが公開されているページがあるかを探してみると、何件か見つかりました。

001_20130718232320.png

Fig.1: Code Generation & Compilation - WildCruncherによるマンデルブロ集合


上記の図はCode Generation & Compilation - WildCruncherによるプログラムを使って描いたものです。他にもHaving fun with scilab and the mandelbrot setCreating the Mandelbrot set with a vectorized Scilab algorithmなどたくさんの方がプログラミングしているようです。


フラクタル


Wikipediaのマンデルブロ集合の項目によるとマンデルブロ集合は以下のように定義されます。

次の漸化式

eq001.png

で定義される複素数列 {zn}n∈Nが n → ∞ の極限で無限大に発散しないという条件を満たす複素数 c 全体が作る集合がマンデルブロ集合である。


マンデルブロ集合の面白い点は、拡大していくと元のマンデルブロ集合と全く同じ形をした構造がどこまでも現れるということです。
以下に示すのは、Wikipediaより引用したマンデルブロ集合を順次拡大していくgifアニメーションです。

002.gif

Fig.2: マンデルブロ集合のフラクタル性


このように、一部を拡大すると元と全く同じ形が現れるようなものをフラクタルと呼びます。
実を言うとScilabで繰り返し計算: ロジスティック写像でプログラミングしたロジスティック写像もまたフラクタルになっています。

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