Scilabの論理演算で条件分岐

Scilabで条件分岐:テント写像ではif then elseを利用して条件分岐のプログラムを書きました。
しかしながらScilabで繰り返し計算: ロジスティック写像で指摘したとおりScilabではループ計算をさせるととたんに計算速度が遅くなります。

前回のプログラムではif then elseを使うためにforループを二重になってしまっています。
そこで今回は、論理演算を用いてループが減るようにしました。

texclip20130718112739.png

nmax = 200;
nout = 100;

Mu = [1:0.001:2];
X = 0.5 * ones(nmax,length(Mu));

for n = 1: nmax - 1 do
X(n+1,:) = Mu .* X(n,:) .* (X(n,:) < 0.5) + ..
Mu .* (1.0 - X(n,:)) .* (X(n,:) >= 0.5);
end

plot(Mu,X(nout:nmax,:),'.r','markersize',1)
xlabel("$\mu$");
ylabel("$x_n$");



論理演算


Scilabでは結果をT(true, 真)とF(false, 偽)で返す論理演算があります。
例えば、以下のようなものです。
M = [0:0.1:1]
M > 0.5
この結果は F F F F F F T T T T T といった様に要素にTとFを持つ行列になります。

これを F=0,T=1 の数値としてそのまま計算に使うことが出来ます。例えば
M = [0:0.1:1]
1 * (M > 0.5)
の結果は 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 です。

関連エントリ




参考URL




付録


このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)




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tag: Scilab 条件分岐 繰り返し カオス 

Scilabでvan der Pol方程式

微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)に従ってvan der Pol方程式の計算をします。

\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} - \mu (1-x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+x=0

(μ>0)

VanDerPol.png

Fig.1: van der Pol方程式。μ=1.0 (x0,v0)=(0,1)



作成したプログラムはVanDerPol_sce.txtです。

clear;

// *** 微分方程式の定義 ***
function dx = vanderpol(t,x)
mu = 1.0;
dx(1) = x(2);
dx(2) = mu * (1 - x(1) ^ 2) * x(2) - x(1);
endfunction

// *** 時間ベクトル ***
T = linspace(0,40,800);

// *** 微分方程式ソルバ ***
X0 = [0.0; 1.0]; // 初期条件
X = ode(X0,0,T,vanderpol);

// *** グラフのプロット ***
xsetech([0,0,1,0.45]);
plot(X(1,:),X(2,:));
xlabel("x");
ylabel("v");
xsetech([0,0.5,1,0.45]);
plot(T,X(1,:));
xlabel("t");
ylabel("x");


外力がある場合


外力がある場合の式は以下のように表されます。

\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2} - \mu (1-x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+kx=f\cos\omega t

(μ>0)

プログラムはVanDerPol2_sce.txtです。

clear;

// *** 微分方程式の定義 ***
function dx = vanderpol(t,x)
mu = 1.0;
k = 1.0;
f = 2.0;
w = 2 * %pi;
dx(1) = x(2);
dx(2) = mu * (1 - x(1) ^ 2) * x(2) - k * x(1) + f * cos(w * t);
endfunction

// *** 時間ベクトル ***
T = linspace(0,40,800);

// *** 微分方程式ソルバ ***
x0 = 0.0;
v0 = -3.0;
X0 = [x0; v0]; // 初期条件
X = ode(X0,0,T,vanderpol);

// *** グラフのプロット ***
xsetech([0,0,1,0.45]);
plot(X(1,:),X(2,:));
xlabel("x");
ylabel("v");
xsetech([0,0.5,1,0.45]);
plot(T,X(1,:));
xlabel("t");
ylabel("x");


VanDerPol2.png

Fig.2: 外力のある場合。μ=1.0, k=1.0, f=2.0, ω=2π (x0,v0)=(0,-3)


関連エントリ




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付録


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tag: Scilab 常微分方程式 ode カオス 

Scilabでカオスアトラクタ

微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)に従って3つのカオスアトラクタの計算をします。

lorenz.png

Fig.1: Lorenzカオスアトラクタ。σ=10, R = 28, b = 8/3 (x0,y0,z0)=(0,0.03,0) 0≦t≦3000。



Lorenz方程式


Lorenz方程式は、以下の連立微分方程式であらわされます。

\begin{eqnarray*}<br />\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & = & -\sigma (x-y) \\<br />\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & = & Rx - y - xz \\<br />\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} & = & xy - bz<br />\end{eqnarray*}

プログラムはlorenz_sce.txtです。
なお出力された3次元グラフは、右ドラッグでぐるぐる動かすことが出来ます。

clear;

s = 10;
r = 28;
b = 8 / 3;

function dx = lorenz(t,x)
dx(1) = - s * (x(1) - x(2));
dx(2) = r * x(1) - x(2) - x(1) * x(3);
dx(3) = x(1) * x(2) - b * x(3);
endfunction

T = linspace(0,30,3000);
x0 = 0;
y0 = 0.03;
z0 = 0;
X0 = [x0; y0; z0];

X = ode(X0,0,T,lorenz);
plot3d3(X(1,:),X(2,:),X(3,:));


Rossler方程式


Rossler方程式は、以下の連立方程式であらわされます。

\begin{eqnarray*}<br />\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & = & -y-z \\<br />\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & = & x+ay \\<br />\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} & = & b+xz-cz<br />\end{eqnarray*}

プログラムはrossler_sce.txtです。

clear;

a = 0.2;
b = 0.2;
c = 5.6;

function dx = rossler(t,x)
dx(1) = - x(2) - x(3);
dx(2) = x(1) + a * x(2);
dx(3) = b + x(1) * x(3) - c * x(3);
endfunction

T = linspace(0,100,10000);
x0 = 1;
y0 = 0;
z0 = 0;
X0 = [x0; y0; z0];

X = ode(X0,0,T,rossler);
plot3d3(X(1,:),X(2,:),X(3,:));


rossler.png

Fig.2: Rosslerカオスアトラクタ。a = 0.2, b = 0.2, c = 5.6 (x0,y0,z0)=(1,0,0) 0≦t≦10000。


Silnikov方程式


Silnikov方程式は、以下の連立方程式であらわされます。

\begin{eqnarray*}<br />\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & = & y \\<br />\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & = & z \\<br />\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} & = & -ax-y+bx(1-cx-dx^2)<br />\end{eqnarray*}

プログラムはsilnikov_sce.txtです。

clear;

a = 0.4;
b = 0.7;
c = 0.0;
d = 1.0

function dx = silnikov(t,x)
dx(1) = x(2);
dx(2) = x(3);
dx(3) = - a * x(3) - x(2) + b * x(1) * (1 - c * x(1) - d * x(1) ^ 2);
endfunction

T = linspace(0,200,20000);
x0 = 0.1;
y0 = 0.1;
z0 = 0.2;
X0 = [x0; y0; z0];

X = ode(X0,0,T,silnikov);
plot3d3(X(1,:),X(2,:),X(3,:));


silnikov.png

Fig.3: Silnikovカオスアトラクタ。a = 0.4, b = 0.7, c = 0.0, d = 1.0 (x0,y0,z0)=(0.1,0.1,0.2) 0≦t≦20000。


関連エントリ




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付録


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ScilabでDuffin方程式

微分方程式による物理現象のモデル化(PDF)に従ってDuffin方程式をシミュレーションします。

\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}+D\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\beta x^3 = f\cos\omega t

001_20130722112028.png

Fig.1: Duffin方程式のポアンカレ図(D=0.05, f=7.5, β=1.0)



ポアンカレ図


外力の周期の整数倍の間隔で、位相図をプロットしたものをポアンカレ図と呼びます。
プログラム中では、周期2πのk倍のときの位置と速度をプロットしています。

  if k - fix(k / 100) * 100 == 0 then
k // 100ごとに数値をカウント表示
end


MatlabやOctaveのrem(X,Y)X-fix(X./Y).*Yで表すことが出来ます(参考:rem (Matlab function))。上記のプログラムは、kが100で割り切れるときだけkの値を表示するというもので、Duffin方程式のポアンカレ図は書くのに結構な時間がかかるため、どこまで計算したかを人間が見て分かるように表示させるためのものです。

以上を踏まえてScilabへ移植したプログラムがduffin_sce.txtです。

clear;

// *** 共通部分 ***
// 入力パラメータ
d = 0.05;
f = 7.5;
b = 1.0;
t = 2 * %pi; // 時間の最大値
n = t / 0.01 + 1; // 時間の刻み数
T = linspace(0,t,n);
// 初期値
x0 = 0.0;
dx0 = 0.0;
X0 = [x0; dx0];

// *** 常微分方程式ソルバによる数値解 ***
// 微分方程式の定義
function dx = duffin(t,x)
dx(1) = x(2);
dx(2) = - d * x(2) - b * x(1) ^ 3 + f * cos(t);
endfunction

for k = 1:5000;
if k - fix(k / 100) * 100 == 0 then
k // 100ごとに数値をカウント表示
end
X = ode(X0,0,T,duffin); // 常微分方程式ソルバ
X0 = [X(1,n); X(2,n)];
XV(1,k) = X(1,n);
XV(2,k) = X(2,n);
end
plot(XV(1,:),XV(2,:),'.r','markersize',1);
xlabel("x");
ylabel("v");


関連エントリ




参考URL




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tag: Scilab 常微分方程式 ode 位相図 カオス 

Scilabで条件分岐:テント写像

Scilabで繰り返し計算: ロジスティック写像ではforを使ったループを利用してカオス理論に現れるロジスティック写像の図を描くプログラムを作成しました。

今回は、更に条件分岐をプラスしてテント写像のプログラムを作成します。

001_20130718113839.png

Fig.1: テント写像の分岐図



Wikipediaのテント写像の項にある通り、テント写像は以下の式で表されます。

texclip20130718112739.png


条件分岐はScilabではifを使って実現することが出来ます。(参考:if then else)
Scilabで繰り返し計算: ロジスティック写像の繰り返し計算を入れ子にしたものに少し手を加えるだけでテント写像のプログラムになります。

nmax = 200;
nout = 100;

Mu = [1:0.001:2];
X = 0.5 * ones(nmax,length(Mu));

for m = 1:length(Mu) do
for n = 1: nmax - 1 do
if X(n,m) < 0.5 then
X(n+1,m) = Mu(m) * X(n,m);
else
X(n+1,m) = Mu(m) * (1 - X(n,m));
end
end
end

plot(Mu,X(nout:nmax,:),'.r','markersize',1)
xlabel("$\mu$");
ylabel("$x_n$");


なお、Scilabのグラフのラベルには$記号で囲うことによってTeX形式で文字を書くことが出来ます。(参考:Scilabのグラフの凡例)

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参考URL




付録


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