AkaiKKRで鉄のeg, t2g状態密度

第一原理計算入門 AkaiKKRのページで紹介されている方法に従ってAkaiKKR(machikaneyama)を用いて鉄のd状態密度をegとt2gに分解してプロットしました。

FePDOS.png

Fig.1: 強磁性体心立方構造鉄のd電子の部分状態密度



AkaiKKRの部分状態密度


AkaiKKR(machikaneyama)ではgoモードでセルフコンシステント計算を行った後、出力されたポテンシャルファイルからdosモードでspecxを実行することによって状態密度を計算することが出来ます。
状態密度は全状態密度とコンポーネントごとに分かれた部分状態密度の両方が出力されます。デフォルトでは部分状態密度は s, p, d, f, ...軌道に分かれて出力されます。第一原理計算入門 AkaiKKRのページではt2gやegに分解した部分状態密度を計算する方法が書かれています。
今回はこれにしたがって source/spmain.f を編集して鉄の部分状態密度を計算しました。

部分状態密度計算用の実行ファイル


第一原理計算入門 AkaiKKRのページに書かれている通りですが、手順を書きます。具体的には source/spmain.f を編集して再び make するだけです。

まず source/spmain.f と実行ファイルの specx のバックアップを取ります。
cp source/spmain.f source/spmain.f.back
mv specx specx.back


次に source/spmain.f の該当部分を第一原理計算入門 AkaiKKRのページに書かれている通りに編集します。(以下のコマンドでは emacs で編集していますが vi でも gedit でもお好きなエディタでどうぞ)
emacs -nw source/spmain.f


まず下記に該当する部分を探します。
c     --- print partial and the total DOS if required.
if(ids .eq. 1 .or. ids .eq. 2 .or. ids .eq. 3) then
estep=dble(e(2,is))-dble(e(1,is))
do 69 i=1,ncmpx
write(*,'(//1x,a,i2,a,i2)')'DOS of component',i
do 69 k=1,kk
xmd(i,k,1,is)=-dimag(wkc(2,i,k))/pi
cc & (-dimag(wkc(4,i,k))/pi)+(-dimag(wkc(2,i,k))/pi)
xmd(i,k,2,is)=-dimag(wkc(4,i,k))/pi
cc & (-dimag(wkc(4,i,k))/pi)-(-dimag(wkc(2,i,k))/pi)
c 69 write(*,'(1x,f7.4,3x,9f8.4)') dble(e(k,is))-ef(is)
c & ,( -dimag(wkc(l,i,k))/pi,l=1,mxl**2)
do 160 l=1,mxlcmp(i)
c do 160 l=1,2
do 160 m=1,2*(l-1)
160 wkc(l**2,i,k)=wkc(l**2,i,k)+wkc(l**2-m,i,k)
c wkc(5,i,k)=wkc(5,i,k)+wkc(6,i,k)+wkc(8,i,k)
c wkc(7,i,k)=wkc(7,i,k)+wkc(9,i,k)
69 write(*,'(1x,f7.4,3x,4f10.4)') dble(e(k,is))-ef(is)
& ,(-dimag(wkc(l**2,i,k))/pi,l=1,mxlcmp(i))
write(*,'(//1x,a/(1x,f12.7,f13.5))')
& 'total DOS',(dble(e(k,is))-estep/2d0-ef(is)
& ,dimag((detl(k,is)-detl(k-1,is))/(e(k,is)-e(k-1,is)))
& ,k=2,kk)
write(*,'(//1x,a/(1x,f12.7,f13.5))')
& 'integrated DOS',(dble(e(k,is))-ef(is)
& ,dimag(detl(k,is)),k=1,kk)


上記の部分をごっそりと削除して、下記の記述に置き換えます。

c     --- print partial and the total DOS if required.
if(ids .eq. 1 .or. ids .eq. 2 .or. ids .eq. 3) then
estep=dble(e(2,is))-dble(e(1,is))
write(*,'(///a)')
& '(PDOS DATA: Ry, s, px, pz, py, dxy, dyz, dz^2, dxz, dx^2-y^2)'
do 69 i=1,ncmpx
write(*,'(//1x,a,i2,a,i2)')'DOS of component',i
do 69 k=1,kk
xmd(i,k,1,is)=-dimag(wkc(2,i,k))/pi
cc & (-dimag(wkc(4,i,k))/pi)+(-dimag(wkc(2,i,k))/pi)
xmd(i,k,2,is)=-dimag(wkc(4,i,k))/pi
cc & (-dimag(wkc(4,i,k))/pi)-(-dimag(wkc(2,i,k))/pi)
69 write(*,'(1x,f7.4,3x,9f8.4)') dble(e(k,is))-ef(is)
& ,( -dimag(wkc(l,i,k))/pi,l=1,mxl**2)
c do 160 l=1,mxlcmp(i)
c do 160 l=1,2
c do 160 m=1,2*(l-1)
c 160 wkc(l**2,i,k)=wkc(l**2,i,k)+wkc(l**2-m,i,k)
c wkc(5,i,k)=wkc(5,i,k)+wkc(6,i,k)+wkc(8,i,k)
c wkc(7,i,k)=wkc(7,i,k)+wkc(9,i,k)
c 69 write(*,'(1x,f7.4,3x,4f10.4)') dble(e(k,is))-ef(is)
c & ,(-dimag(wkc(l**2,i,k))/pi,l=1,mxlcmp(i))
if(is .eq. 1) then
write(*,'(//1x,a/(1x,f12.7,f13.5))')
& 'total_up TDOS_up',(dble(e(k,is))-estep/2d0-ef(is)
& ,dimag((detl(k,is)-detl(k-1,is))/(e(k,is)-e(k-1,is)))
& ,k=2,kk)
write(*,'(//1x,a/(1x,f12.7,f13.5))')
& 'integrated_up IDOS_up',(dble(e(k,is))-ef(is)
& ,dimag(detl(k,is)),k=1,kk)
end if
if(is .eq. 2) then
write(*,'(//1x,a/(1x,f12.7,f13.5))')
& 'total_dn TDOS_dn',(dble(e(k,is))-estep/2d0-ef(is)
& ,dimag((detl(k,is)-detl(k-1,is))/(e(k,is)-e(k-1,is)))
& ,k=2,kk)
write(*,'(//1x,a/(1x,f12.7,f13.5))')
& 'integrated_dn IDOS_dn',(dble(e(k,is))-ef(is)
& ,dimag(detl(k,is)),k=1,kk)
end if


編集したら make を実行します。
make


出来たファイルはpdos用に別名保存するようにしました。ついでにバックアップしておいた通常の specx を復帰させておきます。
mv specx specx.pdos
mv specx.back specx


また source/spmain.f も元に戻しておいたほうがいいでしょう。代わりに編集したバージョンのバックアップを取っておきます。
mv source/spmain.f source/spmain.f.pdos
mv source/spmain.f.back source/spmain.f


鉄の計算


入力ファイルは通常の鉄の計算用のものと基本的には変わりませんが、今回の specx.pdos はd電子までしか計算できないので l=2 とします。また部分状態密度は全状態密度よりもギザギザになりやすいので bzqlty はかなり高めにしました。

c----------------------Fe------------------------------------
dos data/fe
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
bcc 5.27 , , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.0 nrl mjw mag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 18 100 0.035
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Fe 1 1 0.0 2
26 100
c------------------------------------------------------------
c natm
1
c------------------------------------------------------------
c atmicx(in the unit of a) atmtyp
0 0 0 Fe
c------------------------------------------------------------


結果として得られる部分状態密度は s, p, py, pz,
dxy, dyz, dz2, dxz, dx2-z2の順に出力されます。
今回は eg=dz2+dx2-y2 と t2g = dxy+dyz+dxz についてプロットしました。


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くつ乾燥機

梅雨のシーズンで靴が濡れてしまう事もたびたびなこのごろですが、私は昨年購入したくつ乾燥機のおかげで快適です。ツインバード工業のくつ乾燥機は、おおよそ見た目から想像が付くとおりの使い方で、くつを乾かすことが出来ます。
タイマー機能がついているので、湿ったくつをセットしてつまみを最大の2時間に設定して放置すれば、翌日の朝に履くまでにはしっかりと乾いています。すごく便利です。

包丁を研ごう

詐欺師と一緒にされるのが嫌な人が詐欺師と一緒にされるのはかわいそうなので、広告を消すために更新します。

包丁を研ぐのはハードルが高いと思っていましたが、適切な治具があれば簡単にできるだろう事に今更ながら気がつきました。当然ながらAmazonで安く売っています。砥石の番手も#1000番だけで充分です。



一人暮らしで適当に使ってる文化包丁程度でも数ヶ月使うと切れ味が悪くなります。スーパートゲールをつけて#1000番の砥石で適当にごしごしするだけでもだいぶマシになります。

今までなんとなくハードル高いと思っていた皆様、レッツ研磨。

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Scilabで最急降下法 その2

Scilabで最急降下法 その1では1変数の関数 f(x) に対して最急降下法を用いて最小値を求めました。今回は2変数の関数 f(x,y) について最小値を求めます。

001_20170509143114675.png
Fig.1: 最急降下法による最小値探査



具体的には二次元のガウス関数に-1を掛けた関数を f(x,y) とします。
\begin{equation}
f(x,y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\\
\times\left(\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} +\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right) \right\}
\end{equation}
ここで
\begin{equation}
\rho=\frac{\sigma_{12}}{\sigma_1\sigma_2}
\end{equation}

最急降下法の値の更新は二次元の場合は以下のように行います。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
x^{(k+1)}\\
y^{(k+1)}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x^{(k)}\\
y^{(k)}
\end{pmatrix}
-\alpha
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f(x^{(k)}, y^{(k)})}{\partial x}\\
\frac{\partial f(x^{(k)}, y^{(k)})}{\partial y}
\end{pmatrix}
\end{equation}
停止条件は ∂f/∂x < ε かつ ∂f/∂y < ε とすればよいと思います。

clear;

// *** 二次元ガウス分布 ***
mu1 = 3; mu2 = 1;
mu = [mu1; mu2];
sigma1 = sqrt(10); sigma2 = sqrt(10); sigma12 = 5;
SIGMA = [sigma1^2, sigma12; sigma12, sigma2^2];
rho = sigma12 / (sigma1 * sigma2);
function z = func(x, y)
z = -1 ./ (2 * %pi * sigma1 * sigma2 * sqrt(1 - rho)) ..
.* exp(-1 / (2 .* (1 - rho^2)) ..
.* ((x - mu1) .^ 2 ./ (sigma1 ^ 2) - 2 .* rho .* (x - mu1) .* (y - mu2) ./ (sigma1 * sigma2) + ((y - mu2) .^ 2) ./ (sigma2 ^ 2)))
endfunction


// *** 数値微分 ***
h = 1E-3;
function dzx = dfx(x, y)
dzx = (func((x+h), y) - func((x-h), y)) ./ (2 * h)
endfunction

function dzy = dfy(x, y)
dzy = (func(x, (y+h)) - func(x, (y-h))) ./ (2 * h)
endfunction

// *** グラフのプロット ***
x = linspace(-10,10);
y = linspace(-10,10);
[X,Y] = ndgrid(x,y);
Z = func(X,Y);
// 色の設定
//xset("colormap",jetcolormap(64))
// xset("colormap",graycolormap(64))
// Sgrayplot(x,y,Z)
xset("fpf"," "); // 等高線に値を表示しない
contour2d(x,y,Z,10);
xmin = min(X); xmax = max(X); ymin = min(Y); ymax = max(Y);
zoom_rect([xmin,ymin,xmax,ymax]);




// *** 最小値の計算 ***
// 停止条件
err = 1E-5;
a = 200;
// 初期値
x = -4; y = 4;
z = func(x, y);
dx = dfx(x, y);
dy = dfy(x, y);
plot(x, y, "xk");
// 最小値の計算
while ((abs(dx) > err) | (abs(dy) > err))
x = x - a * dx;
y = y - a * dy;
dx = dfx(x, y);
dy = dfy(x, y);
plot(x, y, ".r");
end
// 計算結果
x, y
plot(x, y, "xk");


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tag: Scilab 最適化 最小値 最大値 

Scilabで最急降下法 その1

Scilabで何らかの関数 f(x) の最小値(あるいは最大値)を計算することを考えます。関数の値を計算するのが簡単な場合は x の定義域全体で f(x) を計算した後 minmax を使うという方法もあります。しかしながら f(x) の計算にそれなりの時間がかかる場合や f(x, y) といったように引数がたくさんある場合は効率的ではないと思います。

そこで今回は最急降下法のアルゴリズムを利用して f(x) の最小値を求めるということをやってみます。

001_20170507020049254.png

Fig.1: 最急降下法での最小値探索。上が関数f(x)の値、下が微分値f'(x)



最小値を求める関数


さて、実際に最小値を求める関数 f(x) ですが、今回は単純にガウス関数に -1 を掛けたものにします。
\begin{equation}
f(x) = - \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{equation}
当然ながら、f(x)が最小になるのは x = μ のときです。

最急降下法


高校の数学で習ったとおり f(x) が最大値や最小値(や極値)をとるときその微分は f'(x) = df(x)/dx = 0 となります。最急降下法は、関数の微分を計算しその傾きが大きいほうへ f'(x)=0 となる x を探すアルゴリズムです。具体的には以下の手続きを繰り返します。
  1. x の初期値 x(0) を決める
  2. f'(x) < ε なら終了
  3. x(k+1) = x(k) - αf'(x(k))
  4. 2.に戻る

実際には α や ε を上手に決めておく必要があります。αは勾配の方向にどの程度進むかを決めるパラメータ(下記Scilabスクリプトではa)で、εは計算の終了条件を決めるパラメータ(下記Scilabスクリプトではerr)です。

Scilabスクリプト


clear;

// *** 一次元ガウス分布 ***
function y = func(x)
mu = 3;
sigma = 1;
y = -1 / sqrt(2*%pi*sigma^2) * exp(-1 * ((x - mu) .^ 2) ./ (2*sigma^2))
// y = cos(x)
endfunction

// *** 数値微分 ***
function y = dfunc(x)
h = 1E-4;
y = (func(x+h) - func(x-h)) ./ (2*h)
endfunction

// *** グラフのプロット ***
X = linspace(0,6);
Y = func(X);
dY = dfunc(X);
subplot(2,1,1);
plot(X, Y);
subplot(2,1,2);
plot(X, dY);

// *** 最小値の計算 ***
// 停止条件
err = 1E-3;
a = 0.5;
// 初期値
x = 1;
y = func(x);
dx = dfunc(x);
subplot(2,1,1);
plot(x, y, ".r");
subplot(2,1,2);
plot(x, dx, ".r");

// *** 最小値の計算 ***
while abs(dx) > err
x = x - a * dx;
dx = dfunc(x);
y = func(x);
subplot(2,1,1);
plot(x, y, ".r");
subplot(2,1,2);
plot(x, dx, ".r");
end

// *** 計算結果 ***
x
subplot(2,1,1);
plot(x, y, "xk");


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Scilabで二重積分

Scilabを利用すると1変数の数値積分が簡単に計算できます。

\begin{equation}
\int_{x_0}^{x_1}f(x)\mathrm{d}x
\end{equation}

このブログでも数値積分タグにいくつかの例を見つけることができます。しかしながら、2変数の数値積分はこれまで行ってきませんでした。

\begin{equation}
\int\int f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}

Scilabには二重積分を計算することが可能な int2d が存在します。今回は高校数学の美しい物語で解析的に解かれている二重積分を数値的に計算してみます。


積分範囲が長方形領域の場合


積分範囲が長方形の領域の場合、すなわち以下のような式で表すことができる場合は、簡単に数値積分できます。

\begin{equation}
\int_{x_0}^{x_1}\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}

Scilabの int2d では長方形領域を2つの三角形のパッチワークとして与えます。
積分範囲を int2d に渡すために行列XとYを用意します。それぞれ2つの三角形の頂点のx座標とy座標を与えます。

\begin{equation}
X =
\begin{pmatrix}
x_{0} & x_{0} \\
x_{1} & x_{1} \\
x_{1} & x_{0} \\
\end{pmatrix},
Y =
\begin{pmatrix}
y_{0} & y_{0} \\
y_{0} & y_{1} \\
y_{1} & y_{1} \\
\end{pmatrix}
\end{equation}

001_20170423145553b2b.png
Fig.1: Scilabのint2dへの積分範囲の与え方


実際に以下の積分を計算して見ます。

\begin{equation}
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}x^4 \sin(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}

clear;

r = 1;

// *** 積分する関数の定義 ***
function z = func(x,y)
z = (x .^ 4) * sin(y)
endfunction
// 積分範囲
x0 = 0; x1 = r;
y0 = 0; y1 = %pi;

// *** 二重積分 ***
X = [x0, x0;
x1, x1;
x1, x0];
Y = [y0, y0;
y0, y1;
y1, y1];
// 数値解
I = int2d(X, Y, func)
// 解析解
A = 2*(r^5)/5


数値化解と解析解が同じ値になることが確認できます。

積分範囲が三角形の組み合わせで表せる場合


積分範囲が長方形の場合は2つの三角形の組み合わせで表現されますが、より複雑な形状の場合も任意の個数の三角形の組み合わせで表現できるはずです。今回は逆に簡単になってしまいますが、1個の三角形で表現できる例を計算します。

\begin{equation}
\int \int_D xy^2 \mathrm{d}x\mathrm{y}
\end{equation}

jusekibun.png
Fig.2: 積分領域Dが三角形ひとつ分の例


積分領域が三角形ひとつ分なので、与える行列は3行1列になります。

\begin{equation}
X =
\begin{pmatrix}
x_{0} \\
x_{1} \\
x_{1} \\
\end{pmatrix},
Y =
\begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{0} \\
y_{1} \\
\end{pmatrix}
\end{equation}

この計算を行うScilabスクリプトは以下のようになります。

clear;

// *** 積分する関数の定義 ***
function z = func(x,y)
z = x .* (y .^ 2)
endfunction

// *** 二重積分 ***
X = [0;
1;
1];
Y = [1;
0;
1];
// 数値解
I = int2d(X, Y, func)
// 解析解
A = 3/20


このスクリプトも数値解と解析解が同じに値になることが分かります。

同様にしてN個の三角形の組み合わせで表現される積分範囲の場合3行N列の行列で指定することができます。

更に複雑な積分領域の場合


どんなに複雑な積分領域の形状であっても三角形のパッチワークで表現できるはずですが、現実的には大変です。そこでOctaveの精義―フリーの高機能数値計算ツールを使いこなすで紹介されている方法を試してみましたが、現状うまく行っていません。上手く行っていませんがとりあえず方法だけは紹介します。
具体的にはScilabの論理演算で条件分岐の考え方を使って積分領域外では値がゼロになるように被積分関数の定義を行います。

\begin{equation}
\int\int_D -\frac{1}{(2x + y + 1)^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}

jusekibun2.png
Fig.3: 複雑な積分領域の例


clear;

// *** 積分する関数の定義 ***
function z = func(x,y)
region = y >= x .^ 2
z = - 1 ./ ((2 * x + y + 1) .^ 2) .* region
endfunction

// *** 二重積分 ***
X = [0;
1;
1];
Y = [0;
0;
1];
// 数値解
I = int2d(X, Y, func)
// 解析解
A = (1/3) * log(4) - 1/2


原理的にはこのスクリプトでよいはずですが、実際には正しく計算してくれません。Scilab 6.0ではエラーで停止します。Scilab 5.5.2ではそれっぽい値を返しますが、解析解の値とはかなりずれた値となっており、不正確です。

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