Scilabで一次元周期的境界条件の分散関係
Scilabで一次元井戸型ポテンシャルの分散関係では金持徹 編著 固体電子論の§2.5で紹介されている一次元井戸型ポテンシャルの$E-k$関係をプロットしました。今回は一次元の周期境界条件の$E-k$関係をプロットします。
Fig.1 周期的境界条件の$E-k$関係
Scilabスクリプトは以下のようになりました。
原子数 N = 100 個で計算してみると、フェルミエネルギー$E_f$やフェルミ波数ベクトル$k_f$がScilabで一次元井戸型ポテンシャルの分散関係のときとわずかに異なりました。そこで原子数を変えながらフェルミエネルギーがどの様に変わるかを確認しました。
Fig.2 原子の数とフェルミエネルギーの関係。破線で示したのが井戸型ポテンシャルのフェルミエネルギー。
周期的境界条件の計算では、十分に多数の原子が存在すると仮定していますが、原子の数が千個から一万個程度は無いと正しいフェルミエネルギーが得られないようです。
このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)
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Fig.1 周期的境界条件の$E-k$関係
Scilabスクリプト
Scilabスクリプトは以下のようになりました。
clear;
// *** リュードベリ(Rydberg)原子単位系 ***
hbar = 1; // 換算プランク定数
h = 2 * %pi * hbar; // プランク定数
m = 0.5; // 電子の質量
a0 = 1; // ボーア半径
// *** 系の設定 ***
// 原子の数
//n_atom = 20;
n_atom = 100;
// 原子間距離
r0 = 1.0 * a0;
// 結晶の長さ
l = n_atom * r0;
// 価数と電子の総数
n_valence = 1;
n_electron = n_valence * n_atom;
// *** 分散関係の計算 ***
g = 0;
// 波数ベクトル (式 3.11)
kg = 2 * %pi / l * g;
Kg = [kg];
// エネルギー (式 3.13)
eg = hbar * hbar / (2 * m) * (2 * %pi / l * g) * (2 * %pi / l * g);
Eg = [eg];
for g=1:int((n_electron - 2) / 4)
// 波数ベクトル (式 3.11)
kg = 2 * %pi / l * g;
Kg = [-kg, Kg, kg];
// エネルギー (式 3.13)
eg = hbar * hbar / (2 * m) * (2 * %pi / l * g) * (2 * %pi / l * g);
Eg = [eg, Eg, eg];
end
// フェルミ波数ベクトル (1/Bohr)
kf = kg
// フェルミエネルギー (Ry)
ef = eg
// gの最大値
gmax = g;
// *** グラフの描画 ***
plot(0, 0); // グラフ描画範囲のためのダミー
plot(Kg, Eg, ".b");
// *** グラフの装飾 ***
xgrid(color("gray"));
xlabel("Wave vector (1/Bohr)");
ylabel("Energy (Ry)");
//zoom_rect([-kf, 0, kf, ef]);原子数Nの影響
原子数 N = 100 個で計算してみると、フェルミエネルギー$E_f$やフェルミ波数ベクトル$k_f$がScilabで一次元井戸型ポテンシャルの分散関係のときとわずかに異なりました。そこで原子数を変えながらフェルミエネルギーがどの様に変わるかを確認しました。
Fig.2 原子の数とフェルミエネルギーの関係。破線で示したのが井戸型ポテンシャルのフェルミエネルギー。
周期的境界条件の計算では、十分に多数の原子が存在すると仮定していますが、原子の数が千個から一万個程度は無いと正しいフェルミエネルギーが得られないようです。
関連エントリ
付録
このエントリで使用したScilabのシミュレーション用ファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)
参考文献/使用機器
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