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Scilabで最急降下法 その2
Scilabで最急降下法 その1では1変数の関数 f(x) に対して最急降下法を用いて最小値を求めました。今回は2変数の関数 f(x,y) について最小値を求めます。
Fig.1: 最急降下法による最小値探査
具体的には二次元のガウス関数に-1を掛けた関数を f(x,y) とします。
\begin{equation}
f(x,y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\\
\times\left(\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} +\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right) \right\}
\end{equation}
ここで
\begin{equation}
\rho=\frac{\sigma_{12}}{\sigma_1\sigma_2}
\end{equation}
最急降下法の値の更新は二次元の場合は以下のように行います。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
x^{(k+1)}\\
y^{(k+1)}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x^{(k)}\\
y^{(k)}
\end{pmatrix}
-\alpha
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f(x^{(k)}, y^{(k)})}{\partial x}\\
\frac{\partial f(x^{(k)}, y^{(k)})}{\partial y}
\end{pmatrix}
\end{equation}
停止条件は ∂f/∂x < ε かつ ∂f/∂y < ε とすればよいと思います。
このエントリで使用したファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)
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Fig.1: 最急降下法による最小値探査
具体的には二次元のガウス関数に-1を掛けた関数を f(x,y) とします。
\begin{equation}
f(x,y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\\
\times\left(\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} +\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right) \right\}
\end{equation}
ここで
\begin{equation}
\rho=\frac{\sigma_{12}}{\sigma_1\sigma_2}
\end{equation}
最急降下法の値の更新は二次元の場合は以下のように行います。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
x^{(k+1)}\\
y^{(k+1)}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x^{(k)}\\
y^{(k)}
\end{pmatrix}
-\alpha
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f(x^{(k)}, y^{(k)})}{\partial x}\\
\frac{\partial f(x^{(k)}, y^{(k)})}{\partial y}
\end{pmatrix}
\end{equation}
停止条件は ∂f/∂x < ε かつ ∂f/∂y < ε とすればよいと思います。
clear;
// *** 二次元ガウス分布 ***
mu1 = 3; mu2 = 1;
mu = [mu1; mu2];
sigma1 = sqrt(10); sigma2 = sqrt(10); sigma12 = 5;
SIGMA = [sigma1^2, sigma12; sigma12, sigma2^2];
rho = sigma12 / (sigma1 * sigma2);
function z = func(x, y)
z = -1 ./ (2 * %pi * sigma1 * sigma2 * sqrt(1 - rho)) ..
.* exp(-1 / (2 .* (1 - rho^2)) ..
.* ((x - mu1) .^ 2 ./ (sigma1 ^ 2) - 2 .* rho .* (x - mu1) .* (y - mu2) ./ (sigma1 * sigma2) + ((y - mu2) .^ 2) ./ (sigma2 ^ 2)))
endfunction
// *** 数値微分 ***
h = 1E-3;
function dzx = dfx(x, y)
dzx = (func((x+h), y) - func((x-h), y)) ./ (2 * h)
endfunction
function dzy = dfy(x, y)
dzy = (func(x, (y+h)) - func(x, (y-h))) ./ (2 * h)
endfunction
// *** グラフのプロット ***
x = linspace(-10,10);
y = linspace(-10,10);
[X,Y] = ndgrid(x,y);
Z = func(X,Y);
// 色の設定
//xset("colormap",jetcolormap(64))
// xset("colormap",graycolormap(64))
// Sgrayplot(x,y,Z)
xset("fpf"," "); // 等高線に値を表示しない
contour2d(x,y,Z,10);
xmin = min(X); xmax = max(X); ymin = min(Y); ymax = max(Y);
zoom_rect([xmin,ymin,xmax,ymax]);
// *** 最小値の計算 ***
// 停止条件
err = 1E-5;
a = 200;
// 初期値
x = -4; y = 4;
z = func(x, y);
dx = dfx(x, y);
dy = dfy(x, y);
plot(x, y, "xk");
// 最小値の計算
while ((abs(dx) > err) | (abs(dy) > err))
x = x - a * dx;
y = y - a * dy;
dx = dfx(x, y);
dy = dfy(x, y);
plot(x, y, ".r");
end
// 計算結果
x, y
plot(x, y, "xk");関連エントリ
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付録
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Scilabで最急降下法 その1
Scilabで何らかの関数 f(x) の最小値(あるいは最大値)を計算することを考えます。関数の値を計算するのが簡単な場合は x の定義域全体で f(x) を計算した後
そこで今回は最急降下法のアルゴリズムを利用して f(x) の最小値を求めるということをやってみます。
Fig.1: 最急降下法での最小値探索。上が関数f(x)の値、下が微分値f'(x)
さて、実際に最小値を求める関数 f(x) ですが、今回は単純にガウス関数に -1 を掛けたものにします。
\begin{equation}
f(x) = - \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{equation}
当然ながら、f(x)が最小になるのは x = μ のときです。
高校の数学で習ったとおり f(x) が最大値や最小値(や極値)をとるときその微分は f'(x) = df(x)/dx = 0 となります。最急降下法は、関数の微分を計算しその傾きが大きいほうへ f'(x)=0 となる x を探すアルゴリズムです。具体的には以下の手続きを繰り返します。
実際には α や ε を上手に決めておく必要があります。αは勾配の方向にどの程度進むかを決めるパラメータ(下記Scilabスクリプトでは
このエントリで使用したファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)
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min や max を使うという方法もあります。しかしながら f(x) の計算にそれなりの時間がかかる場合や f(x, y) といったように引数がたくさんある場合は効率的ではないと思います。そこで今回は最急降下法のアルゴリズムを利用して f(x) の最小値を求めるということをやってみます。
Fig.1: 最急降下法での最小値探索。上が関数f(x)の値、下が微分値f'(x)
最小値を求める関数
さて、実際に最小値を求める関数 f(x) ですが、今回は単純にガウス関数に -1 を掛けたものにします。
\begin{equation}
f(x) = - \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
\end{equation}
当然ながら、f(x)が最小になるのは x = μ のときです。
最急降下法
高校の数学で習ったとおり f(x) が最大値や最小値(や極値)をとるときその微分は f'(x) = df(x)/dx = 0 となります。最急降下法は、関数の微分を計算しその傾きが大きいほうへ f'(x)=0 となる x を探すアルゴリズムです。具体的には以下の手続きを繰り返します。
- x の初期値 x(0) を決める
- f'(x) < ε なら終了
- x(k+1) = x(k) - αf'(x(k))
- 2.に戻る
実際には α や ε を上手に決めておく必要があります。αは勾配の方向にどの程度進むかを決めるパラメータ(下記Scilabスクリプトでは
a)で、εは計算の終了条件を決めるパラメータ(下記Scilabスクリプトではerr)です。Scilabスクリプト
clear;
// *** 一次元ガウス分布 ***
function y = func(x)
mu = 3;
sigma = 1;
y = -1 / sqrt(2*%pi*sigma^2) * exp(-1 * ((x - mu) .^ 2) ./ (2*sigma^2))
// y = cos(x)
endfunction
// *** 数値微分 ***
function y = dfunc(x)
h = 1E-4;
y = (func(x+h) - func(x-h)) ./ (2*h)
endfunction
// *** グラフのプロット ***
X = linspace(0,6);
Y = func(X);
dY = dfunc(X);
subplot(2,1,1);
plot(X, Y);
subplot(2,1,2);
plot(X, dY);
// *** 最小値の計算 ***
// 停止条件
err = 1E-3;
a = 0.5;
// 初期値
x = 1;
y = func(x);
dx = dfunc(x);
subplot(2,1,1);
plot(x, y, ".r");
subplot(2,1,2);
plot(x, dx, ".r");
// *** 最小値の計算 ***
while abs(dx) > err
x = x - a * dx;
dx = dfunc(x);
y = func(x);
subplot(2,1,1);
plot(x, y, ".r");
subplot(2,1,2);
plot(x, dx, ".r");
end
// *** 計算結果 ***
x
subplot(2,1,1);
plot(x, y, "xk");参考URL
付録
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Scilabで二重積分
Scilabを利用すると1変数の数値積分が簡単に計算できます。
\begin{equation}
\int_{x_0}^{x_1}f(x)\mathrm{d}x
\end{equation}
このブログでも数値積分タグにいくつかの例を見つけることができます。しかしながら、2変数の数値積分はこれまで行ってきませんでした。
\begin{equation}
\int\int f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}
Scilabには二重積分を計算することが可能な
積分範囲が長方形の領域の場合、すなわち以下のような式で表すことができる場合は、簡単に数値積分できます。
\begin{equation}
\int_{x_0}^{x_1}\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}
Scilabの
積分範囲を
\begin{equation}
X =
\begin{pmatrix}
x_{0} & x_{0} \\
x_{1} & x_{1} \\
x_{1} & x_{0} \\
\end{pmatrix},
Y =
\begin{pmatrix}
y_{0} & y_{0} \\
y_{0} & y_{1} \\
y_{1} & y_{1} \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
Fig.1: Scilabの
実際に以下の積分を計算して見ます。
\begin{equation}
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}x^4 \sin(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}
数値化解と解析解が同じ値になることが確認できます。
積分範囲が長方形の場合は2つの三角形の組み合わせで表現されますが、より複雑な形状の場合も任意の個数の三角形の組み合わせで表現できるはずです。今回は逆に簡単になってしまいますが、1個の三角形で表現できる例を計算します。
\begin{equation}
\int \int_D xy^2 \mathrm{d}x\mathrm{y}
\end{equation}
積分領域が三角形ひとつ分なので、与える行列は3行1列になります。
\begin{equation}
X =
\begin{pmatrix}
x_{0} \\
x_{1} \\
x_{1} \\
\end{pmatrix},
Y =
\begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{0} \\
y_{1} \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
この計算を行うScilabスクリプトは以下のようになります。
このスクリプトも数値解と解析解が同じに値になることが分かります。
同様にしてN個の三角形の組み合わせで表現される積分範囲の場合3行N列の行列で指定することができます。
どんなに複雑な積分領域の形状であっても三角形のパッチワークで表現できるはずですが、現実的には大変です。そこでOctaveの精義―フリーの高機能数値計算ツールを使いこなす
で紹介されている方法を試してみましたが、現状うまく行っていません。上手く行っていませんがとりあえず方法だけは紹介します。
具体的にはScilabの論理演算で条件分岐の考え方を使って積分領域外では値がゼロになるように被積分関数の定義を行います。
\begin{equation}
\int\int_D -\frac{1}{(2x + y + 1)^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}
原理的にはこのスクリプトでよいはずですが、実際には正しく計算してくれません。Scilab 6.0ではエラーで停止します。Scilab 5.5.2ではそれっぽい値を返しますが、解析解の値とはかなりずれた値となっており、不正確です。
このエントリで使用したファイルを添付します。ファイル名末尾の".txt"を削除して、"_"を"."に変更すれば使えるはずです。(参考:ねがてぃぶろぐの付録)
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\begin{equation}
\int_{x_0}^{x_1}f(x)\mathrm{d}x
\end{equation}
このブログでも数値積分タグにいくつかの例を見つけることができます。しかしながら、2変数の数値積分はこれまで行ってきませんでした。
\begin{equation}
\int\int f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}
Scilabには二重積分を計算することが可能な
int2d が存在します。今回は高校数学の美しい物語で解析的に解かれている二重積分を数値的に計算してみます。積分範囲が長方形領域の場合
積分範囲が長方形の領域の場合、すなわち以下のような式で表すことができる場合は、簡単に数値積分できます。
\begin{equation}
\int_{x_0}^{x_1}\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}
Scilabの
int2d では長方形領域を2つの三角形のパッチワークとして与えます。積分範囲を
int2d に渡すために行列XとYを用意します。それぞれ2つの三角形の頂点のx座標とy座標を与えます。\begin{equation}
X =
\begin{pmatrix}
x_{0} & x_{0} \\
x_{1} & x_{1} \\
x_{1} & x_{0} \\
\end{pmatrix},
Y =
\begin{pmatrix}
y_{0} & y_{0} \\
y_{0} & y_{1} \\
y_{1} & y_{1} \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
Fig.1: Scilabの
int2dへの積分範囲の与え方実際に以下の積分を計算して見ます。
\begin{equation}
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}x^4 \sin(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}
clear;
r = 1;
// *** 積分する関数の定義 ***
function z = func(x,y)
z = (x .^ 4) * sin(y)
endfunction
// 積分範囲
x0 = 0; x1 = r;
y0 = 0; y1 = %pi;
// *** 二重積分 ***
X = [x0, x0;
x1, x1;
x1, x0];
Y = [y0, y0;
y0, y1;
y1, y1];
// 数値解
I = int2d(X, Y, func)
// 解析解
A = 2*(r^5)/5数値化解と解析解が同じ値になることが確認できます。
積分範囲が三角形の組み合わせで表せる場合
積分範囲が長方形の場合は2つの三角形の組み合わせで表現されますが、より複雑な形状の場合も任意の個数の三角形の組み合わせで表現できるはずです。今回は逆に簡単になってしまいますが、1個の三角形で表現できる例を計算します。
\begin{equation}
\int \int_D xy^2 \mathrm{d}x\mathrm{y}
\end{equation}
Fig.2: 積分領域Dが三角形ひとつ分の例
積分領域が三角形ひとつ分なので、与える行列は3行1列になります。
\begin{equation}
X =
\begin{pmatrix}
x_{0} \\
x_{1} \\
x_{1} \\
\end{pmatrix},
Y =
\begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{0} \\
y_{1} \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
この計算を行うScilabスクリプトは以下のようになります。
clear;
// *** 積分する関数の定義 ***
function z = func(x,y)
z = x .* (y .^ 2)
endfunction
// *** 二重積分 ***
X = [0;
1;
1];
Y = [1;
0;
1];
// 数値解
I = int2d(X, Y, func)
// 解析解
A = 3/20このスクリプトも数値解と解析解が同じに値になることが分かります。
同様にしてN個の三角形の組み合わせで表現される積分範囲の場合3行N列の行列で指定することができます。
更に複雑な積分領域の場合
どんなに複雑な積分領域の形状であっても三角形のパッチワークで表現できるはずですが、現実的には大変です。そこでOctaveの精義―フリーの高機能数値計算ツールを使いこなす
で紹介されている方法を試してみましたが、現状うまく行っていません。上手く行っていませんがとりあえず方法だけは紹介します。具体的にはScilabの論理演算で条件分岐の考え方を使って積分領域外では値がゼロになるように被積分関数の定義を行います。
\begin{equation}
\int\int_D -\frac{1}{(2x + y + 1)^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation}
Fig.3: 複雑な積分領域の例
clear;
// *** 積分する関数の定義 ***
function z = func(x,y)
region = y >= x .^ 2
z = - 1 ./ ((2 * x + y + 1) .^ 2) .* region
endfunction
// *** 二重積分 ***
X = [0;
1;
1];
Y = [0;
0;
1];
// 数値解
I = int2d(X, Y, func)
// 解析解
A = (1/3) * log(4) - 1/2原理的にはこのスクリプトでよいはずですが、実際には正しく計算してくれません。Scilab 6.0ではエラーで停止します。Scilab 5.5.2ではそれっぽい値を返しますが、解析解の値とはかなりずれた値となっており、不正確です。
関連エントリ
参考URL
付録
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AkaiKKRのSICをOFFにするメモ
- bccPtの全エネルギーの格子定数依存性に変な不連続
- SICが原因
- source/cstate.fの編集で対処可能
Fig.1: bcc Pt の全エネルギージャンプ問題bccPtの全エネルギーのジャンプ問題
AkaiKKR BBSのStep-wise shift of total energy along with lattice constantsにて体心立方構造(bcc)のプラチナの全エネルギー計算を行うと、特定の格子定数で階段状のエネルギーシフトが起こると報告しています。KKR Administratorさんの返信によると自己相互作用補正(Self-Interaction Correction; SIC)が悪さをしているとのことです。この問題に対処するには明示的にSICをOFFにするなどの方法があります。このためには
source/cstate.f の sic を false に指定すればよいとのことです。問題の再現
まず全エネルギーのジャンプの問題を再現するために以下の入力ファイルのテンプレートを用いて、格子定数を a = 5.2 - 6.6 Bohr の範囲で計算を行いました。
c------------------------------------------------------------
go data/bccPt_ABOHR
c------------------------------------------------------------
c brvtyp a c/a b/a alpha beta gamma
bcc ABOHR, , , , , ,
c------------------------------------------------------------
c edelt ewidth reltyp sdftyp magtyp record
0.001 1.2 sra mjw nmag 2nd
c------------------------------------------------------------
c outtyp bzqlty maxitr pmix
update 4 200 0.01
c------------------------------------------------------------
c ntyp
1
c------------------------------------------------------------
c type ncmp rmt field mxl anclr conc
Pt 1 1 0.0 2
78 100
c------------------------------------------------------------
c natm
1
c------------------------------------------------------------
c atmicx atmtyp
0 0 0 Pt
c------------------------------------------------------------Fig.1に格子定数と全エネルギーの関係を示します。a = 5.5 Bohr と a = 5.6 Bohr の間で全エネルギーにジャンプがある事がわかります。
source/cstate.fの編集
このエネルギーのジャンプの問題を解決するためには
source/cstate.f を編集して再び make し、実行ファイルを作成しなおす必要があります。AkaiKKR BBSでは2種類の解決方法が提示されていますが、今回は単純にSICをOFFにする方法を試します。source/cstate.f の最初のほうに以下のような記述があります。 data istop/50/, tol/1d-8/, eb/-20d0/, sic/.true./
& ,eoff/ 1d3, 1d3, 1d3,-4d0/
SICをOFFにするには
true の部分を false に編集します。 data istop/50/, tol/1d-8/, eb/-20d0/, sic/.false./
& ,eoff/ 1d3, 1d3, 1d3,-4d0/
今回のような問題が起こらない場合はSICをONにしておいた方がよいと思われます。私は今回 make した実行ファイルは
specx.sicoff という名前で別に保存しました。SICをOFFにした計算結果をFig.2に示します。
Fig.2: 全エネルギーに不自然なジャンプが無くなった bccPt の格子定数と全エネルギーの関係
全エネルギーに不連続が無くなり a = 5.9 Bohr 付近に平衡格子定数があることが分かります。
関連エントリ
参考URL
付録
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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR SIC
AkaiKKRのk点メッシュ
AkaiKKR(machikaneyama)の計算に使われるk点の数は、入力ファイルの
計算に使用したk点の数の表し方には、既約的ブリルアンゾーンの中のk点数のほかに、全ブリルアンゾーンの中でそれぞれの逆格子ベクトルをメッシュ状に何分割したかを N1 × N2 × N3 のような形で表すやり方もあります。
この分割数の情報は、通常出力されないのですが、必要なら
fcc等の立方晶の場合は単純に
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bzqlty で指定されます。計算で実際に使われた既約的ブリルアンゾーンのk点の数は、出力の nk に表示されます。計算に使用したk点の数の表し方には、既約的ブリルアンゾーンの中のk点数のほかに、全ブリルアンゾーンの中でそれぞれの逆格子ベクトルをメッシュ状に何分割したかを N1 × N2 × N3 のような形で表すやり方もあります。
この分割数の情報は、通常出力されないのですが、必要なら
source/bzmesh.f の end 文の直前に以下の行を追加することで、出力されるようにできると教えていただきました。 write(*,'(3x,3(a,i3))')'nfa=',nfa,' nfb=',nfb,' nfc=',nfcfcc等の立方晶の場合は単純に
nfa=nfb=nfc=bzqlty となります。関連エントリ
参考URL
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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR bzqlty
AkaiKKRのewidth対応表
AkaiKKR(machikaneyama)を使って状態密度(dos)やバンド構造(spc)を計算する場合、セルフコンシステント計算(go)のときと ewidth の範囲が異なります。(参考: AkaiKKRのewidth その1, その2)
デフォルトでは、go計算よりdos計算やspc計算のときに1/4だけエネルギー範囲が正の方向へずらしてあります。
したがって、go計算のときにエネルギー範囲の底がコアにかかっていないかを確認したいときには、状態密度(dos)やバンド構造(spc)を計算するときに、すこし大き目の ewidth を選ばなければなら無い事になります。別に厳密な値にしなくてもいいのですが、キリのよさそうな値を一覧にしました。
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デフォルトでは、go計算よりdos計算やspc計算のときに1/4だけエネルギー範囲が正の方向へずらしてあります。
したがって、go計算のときにエネルギー範囲の底がコアにかかっていないかを確認したいときには、状態密度(dos)やバンド構造(spc)を計算するときに、すこし大き目の ewidth を選ばなければなら無い事になります。別に厳密な値にしなくてもいいのですが、キリのよさそうな値を一覧にしました。
| go | dos/spc |
|---|---|
| 0.6 | 0.8 |
| 0.9 | 1.2 |
| 1.2 | 1.6 |
| 1.5 | 2.0 |
| 1.8 | 2.4 |
| 2.1 | 2.8 |
| 2.4 | 3.2 |
| 2.7 | 3.6 |
| 3.0 | 4.0 |
関連エントリ
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tag: AkaiKKR machikaneyama KKR ewidth
